Proposilions préliminaires

Lemme I. Dans deux surfaces à rayons vecteurs réciproques, les lignes de courbure des deux surfaces sont des lignes correspondantes (W. Thompson) .

Démonstration, a). Les normales , menées en des points correspondants de deux lignes planes réciproques, forment avec le rayon vecteur commun qui réunit ces points un triangle isocèle } et les centres de courbure de ces deux lignes, aux mêmes points, sont situés sur une droite passant par Vorigine des rayons vecteurs. 11 suffit, pour le vérifier, de remplacer les deux lignes par leurs cercles oscillateurs aux points considérés.

b). Les normales , menées en des points correspondants de deux surfaces réciproques, forment avec le rayon vecteur qui réunit ces points un triangle isocèle.

Cela posé, soient AB Télément d'une ligne de courbure de la première surface S, et A'B' l'élémenl correspondant de la seconde surface S'; considérons les deux triangles isocèles AA'a, BB',3 formés par les normales en A, A', en B, B' avec les rayons vecteurs AA', BB' : puisque AB est une ligne de courbure de la surface S, les normales de celle-ci aux points A et B peuvent être considérées comme se rencontrant en un certain point I ; menons la droite 01, intersection des plans des triangles AA a , BB'|5, el faisons tourner le second autour de In droite Oï, pour le rabattre en B, B, (îj sur le plan du premier [le triangle rabattu BiB', jS, n'est pas représenté sur la figure). Nous pourrons concevoir une première ligne plane ABj ayant

ivoTE ir. 207

pour normales en A, B, les droites Aa, BitS,, et la ligne réciproque de celle-ci par rapport à l'origine o. Cctlo ligne réciproque passe parles points A', H', , et admet pour normales en ces points, d'après la remarque /?), les droites AV, B, f:i, qui se coupent en F. D'ailleurs les points I, I', intersections de deux normales consécutives des lignes réciproques ABj, A'B'i, peuvent être pris pour les centres de courbure de ces lignes aux points A, A'; les points 1, 1' sont donc situés, d'après la même remarque, sur une droite OI passant par l'origine O. On peut dire, par conséquent, que la droite A'a et la (Iroile rabattue B', ^i coupent Vaxe rie rotation 01 au même point F; mais le point 1', suivant lecfuel la droite rabattue B' (3i rencontre l'axe, est le même que le point d'intersection de la droite primitive B'(3 et de l'axe OI ; donc les normales en A' et W de la surface S', A' a et B'|3, rencontrant la droite 01 au même point, se rencontrent elles-mêmes en ce point; et la courbe A'B'est une ligne de courbure de la surface S', comme la courbe correspondante AB pour la surface S. On voit, en outre, que les centres de courbure I, 1/ des sections pi/ncipales correspondantes des deux surfaces sont situés sur une droite passant par V origine des rayons vecteurs, ce qui donne lieu à diverses conséquences que nous avons énoncées ailleurs- Observation. Nous avons admis que les droites Aa et Bjfii peuvent être prises pour les normales en A et Bi d'une certaine ligne AB,. Cette supposition, en effet, exige seulement, puisque les droites A a et Bi/3, sont d'ailleurs infiniment voisines, que la projection de l'arc AB, sur la droite Aa soit un infiniment petit du second ordre, ou cpie la somme algébrique des projections des arcs AB et BB, sur cette direction soit du même ordre. Or l'arc AB étant normal à la droite AI, sa projection sur cette droite est du second ordre; et il en est de même de la projection rt/'cBBi .co5(BBi, AI) de l'arc BBi. Cet arc, en clïet, et le facteur cos (BBj, AI) sont deux infiniment petits du premier ordre : puisque la tangente à l'arc de cercle BBi, décrit par le point B dans sa rotation autour de l'axe 01, est perpendiculaire au plan BOI , et fait avec le plan AOI, aussi bien

y..)h KOTE H.

(ju'avcc loulc droite AT siluéc daii.s ce plan, un anylc iiilininient peu différent d'un droii.

Lemme il Lne surface S admettant une ligne de courhure plane AAj, le plan de celte ligne coupe la surface sous un angle constant; et, réciproquemeut... (Joacliimstal ).

Démonstration. Soient en effet aa^ le grand cercle, de pôle />, (jui sert d'indicairice à la ligne de courbure plane AAj: rt^, n^gy les arcs de grand cercle parallèles aux plans tangents de la surface en A, Ai ^ et gg^^ la courbe enveloppe de ces arcs : menons les arcs ap^ pg. Daprès la théorie des tangentes conjuguées, l'arc ag est égal à un quadrant : la tangente rectiligne de l'arc gn, ou de la ligne ggi en g, est donc parallèle au rayon de la splière qui aboutit au point a ; la ligne ggi est un petit cercle de même pôle p que le grand cercle ooi, et V arc pg est constant. 11 résulte de là que les trois côtés du triangle sphérique pag sont donnés ; et que l'angle pag de ce triangle est constant, ainsi que l'inclinaison complémentaire de Tare ag sur la ligne aa.^.

