AIMANT

§ 1. De C action des aimants sur des courants rectilignes .

88. Après avoir découvert , sans le secours d'aucune hypothèse , la loi de l'action exercée par le pôle d'un aimant sur un élément de courant , je vais eu déduire quelques résultats importants, qui, par leur accord avec l'expérience, en montreront de nouveau la vérité. Il est inutile de dire qu'on pourra les vérifier, ainsi que ceux obtenus (47 » 4°*> 49) soit avec des solénoïdes , soit avec des aimants. 11 doit être évident maintenant pour ceux même qui n'adopteraient pas la théorie électrique des aimants qu'on doit dans les deux cas arriver aux mêmes résultats.

89. Soit AB (fig. 22) un très-petit aimant suspendu à un fil de cocon, et ab un fil conducteur traversé par un courant, mn étant un élément de fil posons

AI = r, 'aIO== w , AOC = «, AO = a.

L'action exercée par le pôle sur mn passe par le point i 9 est

perpendiculaire sur le secteur Amn et a pour expression P sin w ds

Sur le courant prolongé abaissons la perpendiculaire AK

et soit IAK = 0. Comme on a r sin w ds = r 1 <f $ , il vient

ft sin &> rfj u d 0 « sin a ,

— - — = , et comme r— « ,on obtiendra pour

r r cos 0

Faction cherchée

* ." cos 0 d 0 tl . 2 m .

F = r r = — tang \ * , et tang~«pour

/ 2 a sin « a a

l'action total du fil.

Si ce dernier est vertical ou perpendiculaire à AO Faction

devient

{Expériences de Biot et SavarL)

§ 2. Calcul des oscillations (tan aimant sous ^influence d 9 an

fil indéfini.

90. Soit ab un aimant mobile en son milieu k sur un pivot vertical , et o la projection d'un (il vertical indéfini situé dans un plan perpendiculaire sur F aiguille en k. a' à' étant une nouvelle position de Faignille. Posons kb = \ b'ib = t, ko = c , kob' = u, koa = u, ob' = r, oa = r. Le point 0 étant supposé lié aux extrémités de Faimant , les actions exercées par ses pôles sur le fil sont appliquées en o et perpendiculaires aux rayons. Ces forces auront pour valeurs respec-

tives (89) c cos u, — 7- c cos 1*7 la loi du mouvement

sera donc donnée par l'équation

dt f . ( cos a cos u' ) , fc J -) (,)

J* p* dm étant le moment d'inertie de Faiguille. Remplaçant

cos u cos tr

et — par leurs valeurs

c — X sin « c 4- X sin

X 1 -f- — 2 X c sin c X* + c*+ 2 X c sin e et négligeant le quarré de e que nous supposerons très-petit , on aura :

àtr , ( c — X « c + X, \

dm = 3 <* C U' + X» - a c X , - + s cX. )

Si nous supposons l'aimant assez petit pour qu'on puisse

négliger le carré — , on aura :

résultat auquel on arrive immédiatement en posant cos a

tX £ fX £

= cos a == î, et négligeant dans le moment — r le

carré — et celui t*.

91. D'après la formule (2) du n* précédent, la force qui agissant à la distance X de l'axe k et sous l'angle s, pour faire tourner l'aimant, et qu'on peut supposer appliquée à une de

ses extrémités, est égale à — - , c'est-à-dire en raison inverse

de la simple distance.

Ces calculs étaient nécessaires pour prouver que cette loi déduite des oscillations de l'aimant n'est vraie que pour un aimant très-petit par rapport à sa distance au fil, et qu'elle est une conséquence rigoureuse de la loi que nous avons donnée pour l'action d'uu élément de courant, et du pôle d'un aimant ou d'une molécule magnétique.

( Expériences de Biot et Savart. )

92. Si le fil indéfini est horizontal et agit sur une aiguille mobile dans un plan horizontal sur un pivot vertical rencontré par le fil , on aura pour chaque pôle une force comme o'n (fig. 24) perpendiculaire au plan qui passe par le fil et le pôle.

