CHAPITRE VII

Cadence et EOolation

§ l. — Groupement de trois sons (C).

Nous allons étudier, parmi les groupements de 3 sons, signalés au chapitre III § 7, ceux qui n’utilisent que les 3 premières empreintes, ou les 3 premières fenêtres. Les intervalles parcourus ne comportent que les nombres 1, 2 et 3. Ce sont les groupements (45) C, (46 C, (47) C, et (48) C, savoir :

Intervalles :

Nombres ; 2 3

Le premier correspond à un dédoublement direct première manière, le second à un dédoublement direct seconde manière, le troisième à une concentration directe première manière, et le quatrième à une concentration directe deuxième manière.

Ce qu’il y a de particulièrement remarquable dans ces groupements, c’est qu'en lait les trois sons se réduisent à deux, si on tient compte de la périodicité. C’est qu’en effet les deux sons des groupements P (chap. VI H, se réduisent à un seul. Ces combinaisons conduisent donc en réalité à la simple expression d’un intervalle général conçu comme on l’a dit au chapitre VI g 8. L’intervalle ainsi caractérisé n’est autre que l’intervalle original qui se rapporte au nombre premier absolu 3.

§ 2. — Cadence proprement dite.

Nous désignons sous le nom de cadence proprement dite le premier des quatre groupements définis au paragraphe précédent. Nous constatons que, dans ce dédoublement, les sons se trouvent complètement arrêtés au repos, après leur mouvement, et que cet arrêt consacre l’intervalle d’octave qui sépare les sons extrêmes. (-|-) + (-£-) = (-J-) Cette propriété, unique dans la série des intervalles primaires, tient à ce fait que le nombre 3 est le seul qui soit immédiatement précédé et suivi d’un nombre puissance de 2 : savoir 2 et 4.

§ 3 . — La cadence est aussi une concentration.

On a vu au chapitre VI § 14 comment on pouvait généraliser la théorie des 3 sons, en tenant compte de la périodicité. Imaginons que le dédoublement (87) soit précisément la cadence proprement dite définie au paragraphe précédent. L’intervalle montant est M = (-|-) et l’intervalle descendant D = (-§-). Leur somme en valeur absolue est l’octave (—j—). Considérons alors la transformation fournie par la figure (88) ; les deux sons et S\ se trouvent confondus en un seul. C’est ainsi que la cadence proprement dite peut être considérée à la fois comme un dédoublement et comme une concentration de sons.

$ 'i. — Cadence mélodique.

Considérons la cadence proprement dite, figure (97). Nous voyons le son partir d’une position préalable S et aboutir après dédoublement aux deux sons Ni et N 2 qui n’en l’ont en réalité qu’un seul, puisqu’ils sont à l’octave l’un de l’autre. Comme le son S- 2 est implicitement contenu dans le son S u nous pou-

vons ne pas 1 énoncer. Il ne reste alors explicitement exprimée que la simple

montée de 1 intervalle (——• j. C’est ce que nous nommons la cadence mélodique.

Considérons, de la même manière, l’expression par concentration qui résulte de la transformation indiquée au § 3 (cette transformation n’est d’ailleurs pas autre chose que le quatrième groupement du § 1). Cette expression est figurée au schéma (98). Les sons Si et S\, espacés d’une octave, se concentrent en S. Mais le son Sj est implicitement compris dans S i, on peut ne pas l’exprimer et la cadence se trouve définie par la simple descente du son S’i d un intervalle (-ÿ—)• G est une seconde expression de la cadence mélodique :

La cadence mélodique se trouve ainsi réduite à la simple énonciation <1 un intervalle mélodique, soit en montant, soit en descendant.

Ces faits sont d’ailleurs corroborés par le second et parle troisième des quatre groupements indiqués au § I.

L’intervalle (-g - ) se nomme quarte et l’intervalle (-|—) se nomme quinte. Ainsi écrits la quarte et la quinte sont parcourus dans le sens direct pour former cadence.

§ 5. — Evolution.

Nous aurions pu considérer en sens inverse les quatre groupements du ü 1. Tous les déplacements des sons se seraient effectués en sens inverse, c'est-à-dire dans le sens indirect. Ces groupements inverses des cadences se nomment évolutions et les parcours des intervalles de quarte en descendant (JL), ou de quinte en montant, (-§-), se nomment évolutions mélodiques.