Réciproquement, si le plan de la ligne AAj coupe la surface S sous un angle constant, l'arc ag coupe le grand cercle aa^ sous un angle constant, et le point g où cet aie touche son enveloppe s obtient en abaissant l'arc pg perpendiculaire sur ag (l'o/r page 5o).

Mais l'arc ap étant égal à un quadrant, et l'angle agp étant droit, Tare ag est aussi égal à un quadrant : et la courbe AA, est une ligne de courbure de la surface.

Lemme III. Toute surface développahle S dont une des lignes de courbure est plane ^ est un hélicoïde.

Démonstration. Soient ggy et <7<7, les indicatrices sphériques de l'arête de rebroussementde la surface et de la ligne de courbure plane AAj : celle-ci étant une trajectoire orthogonale des génératrices rectilignes de la surface, les arcs ag^ ^igi -ont égaux à des quadrants. Ils sont, d'ailleurs, tangents à la ligne gg^. Les tangentes rectilignes de celle ligne en g^, ^,, . . . , sont

AOTE II. 2jg

donc parallèles aux rayons de la sphère qui aboiilisstnt aux poinls rt, «,,..., du grand cercle (r<7, ; la ligne ^^'^,'^1 est une ligne /j>/<7/;fi, circulaire^ et 1 arête de rebrovisserneni de la surface considérée est une hélice..

Lemme IV. Toute surface dévc.loppahle dont une. des lignes de courbure est un cercle^ se réduit à un cône de révolution.

Démonstration. En effet, la ligne de courbure donnée étant plane., les génératrices de la surface sont, d'après le lemme précédent, parallèles aux génératri( esd'un cône de révolution. En outre, le plan de cette ligne coupant la surface sous irn angle constant, et sa courbure absolue étant constante, puisque cette ligne est un cercle, sa courbure géodésique est aussi constante : et la ligne considérée se transforme, par le développement de la surface sur un plan, en un cercle coupé à angle droit par les laiigentes de l'arête de rebr^oussenient transformée. J.arète de rebroussement primitive se léduit donc à un point, comme sa transformée; et la surface se réduit à un côite de révolution.

.2. Des surf aces dont les lignes de première courbure sont planes et situées dans des plans parallèles.

Imaginons la surface développable (D), circonscrite à la proposée (S), suivant une ligne de seconde courbure. Les générati'ices reotilignes de la surface (D) coïncidant, comme on sait, avecles tangentes aux lignes de première courbure, seront, dans le cas actuel, ou parallèles à une même droite, ou parallèles à un même plan : le plan de l'une des ligues de première ( ourbure. Or, dans cette dernière hypothèse, l'arête de rebi-oussement de la surface (D) serait plane, la surface (D) ellemême si'raitunplan-, et ce plan contiendrait toutes les lignes de première courbure de la surface (S) qui se réduirait à un plan. Cette hypothèse donc doit être écartée; les génératrices de la surface (D) sont parallèles à une même droite, et cette surface est un cylindre dont la ligne de seconde courbure est une seclion droite. On voit donc déjà que les lignes de seconde courbure sont situées dans des plans perpendiculaires à ceux des

'jJnt KOiM' ir.

lignes de première courbure ; les traces du plan d' une ligne de seconde courbure sur les p/ans de toutes les lignes de prenu'ère courbure étant normales à ces lignes. Il résulte, de celte dernière remarque, que si l'on considère le cylindre (C) enveloppé par les plans des lignes de seconde courbure, les sections droites déterminées dans ce cylindre par les plans des lignes de première courbure sont \c9, déi'eloppàes de ces dernières lignes. D'où, cette seconde conséquence, que les lignes de première courbure., projetées en ivraie grandeur sur le plan de l'une d'elles, donnent naissance à des courbes ayant même, développée. Enfin, si le plan (P) d'une ligne de seconde courbure roule, en emportant celte ligne, sur le cylindre (C) auqviel il est tangent, sa trace, sur le plan de l'une quelconque des lignes de première courbure, roulera sur la développée de cette ligne ; le point correspondant de la ligne mobile décrira celle ligne de première courbure; et la ligne mobile, dans ses positions successives, viendra coïncider avec toutes les lignes de seconde courbure. On déduit de là, V égalité par superposition des lignes de seconde courbure., et la génération, découverte par Monge, des surfaces considérées.

Remarque. Si la ligne mobile est droite, la surface (S) se réduit à nii hélicoïde développable.

o. Des surfaces dont les lignes de prennère coin bure sont spliériques et distribuées sur des sphères concentriques.

