CHAPITRE XI

Echelle diatonique. — Tempérament

§ l. — Echelle diatonique.

L’échelle diatonique s’est révélée pour la première fois au chap. VIII, 8, à propos des sillons creusés dans les cordes de l’oreille, par les empreintes des sons dérivant de mouvements d’accords parfaits. On tombe sur la même série de sons, en partant de l’accord majeur d m s ou de l’accord mineur l d ni , il n’y a de différence que pour le son r, qui est plus bas de un comma i, dans la seconde combinaison que dans la première. L’échelle diatonique caractérise donc une série d’accords parfaits, au nombre de six, trois majeurs, trois mineurs, figure (164) :

Le /* porte la mention + pour indiquer les deux positions que peut prendre le son suivant quon le lie à sol et si , ou à fa et la .

L’échelle diatonique peut se déduire d’une notion plus générale ; elle doit permettre d’obtenir tous les intervalles qui résultent des empreintes que l’on peut percevoir distinctement. On a vu que les empreintes distinctes ne dépassent pas la dix-huitième, figure (147), chap. IX, § 10. D’un autre côté, les empreintes directes, en ce qui regarde la consonnance, se limitent à la sixième ; les empreintes directes supérieures sont nécessairement moins accusées et d'un usage forcément plus restreint. Bornons-nous donc à l’usage des empreintes signalées à la figure (165 :

Tous les nombres qui forment les numéros d’ordre, à part le facteur 2 qui ne modifie pas les intervalles généraux, sont constitués par les facteurs premiers 3 et 5, le premier pouvant être élevé à la puissance 2, savoir 3 2 = 9.

Il est aisé de voir que les intervalles résultant des empreintes admises ne peuvent être exprimés que par des fractions dont les termes seraient formés par les diviseurs de 3 2 X5 = 45. Prenons dès lors les sons conjugués de l’intervalle (-^-), ils comprendront entre eux tous les intervalles possibles, c’est-à-dire figure (166) :

f cl l s m t

Tous les sons de l’échelle diatonique se trouvent représentés, sauf le son ré qui est étranger et qui va s’ajouter après coup.

Nous devons, toutefois, avant de quitter ce §, faire une petite réserve. En disant, il y a un instant, que les sons à utiliser devaient constituer, en les prenant deux à deux, tous les intervalles possibles résultant des empreintes considérées, nous avons été trop loin en indiquant que toutes les fractions résultant des nombres de la figure (166) répondaient à la question. Il aurait fallu ajouter la réserve que chaque terme de fraction ne devrait pas dépasser 18, limites des empreintes distinctes. Tous les intervalles de la figure (166) repondent donc à la question, sauf un, celui qui s’étend de / à /, puisqu'il est défini par le nombre 45, plus grand que 18. Les sons /'et / sont donc sans rela-

tion moyennant les empreintes considérées. C’est précisément la nécessité dans laquelle on s’est trouvé de créer cette relation qui a fait admettre accidentelle¬

ment l’empreinte 7, quand cet intervalle se présente. L’intervalle caractérisé

c’est ce que nous avons mentionné à la figure 144), du chap. IX, S 6.

§ 2. — Symétrie, axes.

Si on considère la figure (166), on constate que tous les sons se présentent en formant des intervalles symétriques. Les sons, conjugués deux à deux, sont à égale distance des extrêmes, savoir :

f est conjugué et symétrique de t

Il ne faut pas perdre de vue que les combinaisons musicales sont néces¬

sairement périodiques, et que cette périodicité correspond à l’octave. Nous allons démontrer que s’il existe un axe de symétrie, ainsi qu’on vient de le

faire voir, il doit s’en trouver nécessairement une infinité espacés entre eux d’une octave.

Soit S un son qui se reproduit périodiquement d’octave en octave, en Si, 5 2î etc. On voit, sur la figure (167), que s’il existe un son S 1 symétrique de S par rapport à un axe A ; le son S\ sera symétrique de S 1 relativement à Taxe

A 1 à une octave au-dessus de .1 ; le son A ’ 2 sera symétrique de A' 2 relativement

à Taxe d 11 à deux octaves au-desssus de A et ainsi de suite. Il y a donc une série d’axes A , A\ A ll y etc., espacés entre eux d’une octave.

