CHAPITRE III De la viscosité dans la diffusion des fluides

Considérons un mélange de n fluides, désignés par les indices 1, 2, ..., i, ...,j, ..., n. Soit dv un élément de volume du mélange ; nous supposerons que le travail virtuel de la viscosité se puisse mettre sous la forme

(88) dT = f

Vdt?,

V dépendant uniquement des propriétés de l'élément dv, et de la vitesse de variation de chacune de ces propriétés.

Soient u iy v h w iy les composantes de la vitesse d'un point matériel appartenant au fluide i, ce point matériel se trouvant au point géométrique x, y, z, à l'instant t ; soient :

dDu dtii dDs; àv { dt ~ dx' dt~~~dy*

dD 8 ,

dt

dWi

~ dz '

dGu àVi dWi dt ~ dz ' dy '

dGu dtOi § du {

dt dx dz 9

dGu d^ dVi

dt dy dx'

Pour un mélange de fluides, animés de vitesses modérées, nous admettrons que l'on a

avec

-h ri,SGii -+- Yx§G*i •+■ TsiiGa

r. icm.

et

W 4 =2,| [â*( % -« i )+B^-* i )+ Vf(%-*JI *** + [B*(%— «,) + Aife— r^+M^-wOlîfi + [B»(% -*) + «*(«> - rj + A*(«f,— «0] **. | U = l, 2, .... t — !,« + I, ..., »).

Dans l'égalité (57), les quantités

w» o»', aat, lu, Ik, 1»-

sont données par des égalités de même forme que les égalités (49) ; mais, dans ces égalités, les coefficients X, et u, sont des fonctions de la température T et des densités partielles p„ p, ..., p., des n fluides au point (x, y, z), à l'instant f.

Dans l'égalité (58), les coefficients^,, B*, sont des fonctions des mêmes variables.

W< ne doit pas dépendre du déplacement absolu 3x i9 Sj/„ 8z t de l'un des points matériels qui se trouvent en x, y, z, à l'instant t, mais seulement des déplacements relatifs

des divers points matériels; pour cela, il faut et il suffit évidemment que Ton ait

(59) A# = Ajiy Bff = Bji*

En vertu de ces égalités (59), le système admet certainement une fonction dissipa tive. Si Ton désigne par i i une fonction analogue à la fonction f définie par l'égalité (50); si Ton pose

(60) «^Ja^^-^ + ^-^h-K-^T

4- 2B<,[(t><— «,)(«>, - Wj) -h («?i— Wj^Ui— uj) + (ti^— tiV)(r t — t?,)],

le signe 2y s'étendant à toutes les combinaisons distinctes des indices i, j, deux à deux ; si nous faisons enfin

VISCOSITÉ, FROTTEMENT, FAUX ÉQU1I IBM» 89

le travail dx accompli "par les actions de viscssité durant le temps dt aura pour valeur

(62) dx = — df fiFdfl,

le signe I s'étendant à tous les éléments de volume du

système; l'expression j£ dv^est la fonction dissipative du

système.

Nous supposerons que la diffusion augmente la valeur absolue du travail des actions de viscosité; [qu'elle rend cette valeur absolue plus grande qu'elle ne serait par le seul effet des déformations; en d'autres termes, que la forme <8>, quadratique en (n< — u,), (v» — v/}, {w { — w/,), est une forme définie positive.

Supposons, pour fixer les idées, qu'il s'agisse d'un mélange de deux fluides seulement ; nous aurons alors

(63) «=A lt [( Ml -tg* + (* t !,,)■ + (w % -wF\

+ «B li [(i> 1 — r i )(fp i — *,) + (*!— ^(Wt-tg + ^-M,)^— t> s )].

Pour que cette quantité soit une forme définie positive, il faut et il suffit que l'on ait

A ls > 0,

Aî,-Bî s> 0,

A 8 lf 4-2Bî t — 3A tl Bî s >0.

Appliquons ces considérations générales à l'étude de la diffusion dans un mélange de deux fluides, en supposant que l'on puisse négliger la viscosité due aux déformations, c'est à dire les quantités qui dépendent des parties i„ $ x de la fonction de dissipation. En conservant les notations que nous avons employées dans un mémoire précédent ( 1 ), où nous

(') P. Duhem, Dissolutions et Mélanges, premier Mémoire : Équilibre et mouvement des fluides mélangés (Travaux et mémoires des Facultés de Lille, t. III, mémoire n° 11, p. 95. — Paris, Gauthier-Villars, 1893).

avons étudié le problème de la diffusion sans tenir compte

de la viscosité, nous aurions, pour le fluide 1, les égalités suivantes :

du t

dx\ r dp

) P J "*" \dT "*" p J dx

~dt ~ Ul dx ~ Vi H$ '

dv, dv t dv t dv t

dt dx l dy * dz

du> 4 dw?! dw?!

1 dz

On peut, pour le fluide 2, écrire des égalités semblables, auxquelles il faut joindre les équations de continuité

dt

dp,

dt

fdu^ *\dx

dv. dwA

dy dz

dv*

dy dz

et une relation supplémentaire indiquant comment varie la température T.

Dans ces équations (64), $i> ty t sont deux fonctions des variables p t , p„ T, liées par l'égalité Ç)

p est la densité totale du mélange au point (x, y, z), à l'instant t, en sorte que

p = pi -*->*;

(*) Loc. cit., p. 94. Egalité (9).

