COURANT

§ i. Principe* généraux»

1. L'électricité se manifeste à l'observation sous deux états différents ; a l'état de tension et à l'état de courant. — Dans le premier cas, la substance électrisée attire les corps légers, elle agit à distance sur toutes les substances matérielles, et le fluide naturel qui s'y trouve accumulé en quantité indéfinie est alors décomposé. Si le corps électrisé appartient à la classe des conducteurs , les molécules électriques se réunissent à sa surface, et y forment une couche dont l'épaisseur et la figure dépendent de certaines conditions d'équilibre déterminées par les calculs de M. Poisson et les expériences de Coulomb.

L'ensemble de ces phéDomènes constitue l'électricité statique.

2. Le second état sous lequel nous apparaît le fluide électrique résulte de sa transmission à travers les corps conducteurs. Si Ton réunit par un fil métallique les deux extrémités d'une pile, les électricités accumulées au pôle engendrent, en se croisant dans le conducteur , ces phénomènes spéciaux qu'QErsted remarqua le premier. Les corps légers n'obéissent plus d'une manière continue à Faction du métal, son influence n'est qu'instantanée. Les substances magnétiques sont fortement attirées et l'aiguille aimantée n'a plus d'orientation. Les fils traversés par le fluide exercent les uns sur les autres (ainsi que l'a constaté Ampère) une action permanente, et enfin les éléments <fts corps cédant au mouvement de la matière électrique se dissocient. Tels sont les principaux phénomènes que nous présente l'électricité dans l'état particulier qu'on nomme courant . et dont l'ensemble constitue l'électro-dynamique. >

5. Avant de passer à leur étude il faut bien nous entendre sur la direction du courant électrique ; nous admettrons ici, nous réservant de discuter plus tard la valeur de cette hypothèse, que les faits dont nous allons nous occuper résultent du mouvement de l'électricité positive, se rendant du pôle zinc où elle réside habituellement , vers le pôle cuivre où siège ordinairement l'électricité négative , et dans ce cas, l'expérience d'OErsted nous donne un moyen facile de déterminer le sens de ce mouvement. En effet, concevons un observateur couché dans le courant, les bras étendus en croix et portant sur sa poitrine une aiguille aimantée, celle-ci tournera son pôle austral (i) vers le bras gauche si le courant entre par les pieds, et alors nous dirons qu'il est positif, ou vers le bras droit s'il entre parla tête, et dans ce cas nous dirons qu'il est négatif (9).

(1) Nous appellerons pôle austral celai qui, dans une aiguille librement suspendue, se dirige vers le nord.

(a) On désigne encore sous le nom de courant la portion de conducteur que tuit le fluide : ainsi noua disons courant circulaire, rectangulaire, pour indiquer une portion de fil circulaire, rectangulaire traversée par l'électricité.

4» Ces notions posées , passons à la recherche des lois qui régissent l'électricité en mouvement. Il est presque inutile de dire que nous suivrons dans l'exposition des laits , non pas Tordre historique et purement chronologique qui ne tient compte que des dates, mais l'ordre scientifique et véritablement logique qui s'appuie sur les caractères essentiels des phénomènes et sur leur dépendance mutuelle.

§ a. Du nombre et de la nature des éléments nécessaires à

déterminer*

5. Lorsqu'en présence d'un conducteur traversé par un courant, on place un fil mobile qu'un courant électrique traverse également, il se manifeste généralement entre ce conducteur et ce fil (et les mêmes actions ont lieu dans le vide comme dans l'air et à travers tous les corps) une action soit attractive, soit répulsive , soit révolutive. Quelles sont les lois qui président à ces actions ? L'expérience seule ne saurait les donner, et il faut, pour les obtenir, avoir recours au calcul. Il est indispensable en eflet , pour déterminer l'action produite par des courants, d'établir l'expression des forces qui s'exercent entre leurs éléments et dont la première n'est qu'une résultante.

6. Ces forces plus simples ne sont pas de la nature de celles que Newton et après lui tous les géomètres ont appelées farces élémentaires. Ces dernières, qui résultent de l'action de deux éléments et qui s'exercent suivant la droite qui joint leurs centres de gravité, doivent être seulement fonctions de la distance, tandis que celles dont nous allons nous occuper dépendent non -seulement de cet élément (comme l'indique l'action de deux courants qui diminue très-vite quand la distance augmente), mais encore de la direction des éléments. La partie mathématique de la scienee que je vais traiter n'est donc pas encore parvenue au point de simplicité ou nous la verrons probablement un jour, et nous devons alors déterminer par expérience :

i* La direction de' la force; a* Sa valeur.

§ 5. Détermination de la direction de la force exercée par un élément de courant sur un autre élément.