Bien plus, nous allons faire voir qu’au milieu de l'intervalle compris

entre deux axes consécutifs tels que A et A 1 , il y a nécessairement un autre axe Z?, qui, lui aussi, se reproduira d’octave en octave sur les points B\ B n , etc. En effet, à tout son S suivant Taxe d, correspond un son S 1 symétrique ; la périodicité entraîne l’existence de S\ à une octave au-dessus de S 1 ; or ce son S\ est symétrique de A" relativement à la position 77, donc cette position correspond à un nouvel axe de symétrie.

Pour nous rendre compte de la position de ces deux axes moyennant les sons de la figure (166), nous allons considérer les états généraux de tous ces sons, conformément à ce qui est mentionné (168) :

d ni f s l t d m f s l t d m f 8

On constate une série d’axe d’un premier type, au milieu de la tierce majeure qui sépare deux états particuliers consécutifs de do et mi. Ces axes sont marqués d, A\ A ", d ,u , etc. On constate une série d’axes du second type, au milieu de l’intervalle ) qui sépare deux états particuliers consécutifs de sol et la. Ces axes sont marqués 77, B\ B u , etc.

§ 3. — Premier axe, son de liaison.

Si on considère tous les sons de l’échelle mentionnés à la figure 168), on constate qu’ils font tous entre eux, deux à deux, soit un intervalle consonnant, soit la différence ou la somme de deux intervalles consonnants. 11 n’y a d’exception que pour les sons conjugués si et fa.

Considérons ces deux sons, à l’égard de l’axe de symétrie du type A , et remarquons que l’intervalle total de si à fa , en montant, dans l’état particulier le plus rapproché des deux sons, est Envisageons dès lors un son

placé à une tierce mineure au-dessus de si , en même temps qu’un autre son à une tierce mineure au-dessous de fa ; ces deux sons seront respectivement à des distances du son si égales i\ :

(f) d ’ ,,,,e et (ir) ~ (1) = (If)

Ils seront donc séparés par l’intervalle :

qui caractérise le comma mineur. Ces deux sons ne sont pas autre chose que ceux que nous avons appelés et f au § 1. Le premier £ est en relation avec sol et si, au moyen d’intervalles consonnants. Le second est en relation avec la et /«, au moyen d’intervalles consonnants. On fond ces deux sons en un seul et on considère qu'il sert à établir une liaison qui n’existait pas entre si et fa , au moyen d’intervalles consonnants ; le même son unit sol et la avec la même approximation i.

Le son ainsi obtenu té peut donc s’appeler son de liaison. Il constitue en quelque sorte le premier axe de symétrie.

§ 4. — Intervalles diatoniques.

On nomme intervalle diatonique tout intervalle que l’on constate entre deux sons qui portent sur les degrés de l’échelle diatonique. On le désigne d’après le nombre des sons que l’on peut compter entre les extrêmes, par degrés conjoints (c’est-à-dire étals particuliers serrés et contigus), les extrêmes compris. Les intervalles se désignent d’après ce nombre :

Seconde, tierce, quarte, quinte, sixte, septième, octave, neuvième, dixième, onzième, etc. C’est là l’origine des noms que nous avons donnés depuis un certain temps, pour l’octave et les intervalles consonnants.

Le plus important des intervalles diatoniques est naturellement l’octave, qui, comme nous le savons, ne constitue pas, à proprement parler, un intervalle : c’est la période qui équivaut en quelque sorte à l’unisson.

Vient ensuite, dans l’ordre des intervalles primaires, la quinte (-|~) Tandis que l’octave se présentait nécessairement en regard de tout son de l’échelle, l’intervalle de quinte (-|~) ne se présente plus que pour tous ces sons moins un, étant entendu qu’il faut faire en quelque sorte un décrochement du conima i, quand on passe par le son de liaison . L intervalle de si a fa en montant qui présente cinq sons, mais qui est moindre que ( —) se nommera quinte mineure.