§ 6. — Dominante et Fondamentale.

La quarte et la quinte telles qu’elles ont été définies au S 4 forment un même intervalle général, celui qui est caractérisé par le nombre premier 3 ; chacun des deux états particuliers qui forme la quarte ou la quinte se trouve être le renversement de l’autre. Dans la quarte, la réplique est formée par le son le plus grave et le repos par le son le plus élevé ; dans la quinte c’est le contraire. La direction de ces deux intervalles originaux est très caractérisée, elle est montante pour la quarte et descendante pour la quinte ; le mouvement indirect, appelé évolution, se fait en sens inverse.

Les deux sons qui constituent l’intervalle de cadence, quarte montante ou quinte descendante portent chacun un nom particulier. Le son d’où l’on part pour faire la cadence s’appelle dominante, c’est le son qui est préalable ; le son auquel on aboutit s’appelle fondamentale, c est le son sur lequel porte la cadence en s’y arrêtant.

§ 7. — Cadence partielle.

Le moment est venu de rendre compte et d’expliquer plus complètement ce que nous n’avons fait qu’esquisser au § 13 du chapitre VI. Exami-

nons l’intervalle différentiel ("g - )- qui renferme le facteur 6 au numérateur et

voyons quel est le sens du parcours direct en rattachant ce mouvement à l’intervalle original caractérisé par le nombre 3.

Considérons les quatre sons R, S, S' et F dont les vibrations seraient proportionnelles à la série des nombres 8, 10, 12 et 15, conformément aux

indications mentionnées sur la figure (99). Nous constatons qu’entre les sons R et S' 1 d’une part, et S et F d’autre part, il y a un intervalle de quinte, soit (-7-). Entre R et S d’une part, et S 1 et F de l’autre, il y a un intervalle de (-7-), c’est-à-dire un intervalle original primaire. Entre S et S 1 il existe un intervalle

de c’est-à-dire un intervalle différentiel.

Reportons-nous maintenant à ce qui a été dit au § 14 du chapitre I, nous voyons que l’intervalle différentiel entre les sons S et N 1 forme les sons conjugués de l’intervalle original de R à F, à des octaves près. Si on supprime en effet les facteurs 2 des nombres 8, 10, 12 et 15 , on trouve 1, 5, 3, 15.

Le premier est l’unité et le dernier est bien le produit des nombres intermédiaires 5 et 3.

Or, on se souvient que nous avons fait remarquer la complication résultant des intervalles différentiels, pour la notion de direction, en indiquant que l’expression des deux sons S et S 1 entraînait nécessairement celle de deux autres sons R et F, ou tout au moins de l’un des deux.

Parmi les deux sons dont l’intervalle S S 1 donne la notion, celui qui est le plus caractérisé est évidemment le son R, qui forme le support réel, car le son R n’a pas besoin detre exprimé pour être senti. Rendons-nous compte de la direction à prendre pour l’intervalle S S', en le considérant tout d’abord dans ses relations avec le son R.

Partons du son S 1 et parcourons l'intervalle de . < > 1 à S en descendant, c’est-à-dire conformément à l’expression (Au moment où nous arrêtons le son en S, nous ressentons immédiatement l’impression du support réel lî. Nous avons par conséquent le sentiment d’une descente de (-§—) c’est-à-dire d’une cadence, et pourtant le son réel n’a pas parcouru tout l’intervalle de cadence. C’est ce que nous exprimons en disant que le son a fait une cadence partielle.

Comme le mouvement de cadence est direct, le mouvement de cadence partielle est également direct, et nous disons que l’intervalle diflérentiel de S à S 1 , pour être parcouru dans le sens direct, en se référant à la cadence, c’està-dire à l’intervalle (-§-), doit être parcouru en descendant, et par suite en plaçant le terme 6 au dénominateur (-£-).

Nous ajoutons enfin que quand le son a parcouru en descendant l’intervalle de .S' 1 à 5 soit (-jr), passe directement, par attraction majeure au son //, en prenant comme pivot le son préalable S*. On a en effet ; chap. 11 § 8 :

Dans le mouvement de cadence considéré, le son part de la dominante et aboutit à la réplique R 5 de la fondamentale R (schéma 82).