7. Considérons (fig. 7) deux éléments de courant dont les milieux sont m et m'. Tout ce que nous allons dire sur les moitiés mn et mn de ces éléments s'appliquera \ la totalité. 0 et 0' représenteront les angles que font les courants avec la droite m 'm m'p étant parallèle à mn, nous nommerons «l'angle des plans mnm'p et mnm'n. Soient ds et ds' les longueurs des éléments que nous décomposerons ainsi :

mn en deux droites rectangulaires j^gj^gj

fds' cos0'

mn» en trois droites rectangulaires \ds ûiiq (cos «7 .p.

\ {sin *5

Nous pourrons alors remplacer l'action de mn sur m'n' par la somme des actions réciproques des sytèmes (A) et (B) ; car il résulte de l'expérience que :

Expérience. L'action d'un conducteur rectiligne est la même que celle d'un conducteur sinueux terminé aux mêmes extrémités et s'écarlant très-peu du premier (Expérience d' Ampère)*

8. Cette expérience prouve que l'action d'un élément peut, comme nous l'avons annoncé , être remplacée par celles de ses projections sur des droites ou des plans quelconques, et par conséquent celle de mn par celles de mi et in , ou mo et

mm'

mi, à cause du rapport infiniment grand — ; mais de toutes

mi

ces actions nous n'aurons h considérer que celles des systèmes de droites (C) f c c ° o ' g, j dirigées suivant la même ligne,

et ( D) | £j gj^ 8 'g' C Q g w | » agissant suivant les droites parallèles entre elles et perpendiculaires à la droite qui joint leurs milieux.

Une expérience va prouver en effet qu'un élément perpendiculaire sur lë milieu d'un autre est sans action sur ce dernier.

9. Expérience, Il n'y a aucun phénomène produit par deux courants qui , ayant même longueur et même intensité, sont superposés en sens contraire; par conséquent, dans les actions réciproques de deux fils on change le sens de l'action sans altérer son énergie lorsqu'on renverse un des courants, tandis que le renversement simultané de l'un et de l'autre ne produit aucun changement. Ces faits étant vérifiés pour des fils de grandeur finie et quelconque seront nécessairement vrais pour des éléments. Passons maintenant à la démonstration du théorème énoncé. •

10. Prenons un élément trot; et, sur une perpendiculaire (fig. 2) au plan qui le contient, plaçons un autre élément mV. Quelle que soit l'action exercée par le premier sur le second» si l'on suppose que celui-ci se meuve suivant la droite m' on' et vienne se placer en m'n' à une dislance du point o , pied de la perpendiculaire égale à on', l'action sera égale et de signe contraire à celle que nous avons considérée primitivement (9). Elle change donc de sigue aussitôt que mV passe au-dessous du plan, et doit par conséquent être nulle ou infinie quand cet élément se trouve partagé au point o en deux parties égales ; or, le premier cas étant seul admissible, nous devons considérer comme vrai le principe dont nous avions besoin. Si les deux courants étaient situés dans un même plan, on ferait alors passer par l'un d'eux un plan perpendiculaire sur la direction de l'autre» et on retomberait dans le cas précédent.

11. L'action de deux, éléments de courants agissant d'une manière quelconque dans l'espace se trouve ainsi ramenée à

celles qu'exercent entre eux des éléments situés snr une même droite et des droites parallèles , et il nous faut dans chacun de ces cas rechercher la direction de la force.

1 1. Prenons deux éléments mn , m'n' (fig. 3) égaux à l'unité, de même intensité et marchant en sens contraire. Soit o le milieu de la droite qui les joint, il est évident que dans ce cas l'action doit passer par ce point (car nous admettrons comme axiome que les actions mutuelles des éléments doivent être égales et directement opposées) ; de plus elle doit être située sur nn. En effet, supposons que ob soit sa direction» a étant l'angle que fait cette droite avec les éléments , angle qui pourra être droit sans que la démonstration soit en défaut. Tout étant symétrique autour du conducteur, si je considère le point o comme le sommet d'un cône ayant a pour angle , il est évident que toutes ses génératrices pourront tout aussi bien que ob indiquer la direction de la force; il y aurait alors une infinité de manières de la représenter, ce qui n'est pas possible; elle est donc dans ce cas dirigée nécessairement suivant nn'. Si )es courants mn , m'n' allaient dans le même sens, on placerait sur le second un élément m'n' de même longueur et de même intensité, et en sens opposé, alors il n'y aurait plus d'action; mais w"n"et«« agissant suivant la droite qui les joint, m'n' devra aussi agir suivant cette ligne.