Vient ensuite la quarte (-g - ), qui est une combinaison de l’octave et de la quinte et qui, par suite, en raison de la périodicité, se place sur les mêmes degrés. Toutes les quartes ont la valeur (-|-), sauf de fa à si en montant, on la nommera quarte majeure, parce qu’elle est plus grande que (-g-).

Constatons en passant que deux intervalles qui sont le renversement l’un de l’autre, comme la quinte et la quarte, lorsqu’on fait la somme des nombres caractéristiques, forment le total 9 ; ainsi :

Quinte et quarte donnent 5 + 4 = 9

Tierce et'sixte — 3 + 6=9

Seconde et septième — 2 + 7 = 9

11 n’y a pas lieu d’envisager les intervalles de neuvième, dixième, etc.,

qui sont des redoublements d’intervalles normaux. La différence des nombres des intervalles correspondants donnera toujours 7 ; ainsi :

Neuvième et seconde donnent 9 — 2=7

Dixième et tierce — 10 — 3=7

Onzième et quarte, etc. — 11 — 4=7, etc.

Ces désignations ne sont guères usitées au delà de la neuvième.

Il est utile de remarquer ici que les intervalles redoublés n’ont pas, à proprement parler, de renversement. Cette expression ne peut s’appliquer qu’à un intervalle normal. Soit un son S et un son S ’ qui font entre eux un intervalle normal, on appelle renversement de l’intervalle SS' celui qui est formé entre le son S et un son S\à une octave au-dessous de S\ On voit dès lors que, si l'intervalle en S et S' était supérieur à une octave, l’intervalle S S\ obtenu par le meme procédé, serait l’intervalle normal, en raison des propriétés de périodicité,

| Intervalle normal

et renversement.

Intervalle redoublé et intervalle normal.

Ainsi, en appliquant à un intervalle redoublé la même opération que celle qui a donné le renversement de l’intervalle normal, on tombe sur l’intervalle normal correspondant à l’intervalle redoublé.

Après l’intervalle primaire de quarte vient celui de tierce majeure (-y-) qui se pose de f à /, de d à ni et de s à t .

Vient ensuite la tierce' mineure (-f-) qui se pose de ^ à f\ de l à cl , de m à .*, et de t à

U y a enfin la seconde qui prend trois valeurs:

1 ° (-|-), différence de quinte et quarte, on l’appelle ton majeur.

2 ° (- 7 -), différence de quarte etlierce mineure, on l’appelle ton mineur.

Le Ion majeur et le ton mineur sont des infléchissements l’un de l’autre. Ils forment en quelque sorte la seconde majeure.

3 ° (-jj-), différence de quarte et tierce majeure, on l’appelle demi-ton diatonique. Cet intervalle est également la différence entre la tierce mineure et le ton majeur (-g—) ; il forme en quelque sorte la seconde mineure.

Nous 11 e parlons pas des sixtes et des septièmes qui correspondent en définitive aux tierces et aux secondes. Il suffit de constater que ces intervalles sont majeurs quand leurs correspondants sont mineurs et inversement.

§ 5. — Intervalle chromatique. — Dièze et bémol.

que nous prenons dans la position neutre. Cet accord comporte une tierce majeure de / à l et une tierce mineure de l à d. Transformons-le en un accord mineur sans changer les sons principaux, fondamentale et dominante, mais en altérant la médiante. Il nous suffira d’abaisser le son l d’une quantité égale à la différence entre la tierce majeure et la tierce mineure :

Nous obtenons ainsi un nouvel accord f l { d , dans lequel le son Z, est plus bas que le son l de L’intervalle de f à l { doit conserver son caractère de

tierce, puisqu'il forme l’intervalle de tierce mineure ; de même, l intervalle de l { à ci doit conserver son caractère de tierce, puisqu’il forme l’intervalle de tierce majeure. En suivant les degrés de l’échelle, nous devons donc conserver trois sons de / à l x et trois sons de à do. Il est donc indispensable que le son /, ainsi altéré, se nomme encore /#, mais pour qu’il n’y ait pas confusion, l'altération de (-^) en descendant sera marquée par le signe b, appelé bémol.

L’accord f l d majeur,

devient f I d mineur.