Tout ce qui précède s'applique à l’intervalle différentiel S x S considéré comme la différence des deux intervalles originaux R S ] et R S. Envisageons maintenant le même intervalle comme formé par la différence S V moins V; autrement dit, rapportons le mouvement au support virtuel V .

Nous disons tout d’abord que le son V ne résulte pas expressément de l’expression de l’intervalle S 5i. Pour avoir la notion du support virtuel, il faut que le son Fait été antérieurement exprimé et que notre oreille en ait gardé les empreintes. Ce son V devient alors le pivot du mouvement, le son .S* 1 se meut sur ce pivot avec lecjuel il forme l’intervalle (-4“) et l’attraction majeure le conduit à l’intervalle Q-ïrl) du pivot V, soit à (Hr) 011 à line f l uinte au-dessous. Il y a donc, encore ici, l’expression d’une cadence entre le pivot V et le son S, sur lequel s’est arrêté le mouvement. Quant au son réel, il n’a parcouru qu’une partie de l’intervalle de cadence, de S i à *S\ on dit encore qu’il y a cadence partielle.

Ici encore, pour donner l’impression d’une cadence, c’est-à-dire d’un mouvement direct, l’intervalle doit encore être parcouru en descendant, soit (~). Mais, à la différence de ce qui se passait dans le premier cas, il ne part pas de la dominante, mais aboutit bien au son £ sur lequel porte la cadence.

Dans les deux cas le mouvement de cadence est bien marqué par le mouvement descendant (-jU), mais dans le premier, celte cadence se réfère à l’intervalle (Hr) entre s1 et et dans ,e second elle se réfère à l’intervalle (-f-) entre V et S. 11 ne s’agit donc pas de la même cadence. On verra que cette différence caractérisera en partie la distinction des modes.

C'est tout ce que nous disons, pour le moment, de la direction de valle g— rapportée au nombre 3. Nous compléterons ce qu’il y a à

l’intervalle (-jp), rapportée au nombre 3. Nous compléterons

dire sur cet intervalle différentiel, à propos du nombre 5 , quand nous traiterons des accords parfaits.

Nous allons considérer encore l’intervalle différentiel (pp), qui, lui aussi, utilise pour 1 un de ces ternies le facteur premier 3 et qui se réfère par conséquent aux intervalles de cadence. L’intervalle (pp) est formé de la différence des deux intervalles originaux primaires

Envisageons, d’une manière analogue, à ce qui a été fait pour la figure 99), les quatre sons R, S, S 1 et V de la figure (100 , pour lesquels

les vibrations seraient proportionnelles à la série des nombres 21 , 24, 28, 32 conformément aux indications portées sur la figure. Nous constatons qu’entre les sons R et S d’une part, et V et S 1 d’autre part, il y a un intervalle

de quarte (—). Entre R et S 1 d’une part, et V et S d’autre pa'rt, il y a un

intervalle (JL-), c’est-à-dire un intervalle original primaire. Entre 5 et S' il existe un intervalle de (-?-), c’est-à-dire un intervalle différentiel primaire, lequel est précisément celui que nous voulons envisager.

Reportons-nous maintenant à ce qui a été dit au § 14 du chapitre 1, nous voyons que l’intervalle différentiel entre 5 et S 1 est formé par les sons conjugués de l’intervalle original /? V, à des octaves près. Si on supprime en effet les facteurs 2 de la série des nombres 21, 24, 28, 32, on trouve 21,3, 7, 1. Le dernier est l’unité, il correspond au support réel R ; le premier 21 est formé par le produit des nombres intermédiaires, 3 et 7, c’est le support virtuel.

L’expression de l’intervalle différentiel N S 1 entraîne la notion des sons

R et V, ou tout au moins du premier.

Rapportons le mouvement entre les deux sons 5 et 5* , d’abord au support réel./?. Partons du son S pour aboutir à S 1 , de manière à parcourir l’intervalle dans le sens Au moment oii nous nous arrêtons sur le son é’ 1 ,

nous ressentons l’impression du support réel /?; nous ressentons par conséquent le sentiment d’une montée de c’est-à-dire d’une cadence, et pourtant le

son réel n’a pas parcouru tout l’intervalle de la cadence, mais seulement

^ ^ C’est ce que nous exprimons en disant que le son a lait une cadence

partielle.

