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r V'. Les égalités (49), jointes aux inégalités (54), fournissent les

lois du mouvement d'une masse fluide continue, dans les

| limites où les vitesses sont assez petites pour que Ton puisse

appliquer à la viscosité l'hypothèse approximative indiquée au § 7 du Chapitre précédent et pour que l'on puisse regarder le fluide comme demeurant isotrope durant le mouvement.

Les lois de la viscosité des fluides, telles que nous venons de les détailler, sont conformes à celles que, dès 1829 (*), Poisson avait déduites d'hypothèses moléculaires; dans le mémoire de Poisson ( 2 ), les deux fonctions X et p se nomment respectivement ( — p') et ( — p).

Dès le 30 septembre 1822, Cauchy avait présenté à l'Académie des Sciences un mémoire, demeuré inédit, où il traitait de la viscosité interne des corps. Dans ce mémoire, les lois proposées par Cauchy concordent avec celles que l'on déduirait des équations précédentes en y faisant X = 0. Cauchy publia ( 3 ), en 1828, les équations qu'il avait obtenues en 1822 et les considérations par lesquelles on les pouvait justifier; mais à cette publication, il joignit l'indication ( 4 ) d'autres hypothèses qui conduisaient aux équations (49), où les deux coefficients X et u sont indépendants.

(*) Poisson, Mémoire sur les équations générales de Véquilïbre et du mouvement des corps solides élastiques et des fluides, lu à l'Académie des Sciences le 12 octobre 1829 (Journal de l'École polytechnique, 20* cahier, t. XIII pp. 1-174, 1831).

(*) Poisson, loc. cit., p. 149.

( 8 ) Cauchy, Sur les équations qui expriment les conditions d 'équilibre ou les lois du mouvement intérieur d'un corps solide, élastique ou non élastique. § 3: Sur le mouvement intérieur d'un corps solide non élastique (Anciens Exercices de mathématiques, 3* année, p. 183, 1828). h (*) Cauchy, toc. cit., p. 186.

Le 18 mars 1822, Navier (*) avait traité, en partant d'hypothèses moléculaires, la viscosité intérieure des fluides incompressibles ; dans ce cas, on a constamment

dD 4 dD. dD s dt dt ^ dt

et la constante X disparaît des équations de la viscosité.

En 1843, Barré de Saint-Venant ( 2 ) aborda à son tour le problème de la viscosité interne des fluides ; de sa note, dont l'interprétation laisse place au doute, il semble résulter que Saint-Venant admet comme lois générales de la viscosité des fluides les lois auxquelles conduiraient les équations (49) si Ton y donnait à X la valeur

Cette valeur, incompatible avec les inégalités (54), est inadmissible ; si elle était acceptée, on pourrait communiquer au fluide des vitesses telles que le travail effectué par les actions de viscosité soit positif.

Cette valeur inadmissible

est aussi celle qu'adopte Stokes ( 3 ) en 1845.

En 1884, M. Oskar-Emil Meyer ( 4 ) propose comme lois de la viscosité d'un fluide quelconque les équations en lesquelles se transforment les équations (49) lorsqu'on y fait

(*) Navier, Mémoire sur les lois du mouvement des fluides, lu à l'Académie des Sciences le 18 mars 1822 (Mémoires de V Académie des Sciences, année 1823, t. VI).

(*) Barré de Saint-Venant, Note à joindre au mémoire sur la dynamique des fluides présenté à l'Académie des Sciences le 14 avril 1834 (Comptes rendus, t. XVII, p. 1240, 1843).

( 8 ) P.-G. Stokes, On the théories of the internai friction of fluids in motion, and on the equilibrium and motion of elastic solids (Transactions of the Cambridge philosophical Society, vol. VIII, p. 287, 1845; Mathematical and physical Papers, vol. I, p. 75.) . . .

( 4 ) Oskar-Emil Meyer, Zur Théorie der inneren Reibung (Crelle f s Journal fur die reine und angewandte Mathematik, t. LXXVIII, p. 130, 1874).

56 P- DUHBM.

C'est, dans la théorie de la viscosité, une hypothèse analogue à celle qu'ont introduite Navier, Poisson et Cauchy dans la théorie de l'élasticité des solides isotropes.

La théorie cinétique des gaz a conduit Maxwell (*) à donner une théorie de la viscosité de ces fluides ; cette théorie, limitée au cas de mouvements qui n'altèrent pas la densité du gaz, fournit des équations de même forme que les équations de Navier; le cas général où la densité varie a été traité par O.-E. Meyer ( 2 ) et par G. Kirchhoff ( 3 ). Tandis que Meyer retrouve ainsi la relation

à laquelle il était parvenu en 1878, par d'autres considérations, 6. Kirchhoff parvient à la relation inadmissible

qu'avait proposée Stokes.

C'est pour préparer la voie à cette relation que, dans la théorie générale de la viscosité, G. Kirchhoff (*), désignant p par p et X par ( — 2 p'), semble insinuer que cette dernière quantité est négative.

Jusqu'ici, la quantité p (p, T) n'a joué aucun rôle dans les recherches des expérimentateurs; il nous semble cependant qu'un grand nombre de phénomènes présentés par les fluides au voisinage du point critique s'expliquent en admettant que p. (p, T) croît au delà de toute limite lorsque T, p tendent respectivement vers la température critique et la densité critique.

(*) Maxwell, Illustrations of the dynamical theory of gases (Philosophical Magazine, 4 e série, t. XIX, p. 31, 1860. — Scientific Papers, t. 1, p. 391.).

(*) O.-E. Meyer, Die kinetische Théorie der Gase, p. 314 (Breslau, 1877).

(*) G. Kirchhoff, Vorlesungen ûber mathematische Physik, IV er Band : Théorie der Wârme, p. 175.

(«) G. Kirchhoff, toc. cit., p. 115.