Si, au lieu de considérer un accord majeur comme f l d , on était parti d’un accord mineur, en se proposant de le transformer en accord majeur par une altération analogue, il aurait fallu hausser le son de la médiante de (— en lui conservant son nom pour garder aux intervalles leur caractère de tierces. L’altération est indiquée par le signe *, appelé dièze.

L’accord m s t mineur.

devient ni s t majeur.

Cette modification des sons, par ^ ou # , qui conserve au son le nom qu’il porte sur l’échelle, se nomme altération chromatique. L’intervalle chromatique se place donc toujours sur deux sons qui portent le même nom. Cet intervalle (—££—) a été signalé sur la figure (137) du chap. IX, au moyen de l’empreinte douteuse. On le nomme souvent aussi demi ton chromatique.

§ (>. — Deuxième axe. — Axe modal. — Gomma anharmonique.

Considérons les deux sons obtenus au § précédent

à une tierce

majeure au-dessous du do , et le s à une tierce majeure au-dessus du mi. En

combinant ces deux sons, avec do et mi qui servent à les repérer, nous obtenons la figure (169) :

dans laquelle les sons extrêmes marqués d sont espacés d’une octave, les sons

m s et \ d , espacés de tierces majeures. La somme de ces trois tierces

d m , m £ et : d , espacés de tierces majeures. La somme de ces trois tierces majeures étant plus petite qu’une octave, il reste, entre les deux sons £ et ^

un petit intervalle K , dont la valeur (—|r§-) se calcule ainsi :

Cet intervalle K est moindre que la tolérance, puisqu’il est compris entre = (-£-) et (-j§p) = (-£-). Les deux sons j et J pourraient donc être confondus si l’on avait égard qu’à la faculté /.. Mais en admettant cette

confusion on diviserait la période d’octave en trois parties égales, formées chacune par un intervalle original (-|-), il y aurait commune mesure entre la période qui peut en résulter et la période obligatoire d'octave ; l’indication de ces deux périodes est incompatible. Les deux sons ® et ^ ne peuvent donc pas

être confondus. C’est pour cela que nous avons tant insisté dans le § précédent sur la nécessité de conserver les trois sons des intervalles de tierces après l’altération par ^ ou par?. C’est le procédé qu’emploie la musique pour éviter l’identification de deux sons très voisins qui ne doivent pas être confondus, à cause de l’incompatibilité.

L’intervalle K se nomme comma anharmonique. Il sépare les deux sons ^ et ^ qui définissent en quelque sorte le second axe, dit axe modal.

§ 7 . — Intervalles anliarmoniques.

Considérons l’intervalle compris entre £ et le do supérieur sur la figure (169/ ; cet intervalle est égal à (—^-) ; c’est une inflexion de la tierce majeure ; mais l’intervalle ne doit jamais être confondu avec cette tierce majeure afin d’éviter l’incompatibilité que nous avons signalée. On dit alors que cet intervalle est une quarte, puisqu’il correspond à quatre sons consécutifs £ l t d , mais cette quarte qui est moindre que (~4~) c ^ e l’intervalle chromatique s’appellera quarte diminuée. La quarte diminuée est donc une inflexion de la tierce majeure ; comme elle ne porte pas sur les mêmes degrés de l’échelle, on dit que c’estune inflexion anharmonique.L’intervalle de quarte diminuée forme ce qu’on appelle un intervalle anharmonique ; il ne faut pas la confondre avec la quarte infléchie, (-|^—) par exemple, qui se confond avec la quarte et qui pose sur les mêmes degrés de l’échelle.

Au lieu de définir les deux sons s et } par les tierces majeures qui les séparent des sons mi et do, nous pouvons les rattacher aux sons si et fa , contenus dans les accords altérés du § 5. On peut constituer ainsi le schéma (170) :

Cette figure montre que quatre tierces mineures, moins le comina anharmonique A r , forment un intervalle de une octave plus un comma i ; elle met en évidence une inflexion de la tierce mineure de / à 'l et de \ à t dont la valeur est Mais cette inflexion de la tierce mineure ne doit pas être confondue avec elle pour 11 e pas créer l’incompatibilité dont nous avons parlé au § précédent. C’est dans ce but qu’on caractérise l’intervalle par d’autres sons. L’intervalle

de /‘à £ ou de ^ à t n’est pas une tierce, mais une seconde augmentée ; c’est encore un intervalle anharmonique, car l'inflexion de la tierce mineure à la seconde augmentée ne se fait pas sur les memes degrés de l’échelle. L’incompatibilité qu’on évite ainsi est celle qui résulterait de la division de l'octave en quatre parties qui seraient égales chacune à une tierce mineure.