Enfin £ est une fonction des variables p„ p„ ..., p w ,T, définie par la condition suivante: Le potentiel thermodynamique interne du système a pour valeur

F=J*pÇdt?,

la sommation s'étendant à tous les éléments de volume du système.

Faisons usage de ces équations pour étudier la diffusion d'un sel dissous au sein d'un dissolvant, en nous plaçant dans les conditions expérimentales où les physiciens étudient ce problème.

La seule force agissante est la pesanteur; si nous prenons Taxe des z vertical et dirigé vers le zénith, nous aurons

La température est uniforme (*), en sorte que Ton a

dx ' dy ' dz

La vitesse de chacun des deux fluides est supposée parallèle à Oz, en sorte que l'on a

Les deux premières égalités (64) et les deux égalités analogues relatives au fluide 2 deviennent alors

(*) Si l'on ne faisait pas cette hypothèse, l'analyse que l'on va développer conduirait à l'interprétation théorique de la classique expérience de M. Soret sur la diffusion au sein d'une dissolution inégalement chauffée en ses diverses parties.

T, KV

(66 bis)

P.JWHEM.

à* . e dp,

<>Pt^P, ^ ; <>y

dp» ^ dy

Mais, quelles que soient les valeurs, dont Tune au moins diffère de zéro, que l'on donne à X„ X„ on a l'inégalité (')

*rt<^ XÎ + i *^S W)XA + 3rf (p5)XÎ>0 '

Le discriminant de la forme quadratique qui forme le premier membre" de cette inégalité

àptdft

^Pi^P«

(pO

dp»

est donc positif et les égalités (66) et (66 **) entraînent les égalités

pj, p, sont de simples fonctions d'à;, y, z, t, pour lesquelles on a, en vertu des égalités (64),

*T(rf>* +

dz

àp\

dp t <?p,

^Pi^P* P àz dt

dï\ { w-dz- + Tt

Wl Hz +A »^» ~" "^ Wl dz + "^* — a,i ^

(') ioc. cit., p. 69.

et, en vertu des égalités (65),

àç> t ^i-n

Ti + ** dz - '

Différentions les égalités (69) par ce rapport à z; nous trouvons

à*w 9 (àw*\* d*w*

+ àïàt + Kdz-) +w >-d*

+k »\-dz—dz-) +( w »- w * ) \-d?-Tz + -d ? -;-di)- Q -

DifFérentions ensuite les égalités (70) par rapport à t; nous trouvons les égalités

d^ <h±àtoi à^w,

; dt * ât dz dzdt

\ dt* * dt dz Pf dzdt

Supposons maintenant qu'il s'agisse d'une diffusion très lente, de telle sorte que les quantités

àpt dpt dt 9 dt

soient fort petites ; supposons, en outre, que le système soit presque homogène, en sorte que les quantités

à Pi àp f dz 9 dz

soient aussi fort petites ; négligeons les termes qui sont du second ordre par rapport à ces six quantités ; les équations (71) prendront la forme

dp\ vr dz* dp i dpi r/ àz* dzdt "\dz dz ) tandis que les égalités (72) deviendront

Les égalités (70) et (74) permettent d'éliminer les fonctions m/„ w, des égalités (73) pour n'y laisser figurer que les fonctions p„ p t . On obtient ainsi les équations

d P î lpy dz 1 + d fl d h {f ' i> J?~ 9i ~dë hl *\ H ~dt~J t 'di)-^

{f ®dz* + dpi {pi) dz* frde Alt \7*àt Pl -dï)- '

àp t àp t

Ces équations se simplifient encore si l'on suppose le milieu assez visqueux pour que -j^, -^ soient négli-

dt*' dl<

De ces équations nous déduisons, en vertu de l'égalité (68),

Les quantités B, A lf , Ç, sont des fonctions des variables p t , p„ T; par hypothèse, la dernière variable garde la même valeur à tout instant, en tous les points du système et les deux dernières varient peu d'un instant à l'autre et d'un point à l'autre; on peut donc, moyennant les approximations qui ont servi à établir les égalités (78) et (79), y traiter les trois quantités

comme des constantes dont la valeur dépend de la température du système et de la concentration moyenne de la dissolution. Dès lors, l'équation (78) devient une équation aux dérivées partielles du second ordre qui détermine la fonction p,; la fonction p, une fois connue, l'équation (79) détermine la fonction p t .

L'équation (78) a été proposée par Fick (*), en 1855; il Ta obtenue par des considérations imitées de celles qui avaient conduit Fourier aux lois de la conductibilité calorifique. En la

(*) Fick, Poggendorffs Annalen, t. XCIV, p. 50, 1855.

ty.

reliant, comme nous venons de le faire, à la théorie analytique générale de la diffusion, on voit mieux les nombreuses hypothèses approximatives qu'elle suppose.

En outre, lorsque la dissolution étudiée est formée par un corps non volatil dissous dans un menstrue volatil, l'étude de la tension de vapeur saturée dans la dissolution permet do déterminer, au moins d'une manière approchée, les valeurs de

La relation de Fick peut alors servir à déterminer la valeur du coefficient A Jt .

Las deux exemples que nous venons de traiter mettent en évidence l'importance de l'étude de la viscosité; plus tard, nous rencontrerons la viscosité dans l'étude des changements d'état physique et dans les réactions chimiques.

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