I-EV[ME. Une ligne de courbure AB d'une surface développable (D) ne peut coïncider avec la podaire, relative à une origine S, de V arête de rebroussement ab de la surface, (pie Fig. fi2. dans le cas oii cette ligne de courbure

appartient à une sphère ayant pour centre le point S.

En elïet, les génératrices reclilignes infiniment voisines A a et V>h de la surface (D) pouvant èlre considérées comme se rencontrant en un point/, les angles SA/, SB/ sont droits, l'élément AH de la ligne de courbure donnée peut être regardé

comme ap[)arlenaalà la sphère décrite sur S/ comme diamèlie, et cet élémeui, par suite, est normal au layon de la spbère, ou à la dioite 7\C qui réunit le point A au milieu du diamètre S/. Mais réléraent AB est déjà riormal à la droite Art, ou Ai. Il est donc noininl au plan SA/, ainsi qu'rt lu droite AS : et la ligne de coiirltuie AB appailient à une spLèie ayant pour rentre le point S.

Cela posé, imaginons la surface développable (D) circonscrite à la ])roposée (S) suivant une ligne de seconde courbure AB. Les génératrices reclilignes de la surface (D) coïncident avec les tangentes des lignes de piemière courbure, (;t ces tangentes sont perpendiculaires aux rayons SA, SB,..., qui joignent leuis points de contact sur les lignes de première courbure au centre commun S des sphères contenant ces lignes. Le lemaie précédent est donc applicable; et la surface (D) ne peut être une développable proprement dite, à moins que la ligne de seconde courbnre y\B de la surface (S) n'appartienne à une sphère ayant pour centre le point S", auquel cas la surface (S) elle-même se réduirait à cette sphère. Ecartant donc ce cas particulier, nous voyons que la développable (D) se réduit à un cylindre., dont la ligne de seconde courbure AB est une section droite : le plan de cette section étant, dès lois, normal à toutes les lignes de première courbure et passant par le centre commun S des sphères qui les contiennent. Ainsi déjà, les lignes de seconde courbure sont planes; leurs plans concourent en Sj et les traces de fun de ces plans, sur les sphères contenant les lignes de première courbure, représentent les arcs de grand cercle normaux à ces lignes, ou tangents ci leurs développées sp/térif/ues. 11 résulte de cette dernière remarque que si l'on considère \e cône (C), de sommet S, enveloppé par les plans des lignes de seconde courbai e, les traces de ce cône, sur les sphères relatives aux lignes de première courbure, seront les développées sphériques de ces lignes. D'où cette autre conséquence que les lignes de première courbure projetées, centralen)ent, sur la sphère qui contient Tune d'elles, donnent naissance à des combes ayant même dcvelop-

262 NOïK ir.

pée sphérique. Enfin, si le plan (P) d'une ligne de seconde courbure tourne autour du point fixa S, en emportant cette ligne et en roulant sur le cône (C) auquel il est tangent : sa trace, sur la sphère contenant Tune quelconque des lignes de première courbure, roulera sur la développée sphérique de cette ligne qui sera décrite tout entière par le point correspondant de la ligue mobile; et celle-ci, dans ses positions successives, viendra coïncider avec toutes les lignes de seconde courbure. On déduit de là, V égalité par superposition des lignes de seconde conrhnre, et la génération de ces nouvelles surfaces.

Si le cône dirtcieur (C) est de lévolution, les lignes spliéliques de première courbure sont des hélices^ appartenant à des cylindres parallèles.

Remarque 1 . M. Picart a étudié, le premier, ces nouvelles surfaces, et énoncé ce théorème : Si toutes les ligues de conrhnre d\iti système sont situées sur des sphères concentriques, les lignes de courhure de Vautre système sont dans des plans passant f/ar le centre commun des sphères et coupant la surface orlhogonalemenl . [Comptes rendus, i858, tome XLVI, page 357.)

Remarque II. On peut modifier le coramen cernent de la solution précédente, de manière à éviter l'emploi du lemme auquel nous avons eu recours.

Considérons, en e(fei, la surface développable (D'), qui est engendrée par les normales menées à la surface (S), tout le long d'une ligne de seconde courbure AB. Le plan tangent de la surface (D') en A, ou le plan osculateur de son arête de rebroussement, est évidemment normal h la ligne de première courbure AA,. et par suite ce plan passe constamment par le centre S de la sphère qui contient cette ligne. Tous les plans osculateurs de l'arête de rebroussement relative à la surface ( ])') passent donc par un point tixe S : et cette surface se réduit soit à un plan unique, soit a un cône ayant pour sommet le ])oint S. Dans cette dernière hypothèse, la ligne AB appartiendrait à une sphèie concentrique au cône, et la surface (S) ellenicMic sr réduirait à une sphère, f.aissaiit donc de <ô(é ce cas

A'OTE II. '.i(K)

parliculier, on voit : que la surface (D') se léduil à un plaJi, le plan de la ligjie de seconde courbure AB qui est, en même temps, une ligne géodésique de la surface ; et que tous les plans des lignes de seconde courbure passent par le point 8.