D’une manière générale, tout intervalle mineur diminué est une inflexion anharmonique de l’intervalle majeur d’unité moindre : quarte diminuée, inflexion de tierce majeure. Tout intervalle majeur augmenté est une inflexion anharmonique de l’intervalle mineur d’unité supérieure: seconde augmentée, inflexion de tierce mineure. Les intervalles augmentés surpassent les intervalles majeurs correspondants de l’intervalle chromatique. Les intervalles diminués sont inférieurs aux intervalles mineurs correspondants de l’intervalle chromatique.

La différence entre les intervalles augmentés ou diminués et leurs inflexions est égal au comma anharmonique K.

La différence entre un intervalle diatonique majeur et l’intervalle de même ordre mineur est égal à l’intervalle chromatique.

Remarque . — Avant de donner le tableau complet des intervalles, il est essentiel de dire un mot des inflexions du comma i, qui résultent du décalage du son de liaison. Il suffit de citer les exemples suivants :

Considérons par exemple le son / de l’échelle et rapportons-le au son £ pour former avec ce son une tierce mineure, le son / doit être haussé de i. Dans ces conditions, l’intervalle de /‘à s qui, sur l'échelle est devient

(-t}-)- De la même manière, rapportant le t à 'j on verrait qu’il faut l'abaisser de i pour conserver la tierce — Les mêmes observations peuvent se

faire à l’égard de tous les sons de l’échelle — cherchons à obtenir le fa clièze (pii doit faire avec sol l’intervalle diatonique (—j?-), il faut pour cela repérer les sons de l’accord r f l au son qui est défini par sol , savoir :

C’est alors que, cette inflexion étant faite, on altère la médiante / pour obtenir /, le mouvement suffit. On a en effet :

On verrait de la même manière que, clans toute altération chromatique portant sur l’intervalle ( -5 V celui-ci doit être préalablement infléchi à (4-).

§ 8 . — Tableau général des intervalles.

Seconde mineure

Demi-ton diatonique.

Seconde diminuée

Comma auharmonlque.

Seconde majeure

Ton.

Seconde augmentée

Inflexion anharmonique de tierce mineure.

Tierce mineure

Tierce diminuée

Inflexion anharmonique du ton.

fi

Tierce majeure

Tierce augmentée

Inflexion anharmonique de la quarte.

Quarte (Juste)

Quarte diminuée

Inflexion anharmonique de la tierce majeure.

Quarte augmentée

Le même que de f à t en montant.

Quinte (Juste)

Quinte diminuée

Le même que de i à f en montant.

Quinte augmentée

Inflexion anharmonique de la sixte mineure.

etc., etc.

‘est avec cette

convention

sur

la notation des inflexions anharmo

niques, que le solfège permet d’en éviter la confusion, et évite de signaler les incompatibilités qui résulteraient de l’indication d’autres périodes que celle d’octave.

§9. — Cliaiiffements déchelle.

L’échelle diatonique peut être considérée comme formée de G accords, trois majeurs et trois mineurs, figure (1641- Considérons la formation ascendante, ligure (171).

Il est facile de concevoir qu’il est possible de constituer une nouvelle échelle, en formant trois accords parfaits superposés qui, au lieu de commencer par l’accord fl d , commenceraient par d m s , figure (172) :

d tn s

Mais alors, pour que le troisième accord soit majeur, il faut élever d’un demiton chromatique la médiante de l’accord /• / l. On peut de même constituer une troisième échelle en partant de s t r et ainsi de suite.

Si l’on désigne chaque échelle par le nom du son fondamental de l’accord générateur, on voit que les diverses échelles obtenues successivement coirespondent à :

d s r l ni t / d

Les sons altérés dans les échelles successives, à partir de la seconde, sont :