CHAPITRE II De la viscosité en hydrodynamique
§ 1. De la viscosité dans un milieu continu.
Considérons un milieu continu et décomposons-le en éléments infiniment petits ; prenons, tout d'abord, un de ces éléments infiniment petits, détaché du reste de la masse de manière à en devenir indépendant. Si cet élément garde un état physique et chimique invariable, treize variables normales suffiront pour fixer à chaque instant ses propriétés.
Ces variables seront :
4° Sa température ;
2° Les trois coordonnées de son centre de gravité ;
3° Trois variables dont les variations durant un déplacement réel ou virtuel du système seront respectivement égales aux trois composantes de la rotation infinitésimale de l'élément autour d'axes parallèles aux axes coordonnés, menés par son centre de graviié ;
4° Trois variables D u D„ D„ dont les variations pendant une modification réelle ou virtuelle du système sont respectivement égales aux trois dilatations de l'élément suivant les directions des axes coordonnés ;
5° Trois variables G„ G f , G 4 dont les variations pendant une modification réelle ou virtuelle du système sont respecti veulent égales aux trois glissements de l'élément suivant les axes coordonnés.
Lorsque l'état d'un corps est défini par un système de variables normales, aucune viscosité ne correspond jamais à la variable T. Les variables du deuxième et du troisième groupe
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entraînent seulement, par leurs variations, un déplacement d'ensemble de l'élément ; à chacune de ces variables ne correspond aucune action de viscosité; aux variables des autres groupes correspondent des actions de viscosité qui ne dépendent pas de ces premières variables.
Nous avons donc à considérer six actions de viscosité
8 4 , **, 8„ Yi> Y*> ïs>
correspondant respectivement aux six variables
D lf D„ D 8 , G t , G,, G 8 .
Ces six actions dépendent de l'état de l'élément considéré à l'instant considéré ; elles dépendent, en outre, de
dD { dV t <JD 8 dG x dG t dG 8
dt' dt 9 dt' dt 9 dt 9 dt 9
et doivent s'annuler en même temps que ces dérivées. A titre de première approximation, nous pouvons les regarder comme des fonctions linéaires et homogènes de ces dérivées et écrire '
% . / dD 4 dD f dD. dG t dG t dG.\
,. . / dD i (JD f dG 8 \
(43) n^dv^-' + a»-* +*.•),
. / dD t <JD f dG s \
d u étant le volume de l'élément considéré et les 36 coefficients a,„ a lt , ..., a M étant fonctions des variables qui fixent l'état de l'élément à l'instant t . ■ ,
Nous écrirons abréviativement les équations (43) :
( Y t = T.dv, Yi = Tt^t?, Ys = T*dv.
Le travail virtuel de la viscosité dans une modification virtuelle de l'élément aura pow expression
(45) dt = dv (A^Di + A, 5D f + A 8 U>, -+- T t 8G 4 4- T f BG S + r $ 8G 8 ).
Considérons maintenant un mil^u continu formé par la soudure d'une infinité d'éléments semblables au précédent; d'après ce qui a été dit, au Chapitre I v , § 4, le travail virtuel de la viscosité dans une modification quelconque du système sera la somme des viscosités intrinsèques de chacun des éléments ; ce travail virtuel aura donc pour expression
(46) dt = f (Ai^ + A f 8D f -h A 8 8D 8
-+- r 1 8G 1 -+- r f 8G f + TjSG,) dv.
Si u{x, y, z 9 t), v(x, y, z, t), w(x, y, z, t) sont les composantes de la vitesse du milieu au point géométrique fixe (x, y, z) } à l'instant t, on aura
dD i du dD t __ dv
dx' ~dT~~dy 9 dG t dw dv
dD. dw
dt
dt
dz 9
dt
+ Tz>
dG t au dw
dt dz dx 9
dG* dt
dx
du dy'
D'autre part, si \(x, y, z), p(x, y, z), v(a?, y, z) sont les composantes du déplacement virtuel imposé au point matériel dont les coordonnées initiales sont x, y, z, on a
dy dz
*1 dz'
d\ dz
dw' d\
Ty
Les égalités (46), (47), (48) permettent de mettre en équation le problème général du mouvement d'un milieu visqueux continu .
§ 2. De la viscosité dans un milieu toujours isotrope.
Imaginons maintenant que le milieu étudié demeure toujours isotrope, quel que soit le mouvement dont il est animé, et cherchons quelle conséquence cette hypothèse entraîne touchant la forme des fonctions A u A„ A a , I\, r t , r,. Un problème analytique identique est traité dans la théorie de l'élasticité; nous pouvons ici en admettre purement et simplement le résultat^ qui est exprimé par les égalités suivantes :
dt \dt "*~ dt + dt
^=-**-ir-M-£ +
rfG, (IG,
r,=- n-jp
X et [x sont deux fonctions des variables qui fixent l'état du milieu au point (œ, y, z), à l'instant t, variables qui se réduisent, pour un corps toujours isotrope, à la densité p et à la température T.
Dans le cas qui nous occupe, il existe assurément une fonction dissipative. Posons, en effet,
X /dD. dV t dD,
2 \ dt dt dt
Les égalités (49) pourront s'écrire
di
di
La fonction £ étant homogène et de degré 2 par rapport aux six variables
dV t dV t dD
dt ' dt' dt' dt '
dG t dG,, dG 8 dt
dt'
les égalités (51) donnent:
<*Di , A dD, , A dD, , r dG t , r dG, , r dG,
/HON A dD t k dD t k dD 8 „ dG t r dG t ,,
=— 2iF.
Le premier membre de l'égalité (53) étant essentiellement négatif, î doit être positif, quelles que soient les variables (52). La quantité 2i est une forme quadratique de six variables
GJ, Gi,
iminant
de cette forme est
Pour que la quantité S soit toujours positive, il faut et il suffit que ce discriminant et tous les déterminants, mineurs de celui-là, que Ton en déduit en supprimant un certain nombre de lignes et les colonnes correspondantes, soient
Si
positifs; on voit sans peine que ces conditions' équivalent aux deux suivantes :