.4. Des surfaces dans lesquelles les lignas de première courbure sont planes et situées dans des plntis qui passent par une même droite.

Considérons encore la surface développable (D) circonscrite à la proposée suivant une ligne de seconde courbure, l-es génératrices de (D), qui sont tangenles aux lignes de première courbure, rencontrent toutes la droite O2:, commune intersection des plans de ces lignes, soit en un même point, soit en des points différents de celte droite. Mais on reconnaît aisément que celte dernière liypotlièse doit être rejeiée-, la surface (D) se réduit à un cône dont le sommet S est situé sur la droite Oz, et l'on en conclut c|ue les lignes de seconde courbure de la surface sont des lignes spl/ériqiies ; les centres S des sphères qui les contiennent étant distribués sur la droite Oz, intersection des plans des lignes de première courbure.

5. Des surfaces dont toutes les lignes de courbure sont planes., et dont les lignes de première courbure sont, en outre, circulaires.

La développable (D), circonscrite à la surface proposée suivant une ligne de première courbure ABC , est un liélicoïde, •puisque cette ligne est plane; un cône de révolution [voir le lemme 1\ ), puisque cette ligne est un cercle : et le sommet 8 de ce cône est un point commun aux plans des lignes de seconde courbure. Ces plans ont donc une infînilé de points communs S, Sj,..., nécessairement situés en ligne droite. Les plans des lignes de seconde courbure passent donc par une même droite zz, qui contient les sommets S des cônes de révolution circonscrits à la proposée suivant les lignes de première courbure.

D'un autre côté, les développables , normales à la surface suivant les mêmes lignes ABC, sont aussi des cônes de révo-

'j64 îvoïe if.

lutiou; I(-'s somiuets O de ces cônes sont les ceniies de sphères inscrites à la surface suivant les mêmes lignes -, et les droites SO sont normales aux plans des lignes ABC de première courbure. Mais, d'après le théorème ijénéral de M. O. Bonnet [voir ijcige 177), ^65 plans des lignes de première courbure ABC sont ici parallèles à une même droite t' z' ; et cet le droite /Jz' est perpendiculaire à la diviie /.t. La droite z' z' est donc perpendiculaire à la droite zz et aux droites SO, et par suite les droites SO sont dans un plan fixe qui contient les centresO des sphères i/iscrites ci la surface suivant les lignes de courbure circulaires. Ceci posé, les rayons OA des sphères ini.jjj. fs:^ scri tes. relatifs aux ditïérents points

s , de la ligne de seconde courbure

AAi, sont également inclinés, d'après le théorème de M . Joachimstal , sur le plan AA^zz de cette ligne.

Les rayons OA de ces sphères sont donc proportionnels aux distances de leurs centres au plan Ah^zz de l'une quelconque des lignes de seconde courbure, ou proportionnels encore aux distances des centres à la droite zz, puisque le plan fixe des centres et le plan fixe de l'une des lignes de seconde courbure se coupent suivant la droite zz. La surface considérée est donc V enveloppe d une sphère vaiiable dont le centre parcourt une ligne plane quelconque 00^, et dont le rayon est proportionnel à la distance du centre à une droite Jixe zz située dans le plan de la ligne des centres. 6. Des surfaces dont toutes les lignes de courbure sont circulaires.

L'emploi des considérations contenues dans le numéio précédent nous montre d'abord que les plans des lignes de chaque courbure, dans la surface considérée, se coupent suivant une même droite : ce qui nous donne deux droites directrices, zz exz'z'.

Cela posé, si les cercles de V une des courbures, de la pre-

KIOTE II. 205

mière par exemple, ont, deux points réels communs co, w', suivant la ligne zz^ la surface S', réciproque de la surface considérée, par rapport à V origine (à et suivant une puissance mesurée par le carré de la droite ww', sera un cône ayant pour sommet le point w'^ et ce cône, qui a des cercles pour lignes de seconde courbure, est de révolution. La surface, considérée dans ce cas, est donc la surface réciproque d'un cône de résolution.

Si , en second lieu , les cercles de première courbure étaient supposés avoir un seul point réel commun w, ou reconnaîtrait aisément que la surface réciproque S' serait une surface gauche dont les lignes de première courbure seraient, précisément, les génératrices rectilignes de la surface; résultat absurde, qui exclut cette seconde hypothèse.

Supposons enfin r/ue les cercles de première courbure n aient aucun point réel commun, et considérons [voir\a/ig. 63) la surface développable OABC formée par les normales menées à la proposée par les différents points d'une ligne de première courbuie ABC. Cette développable étant un cône de révolution ayant son sommet en O, on a les égalités