Si l'on mène par les pôles des plans bo'b' ao'a, perpendiculaires au fil; si Ton nomme y l'angle bo'b' = aoa', et a, a'

tes pins courtes distances du fil aux pôles» on aura pour l'expression de chaque force égale et dirigée en sens contraire

r = — . On pourra les décomposer en deux : l'une située

dans le plan vertical et l'autre dans le plan horizontal qui

aura pour valeur — cos y. Le moment du couple pendant à

faire tourner l'aiguille sera — cos ». oo' = — cos op Xsin t. X

est la demi-longueur de l'aiguille et s le complément de l'angle, qu'elle fait avec le plan vertical. Si l'aiguille est très-petite cos f = 1 et l'angle e étant très-petit , on a pour là valeur du

moment e, et pour la valeur de la force , qui en agissant

à la distance X de l'axe CD et sous l'angle c, produirait le mémo effet que le couple pour faire tourner l'aimant autour

de CD serait évidemment . La loi du mouvement sera

donnée alors par l'équation ~jp 2 dm= — C X sin » cos ?, et

l'aiguille ne sera en équilibre que quand elle sera perpendiculaire au fil.

{Expériences d'Ampère avec une aiguille asiatique.) (Expérience d'Œrsted.)

§ 3. Condition d'équilibre d'une aiguille aimantée sous l'influence a" un courant.

o3. Une aiguille aimantée mobile en m dans un- plan horizontal, et sollicitée par un fil indéfini passant au point o, se mettra toujours en croix avec ce fil, de manière que son pôle austral sera dans une position déterminée par celle du fil ; on demande les positions du courant pour lesquelles l'aiguille restera immobile.

Soient ( fig. a4 bis) a et b les pôles de l'aimant , on pourra

décomposer le» forces qui agissent au pointa en deux dirigées suivant la perpendiculaire ok ^ cos a, cos e et deux

autres parallèles à l'aiguille — - sin a, — - sin «L Si l'ai-

guille est mobile parallèlement à la ligne ok , il y aura équi-

... . cos œ , cos if

libre si ; — = o.

En remplaçant dans l'équation précédente les râleurs de r, r* et «, a* en x et y, et en prenant pour axe deux droites rectangulaires passant par le milieu de l'aguille , pn trouve que l'aiguille restera en équilibre , si le £11 est situé sur une * hyperbole équilatère.

Pour que l'aiguille ne puisse avoir de mouvement suivant sa direction , il faut qu'on ait

sin « sin «'

g4* Enfin si l'aiguille ne peut que tourner autour d'un point m et dans un plan horizontal , il est facile de trouver l'équation d'équilibre.

En effet, soit AB (%.s5) l'aiguille d'une longueur a A, B ses pôles. La première force appliquée en o et qui agit sur le pôle B, a pour expression

— ,r= oB.

Le moment sera — X tnq = ( 2 l — X ) cos « , en

tant X la distance Ain, On aurait de même pour le moment agissant sur le pôle A a f*

— cos et pour qu'il y ait équilibre "k cos «' . , cos «

Soit AX ,AY les axes 9 *p>v les coordonnées du point o prc*jection du fil. Il vient

lx (g / -->) (a / — a?)

Cette équation discutée conduit aux résultats suivants : L'action sera nulle si , le point m étant au milieu de l'aiguille, le fil, est placé sur un cercle passant par les pôles. Si le point m est situé entre le milieu de l'aiguille et un pôle , on trouve deux courbes limites passant par les pôles et ayant des formes particulières faciles à discuter. Tous ces résultats ont été vérifiés par les expériences de Œrsted, Faraday, Delarive, Boisgiraud, Erman, etc.

95. Les faits précédents conduisent à une méthode trèssimple pour déterminer la position des pôles dans une aiguille aimantée. On prend un fil indéfini traversé par un courant assez faible pour ne pas influencer le magnétisme de l'aiguille , parallèlement à laquelle on le promène , et très-près après l'avoir suspendue à un (il de cocon. On verra l'action changer de signe avant d'arriver à l'extrémité , le point où l'équilibre sera détruit donnera la position du pôle.

§ 4* & e l<* rotation des courants sous l'influence des aimants

et réciproquement.

96. Considérons d'abord une aiguille aimantée horizontale et un (il indéfini vertical mobile (fig. 26). So\t ds l'élément de la courbe décrite par le fil ; on aura en nommant R la résultante cos « cos a dy sin « sin a D dz

r r ds r r ds

Si l'on suppose qu'à chaque instant la vitesse déjà acquise par 1^%1 soit détruite par la résistance du milieu dans lequel le (il se meut , ces équations auront lien pour tous les points de la courbe décrite par le fil , et on obtiendra cette courbe en éliminant R et ds entre ces équations , et en intégrant l'é quation à deux variables qui proviendra de la substitution des valeurs ci-dessus en x ety. On trouvera alors pour la courbe

c étant une constante, Xla demi-distance des pôles. Le centre du cercle (1) est sur l'axe de l'aiguille à une distance c plus grande que >.