1 3. Considérons maintenant (fig. 4) le cas de deux courants parallèles mn , m'n', l'action sera encore dirigée suivant dd'. Admettons pour un instant que sa direction puisse être représentée par o b , située d'une manière quelconque dans l'espace et passant nécessairement par le point o, milieu de dd'. Je décompose alors la force en trois autres rectangulaires dirigées suivant ob' ob" et od, et je vais démontrer que od seule n'est pas nulle. Faisons décrire à tout le système une dimi-circonférence autour de dd', il prendra une position inverse de la précédente , et les forces ob' ob" seront les mêmes que précédemment, mais dirigées en sens contraire, et l'action totale aura changé de direction. Ce fait étant en contradiction avec l'expérience, puisque, ayant changé la direction des deux

courants, l'action ne doit pas changer, il est nécessaire que ces deux forces où' et ob" soient toujours nulles , donc Faction de mn anr m'ri est comme dans le cas précédent dirigée suivant la droite qui joint les milieux de ces éléments. On démontrerait comme précédemment que si les courants n'allaient pas dans le même sens le théorème serait encore vrai.

i4* Si l'on objectait que Faction de deux éléments ne se réduit pas à une seule force» comme nous Favons supposé, on appliquerait le raisonnement précédent aux deux forces auxquelles on la ramènerait nécessairement» et si les courants étaient de longueur et d'intensité différentes , on les remplacerait par un certain nombre d'éléments identiques. De sorte que dans tous les cas possibles Faction de deux éléments est dirigée suivant la droite qui joint les milieux , et se réduit alors à la somme des forces exercées par les systèmes :

{ ds cos 9 1 f ds sin. g )

\ds cos 0' J j ds sin $' cos •» j'

Nous allons maintenant rechercher sa valeur,

§ 4> Détermination de la valeur de la fwce.

15. Soient i\ /' les intensités des deux courants, c'est-à-dire les actions exercées par des longueurs de fils égales à l'unité. L'action à l'unité de distance étant égale au produit des intensités et des longueurs des éléments, nous aurons, pour représenter dans ce cas les forces produites dans chaque système (C)et(D),

(E) ii' ds ds' cos 9 cos 9\ (F) ii' ds ds' sin 9 sin fi' cos ».

16. Mais à mesure que la distance augmente , ces actions varient suivant des lois différentes qui nous sont tout- à-fait inconnues. Tous lçs géomètres qui jusqu'à présent se sont occupés de ce sujet ont admis qu'elles étaient réciproques à une certaine puissance de la distance r, et que l'une était proportionnelle à l'autre. Il était donc nécessaire de donner à ce»

• recherches toute la généralité sans laquelle il serait impossible

faits , et l' analyse acquerra ici cette puissance qui en fait l'un des instruments les plus précieux pour la découverte de la vérité.

17. On ne peut admettre à priori que la force représentant l'action de deux éléments est simplement en raison inverse d'une puissance do la distance; elle pourrait suivre une loi plus compliquée et différente pour chaque système. Nous abandonnerons donc les deux hypothèses qui jusqu'à présent ont été la base des théories que nous allons exposer, et en représentant par f (r) et F (r) les lois suivant lesquelles varient avec la distance les actions (E) et (F) , nous aurons , pour représenter la force exercée par deux éléments dirigés d'une manière quelconque dans l'espace,

(1) F = ii' ds ds'[f{r) cos 0 cos 0'-fF(r)sin asinO'cos*» j

qui devient

(2) F=iï dsds'[{ f(r) — F (r) ] cos 0 co$9'+F (r) cos ,]

en désignant par s l'angle des deux éléments , et en observant que l'on a cos « =cos ô cos 0' + sm e *' n fi ' cos w »

18. Je vais établir, pour déterminer les fonctions qui entrent dans cette formule , des éléments dont nous ferons par la suite un fréquent usage.

On a (%. 5 ) wk = ds cos 0 = dr

m'k't= ds cos ô' = — d r, dr et frétant les différentielles partielles relatives à s et à s\ Ces valeurs seront toujours de signe contraire, quelle que soit la direction des courants. On a encore op = ds cos e — d (r cos 0' ). Passons maintenant à la recherche des fonctions /•(r)etF(r). . . ^

19. Si f (r) désigne une fonction quelconque de la distance , on aura toujours ï identité :

(3) rd | f (r) cos ¥ \ (

^jr* cos*cos*'d JL-f ? (r) cosc]

En comparant cette formule à (a) on voit qu'on pourra changer cette dernière en

(4) F = iï ds' [rd. ( f (r) cos«' j + * (r) cos . ds] , ? (r)

et ^ (r) étant deux nouvelles fonctions indéterminées liées aux premières par les deux relations suivantes

90. L'expérience suivante nous permettra d'en déterminer une.

Expérience. Un courant circulaire ne produit jamais de mouvement (fig. 6) sur un conducteur mobile de forme quelconque terminé dans l'axe du cercle et ne pouvant que tourner autour de cet axe. Nous considérerons ici un courant rectangulaire abcd et un courant circulaire. L'action tangentielle d'un élément aura pour expression