Comme le mouvement de cadence est direct, le mouvement de cadence partielle est également direct, et nous dirons que l’intervalle différentiel (—) de 5 à 5' , pour être parcouru dans le sens direct en se référant à l’intervalle ^ ^ y^ c’est-à-dire à la cadence, doit etre parcouru en montant, et par suite

en plaçant le terme 6 au dénominateur (-g-).

Nous ajoutons enfin que quand le son a parcouru en montant l’intervalle il passe directement, par attraction majeure, au son /?, en prenant

comme pivot le son préalable S. On a en effet (chap. Il, § 8) :

Dans le mouvement de cadence considéré, le son part de la dominante .S et aboutit à la réplique Ri de la fondamentale R (schéma 82).

Tout ce qui précède s’applique à l’intervalle différentiel N 5' considéré comme la différence des intervalles originaux N R et N 1 R. Envisageons maintenant le même intervalle comme formé par la différence S 1 V moins S V ; autrement dit, rapportons le mouvement au support virtuel V.

Nous disons tout d’abord que le son V ne résulte pas expressément de

l’énonciation de l’intervalle S S 1 . Pour avoir la notion du support virtuel V, il faut qu’il ait été antérieurement exprimé et que notre oreille en ait gardé les empreintes. Ce son P devient alors le pivot du mouvement, le son S se meut sur ce pivot avec lequel il forme l’intervalle (-f-), en vertu des attractions qui résultent de cet intervalle. Nous constatons que l’attraction majeure ne peut pas faire parcourir au son S l’intervalle S S 1 ; il faudrait pour cela que l’on puisse passer de l’intervalle (^r) à (- 5 -) par attraction directe, tandis que l’attraction majeure ne donne que (—î~)-

Mais si l’attraction réelle ne permet pas le mouvement, il en est autrement de l’attraction intuitive ; le son S comporte un son implicite formant avec le pivot l’intervalle renversé (-y-)- Or cet intervalle donne une attraction qui peut conduire le son à ) ; on a en effet à une demi-unité près :

Si de (- 5 -) on peut aboutir réellement à (-f-), on peut aboutir intuitivement de (-§-) à

Le son .S est donc conduit à 1 V 1 en vertu d’une attraction intuitive. Il y a par conséquent, ici encore, l’expression d’une cadence entre le pivot V et le son 5 ’ sur lequel s’est arrêté le mouvement. Quant au son réel, il n’a parcouru qu’une partie de l’intervalle de cadence, de 5 à S 1 , on dit encore qu’il y a cadence partielle.

Ici encore, en s’appuyant sur le support virtuel V, le mouvement direct de l’intervalle différentiel s’effectue en montant (- 5 -). A la différence de ce qui avait lieu dans le premier cas, il ne part pas de la dominante, mais il aboutit bien au son 1 S 1 sur lequel porte la cadence issue de V. Dans les deux cas la cadence est bien marquée par le mouvement montant, dans le premier c’est celle de S à R, dans le second celle de F à A 1 , ce n’est donc pas la même cadence.

Les intervalles différentiels formés entre les dix premières empreintes ne comportent aucun autre intervalle primaire utilisant le facteur 3. Il n’y a q«e ( - tj - ) et (—)• Fie sont donc les seuls qui puissent donner lieu à des cadences partielles.

Si nous considérons l'intervalle (~^-) qui forme la cadence partielle ascendante, il convient de l’associer à la cadence descendante pour obtenir le dédoublement et la concentration analogues aux précédentes et que nous indiquons sur les figures (103) et (104 :

Nous allons donner l’interprétation intuitive des dédoublements et des concentrations qui précèdent :

Considérons, sur une première ligne le son émis, sur une seconde ligne le son implicite 1/2 supposé faisant corps avec le premier dont il est partie intégrante. Prenons pour pivot le son implicite 1/3 figuré sur la troisième ligne, nous obtenons la figure (105 .