97- Examinons maintenant l'action d'un fil quelconque sur un aimant mobile autour de Taxe qui passe par ses deux pôles.

Soient ^ et B (fig. 26) les pôles de l'aimant oudu solénoïdede

forme quelconque, mn un élément de courant Aom = w, on a pour expression de l'action exercée sur l'élément par le pôle A P sin « ds p du

1 =- , du étant le double du secteur Amn. La

composante perpendiculaire au plan vertical aura pour expression du étant le double de la projection du secteur sur le plan vertical ou le double de Amm: Le moment s'obtiendra

en multipliant cette expression par 0/'=r sin M A 0 , 011 aura pour l'action du pôle A, p sin e d t. Pour l'action du pôle B, p sin « 4 de t et l'action totale de l'aimant, sur tout le fil, s'obtiendra en intégrant entre les limites convenables

J* f* (sin 5 d 4 — sin « 4 d s t ) = p J cos s" — cos s'i + cos « 4 — cos t \ j

On voit encore ici que le courant étant fermé l'action est nulle. Il est facile maintenant de discuter les diverses valeurs du moment suivant les positions des extrémités du fil dont il dépend uniquement, et d'obtenir ses maxima et minima. (Expérience d'Ampère,)

Si l'aimant était fixe et le fil mobile, ce dernier se mouvrait autour de l'axe de l'aimant sollicité par les forces précédentes et en sens contraire de l'aimant, et les vitesfeg dans les deux cas seraient réciproques aux moments d'inertie de l'aimant et du fil.

Expérience de Faraday. On peut, comme je m'en suis assuré, substituer avec avantage un cylindre électro-dynamique à un aimant.

98. Après avoir démontré qu'un courant fermé n'a aucune action pour faire tourner un aimant autour de son axe. il e*t important de donner les moyens de vérifier les expériences précédentes avec les courants dont nous pouvons disposer, et

qui sont toujours fermés. Dans les cas ordinaires ces courants amèneront seulement les aimants dans une position fixe d'équilibre, mais on peut obtenir des mouvements de rotation continue par les moyens suivants :

i°. Lier l'aimant à une partie du conducteur, celle-ci n'ayant pas d'action le mouvement aura lieu. On y arrive en faisant passer le courant dans l'aimant.

2°. Rendre mobile avec l'aimant une portion du courant, comme cela a lieu dans le cas ou l'aimant plonge dans le mercure.

L'aimant tendant alors vers une position fixe d'équilibre , déplacera pour y arriver une portion de courant, et c'est aux changements de position de celle-ci , et h la variation qui en résultera dans les positions d'équilibre de l'aimant, qu'on de vra de pouvoir obtenir ces mouvements de rotation.

Expériences d'Ampère sur des courants fermés agissant comme des tranches d'aimant sur d'autres courants fermés.

Expérience d'Ampère sur le mouvement d'un aimant vertical autour d'un axe qui ne passe pas par les pôles.

§ 5. Action des aimants sur des courants plies d'une manière

quelconque.

99. Soit A le pôled'un très-petit aimant et abcd un courant plié suivant un parallélogramme ( fig. 27). On pourra lui substituer une surface recouverte de courants fermés très-petits, ou éléments magnétiques. Soit d}\ la surface d'un élément du parallélogramme, on aura pour l'action de cet élément (46)

p ^ , p étant une constante. En prenant pour axe des lignes

parallèles aux côtés du parallélogramme, et en nommant e l'angle qu'elles font entre elles, on aura

d} X= dx dy sin « r =V 'x* 2 xy cos «

et pour l'action totale du parallélogramme

Psin. if ,

JJ (xM-yH-a aycos*) *•

L'intégrale générale de cette expression se déduit facilement de la formule du n° 25 en y faisant a = o après avoir développé l'arc eu fonction de sa tangente, et on obtient en sup-

primant la constante — -

: — = . p étant la perpendiculaire op. Il faudra

xy sin - p r r

pour avoir l'intégrale relative aux limites substituer pour/? les

perpendiculaires qui se rapportent aux quatre sommets du

quadrilatère.

On pourra dans tous les cas appliquer ce genre de calculs aux surfaces recouvertes d'éléments magnétiques.