(6) f=Fco8e'==«'^[r(£| ? (r)cos 0' j -f +(r)eos«rfs]cosô'

et l'action totale du cercle s'obtiendra par la double intégrale

(?) ir*/ ds ' c / r ^ { ? w cos « r } c °* ' +/* m

eos i cos O'ds] L'intégration relative à ds donnera .

r? (r) cos* 0' -^f* 1 * cos e cos fl ' ( + ( r ) ? ( r ) } et le premier terme étant nul aux limites, on aura pour l'action cherchée <

(8) ^rffds ds ços« cos 0' j * (r) — ? (r) ] = o.

Il est facile de voir, à l'inspection de la figure, qu'on a cos » ds = 4- sin 5*(fc => cf (r cos O 7 ). On -devra prendre le signe -|ou le signe — i suivant la portion ab ou cd que l'on considère.

— Jt —

On aora donc r cm * = + s sin j', et substituant dans (8) les

valeurs précédentes de cos « et cos 0', on obtiendra

(9) ~7rf> d >f *' { * M 7- 1 w j - = o.

r, et r, exprimeront respectivement les rayons relatifs à a£ on cd , ce qui fait alors disparaître le double signe de l'équation. Si on fait attention à la manière dont on a obtenu la formule (9) , il est facile de voir que la première intégrale ne se rapportant qu'à une portion donnée du courant, que nous ne supposerons pas devoir changer de ligne, est essentiellement positive; dans la seconde sinV est positif pour tontes les valeurs de s, et r, étant toujours ou plus grand ou

plus petit que r, , le facteur — — — ne peut jamais être nuL

On doit donc, dans cette somme, avoir nécessairement, et quel que soit r,

ce qui change la formule (4) en

(10) -jr = ds' [ r d |y (r) cos 6'j + y (r) cos e d$].

Pour déterminer ? (r) nous nous appuierons sur l'expérience suivante.

2i. Expérience, L'action d'un conducteur rectiligne indéfini (fig. 7) sur un conducteur rectiligne fini qui lui est parallèle, est proportionnelle à la longueur de ce dernier courant , et réciproque à leur distance mutuelle. En effet, si / et/' représentent la longueur de deux courants finis , y et y' leurs distances à un courant indéfini , l'expérience montre que ces deux courants sont en équilibre sous l'influence du courant

indéfini, si l'on 87 = ^7. Soit donc MN le courant indé-

fini \A B le conducteur fini ; o'p = y ; on a 0 = 0\ cos • = u L'action , suivant d p , nous sera donnée par

i étant la longueur du courant fini, et en observant que sîn 0 , nous aurons alors, d'après l'expériqnce,

qui équivaut à N

mais la première intégrale ? (r) cos 0 étant nulle aux limites , l'équation se réduit définitivement à

(,3) / y * ; <fe = ____, d on t nous devons tirer tir).

2 s. En posant - 2 ~— F (r*) = F (y« + *■) on aura en général >

Et par conséquent

expression qui nous conduira à l'équation suivante en posant

V (s) A*) - 4 r| v-rï

En différentiant et observant que r G) = £ r (i) , on aF{z) .-i-, d'oùF(r') « JL. et

? (r) « k . De cette valeur on déduit facilement pour les

k k fonctions primitives . F (r) » — et f (r) «* — -

(1) ryt, intégrait culérienne.

râleur» qui, substituées dans {A), donnent pour l'action mutuelle de deux éléments , et indépendamment de toute hypothèse ,

(, v r, ii'dsds'. ( . A \

i4) F = — j sm $ sin e* cos w — ^ cos fi cos fi' J.

s3. Cette formule est précisément celle qu'Ampère avait admise depuis long temps dans sa théorie des phénomènes électro-dynianiques, où nous allons puiser la plupart des résultats qui terminent celte première partie; elle peut se transformer et prendre plusieurs formes que nous emploierons indistinctement suivant l'avantage que nous y trouverons pour les calculs. On aura :

(M) F * ds ' | sin fi sin fi' cos « — 1 cos 0 cos fi' ].

On déduit facilement de (M)

iï ds (cùsr\

En observant dans (N) que cos fi', =~~~ d ' r k on arrive à

ds

2 ii' ' d* \ y

(0) F = — ds ds>.

Vr dsdsr

La combinaison des trois équations suivantes ds' /cosô'\ dsds'i * dr-d'r). ,

008 4 ~ rf7 ~ds~~~ds~aV d* î rdV (/r <*'r

r ds ds ds ds'

dsds' r 1 à

^ r. " <k UoS