Son <?mis

Son Implicite 1/2 I

Pivot Implicite 1/3 |

La fenêtre n° I du pivot provocjue le dédoublement qui doit donner lieu à la cadence. Si on laissait cette cadence s’achever complètement, l’un des sons monterait conformément à la flèche f 1 et l’autre descendrait conformément à la flèche f. Mais on peut constater que, pendant le mouvement de descente indiqué par /'conformément à l’attraction de la fenêtre n° 1, l’empreinte 5 du son émis, déplacé en vertu de l’attraction intuitive précédente, vient poser sur la fenêtre 2 après avoir subi une descente suivant la flècbe<p. Le son peut s’arrêter là, d’autant mieux qu’il s’agit de la fenêtre 2 du pivot, à l’octave au-dessous de la fenêtre 1. Le mouvement de descente indiqué parla flèche/) c'està-dire la cadence, n’est pas complètement effectué, elle ne s’accomplit que partiellement suivant la flèche <p. Les mouvements combinés f' en montant et <p en descendant correspondent à la figure ( 101 ).

ün combine de même le mouvement complet de la flèche / avec le mouvement incomplet <?’ et on obtient l’explication intuitive du mouvement de la figure (103 .

Los concentrations (102) et (104) se justifient intuitivement d’une manière tout à fait analogue.

Remarque. — Lorsque le dédoublement est effectué par la fenêtre 1 de la figure (105 , nous pouvons admettre que le son, soit montant, soit descendant, n’effectue qu’une partie seulement Jdu mouvement de cadence, conformément aux indications des flèches <p et (p 1 . Nous obtenons alors un dédoublement direct comportant une descente de (-§-) en mème temps qu’une montée de(-^-) i mouvements marquant chacun une cadence partielle par le support réel commun 6 . D’un autre côté, si nous nous reportons au tableau (47) A 1 p — 4, nous trouvons que la disposition des trois sons telle que nous venons de la dire, correspond à une concentration. 11 y a donc une contradiction, mais il est facile de voir que cette contradiction n’est qu’apparente.

Nous venons de voir avec la figure (108) comment se justifie le mécanisme intuitif du "dédoublement considéré. Voyons inainteinent comment, en nous reportant aux explications du chapitre III, se justifie la concentration des trois mêmes sons :

Supposons que l’on examine le cas de la concentration des deux sons et admettons que ces sons se trouvent amenés tous deux à la position unique qui correspond à la concentration. Nous figurons cette position de concentration sur une première ligne, figure (106 . Considérons le son implicite 1/2 faisant corps avec le premier, ou plutôt avec les premiers, puisqu’il s’agit de deux sons concentrés, de manière à les suivre chacun dans leurs déplacements.

Mais, au lieu de considérer le pivot

implicite

1/3 comme

sur la

ligure

envisageons le pivot

implicite 1 / 2 .

Son «irais 1

Son implicite 1/2 |

Pivot implicite 1/2 |

Le son implicite 1/2, faisant corps avec le son émis, est à l'unisson du pivot, la fenêtre 3 reçoit l’empreinte 3. Déplaçons l’ensemble des sons supérieurs faisant corps ensemble, d’une part en montant jusqu’à ce que le point neutre n tombe sur la fenêtre 3 , d’autre part en descendant jusqu’à ce que le point neutre n x tombe sur la même fenêtre 3. Les deux sons ainsi déplacés ont un point neutre chacun sur la même fenêtre, ils sont en équilibre instable et les attractions tendent à les ramener à l’unisson. C’est ainsi que se justifie intuitivement la concentration indiquée (47) A \p = 4. Les combinaisons des sons des figures (105 et (106) sont les mêmes, seuls les pivots diffèrent. Mais ce changement dans le pivot intuitif suffit à altérer le sens du mouvement. Dans la figure (105 c’est la fenêtre 1 qui sépare les sons, fenêtre qui correspond à l’empreinte 3 du son émis. Dans la figure (106) c’est la fenêtre 3 du pivot qui opère, et qui correspond à l’empreinte 6 du son émis. Il n’y a donc pas contradiction. Cependant ces faits montrent combien est complexe l’étude des questions de direction, dès qu’il s’agit d’intervalles différentiels. Ce que nous en avons dit suffît pour justifier tous les cas qui pourront se présenter.

§ 9. — Cadence élidée.

Nous allons étudier dans ce paragraphe ce que nous convenons d’appeler les cadences élidées, qu’il ne faut pas confondre avec les cadences partielles. Lorsqu’un son passe d’une réplique de la dominante, par attraction, à