ij

équations où p.,,, u,„ ..., fi,, représentent n* fonctions de a, (3, ..., X dont le déterminant

foi P*lî •'• l* 8 »

JAni [A«S ••• l*

n'est pas nul.

Lorsque Ton se donne une variation virtuelle du système Sa, o(3, ..., 8X, les équations (82) font connaître sans ambiguïté les valeurs correspondantes des quantités infiniment petites 8a, 86, ...,82; et, réciproquement, si Ton se donne les valeurs de ces quantités 8a, 86, ..., 81, la variation virtuelle du système est déterminée.

Lorsqu'on se donne les vitesses -tt, -tt ..., -tt du système à

un instant quelconque d'une modification réelle, les équations (83) font connaître sans ambiguïté les valeurs correspondantes de a', 6', ..., /' et réciproquement.

Nous dirons désormais que l'ensemble

constitue une modification virtuelle du système, et que l'ensemble

a'dt,b'dt f ...,l'dt,-±dt

constitue une modification réelle du système.

Si toutes les expressions de la forme

[bida 4- \Li*d$ 4- ... 4- \k im d\

sont des différentielles totales, les équations (82) et (83) peuvent être regardées comme définissant de nouvelles variables normales a, b, ..., /, susceptibles d'être substituées aux variables a, p, ..., X; mais nous ne ferons point cette hypothèse; pour l'exactitude de ce qui va suivre, il n'est point nécessaire de supposer que les équations (82) soient intégrables. On peut supposer que Ton résolve les équations (82) sous la

forme

8a = y.^ la 4- \k' n 86 + ... 4- jiii 8/,

(82*) { 8 P=^« Ba + ^« 86 " H - 4 -^« a/ '

SX = (jLi»8a 4- |i.i»86 4- ... 4- pC»8i,

v-'uf rit» •••> f^ étant n* fonctions de a, p, ..., X, qui se forment aisément au moyen des fonctions [*,„ ji lt , .... \k iu .

Posons

Jb= jxJ 4 A 4- jjlJjB 4- ... 4- jjlûL,

/gjN . i S = j4 â A + ^; S B 4- ... 4- j/iiL,

# = ixiiÀ 4- {i^iB 4- ... 4- 1*4,1..

Il est facile de voir que le travail des actions extérieures au système aura pour valeur, durant une modification virtuelle,

(85) Jt>8a4-558&4- ... 4- 281

et, durant une modification réelle,

(85*) (Jba' 4- &V 4- ... 4- %V) dt.

Posons

(86) ] *i= ht ^ + fei ^ + - + H. ^

Dans une modification virtuelle quelconque du système, on aura

et, dans une /modification réelle,

(87*») ^ dt = (* a a' + * h V + ... + W +%Ji)*t-

En vertu des égalités (83), t, qui est une forme quadratique en d?dP' "'rf? est aussi une forme quadratique en a', 6', ...,/'. Posons

, (dt dàt\ , (dt ddt\ , (dt d^dt\

, (dt ddt\ , (dt d dt\ , (dt d dt\ f /^* d dt\ , (dt d^dt\ , (dt d àt\ ,

h -~* ni \àl~ dtTï) + **"W dtd$) + "' "*" ^ H \dï"did}j)'

Le travail des forces d'inertie aura pour valeur, durant une modification virtuelle du système,

et, durant une modification réelle,

(89 to ) (J a a' + i h V + ... + V) <ff.

Posons enfin

/ ?«= HiiA + H«/p + ••• + !*i»/x*

\ ?6 = P-iiA -H Hn/fl + — + l*i»A*

X <?/ = l*ii/« + l*il/p "H ... "h l^in/x-

Les quantités <p a , ç 6 , ..., fi pourront être regardées comme des fonctions de a, p, ..., X, T et de a', b', ..., V, s'annulant toutes lorsque toutes ces quantités sont égales à 0. Le travail

72 P. DU Ht M.

de la viscosité aura ptur valeur, dans une modification virtuelle du système,

(91) ç a 8a 4- ftSfc 4- ... 4- ?,8J

et, dans une modification réelle,

(94**) (? a a' 4- ? 6 6' 4- ... 4- ?,0 dt.

Multiplions les équations (81) respectivement par é u n , jx lt , ..., (ji in> et ajoutons membre à membre les résultats obtenus, en tenant compte des égalités (84), (86), (88), (90); nous trouvons la première des égalités :

fljv 7 $— <ï> 6 4- J 6 4-? 6 = 0,

Les (n — 1) dernières s'établissent d'une manière analogue.

Ces équations sont une simple transformation des équations (81); elles sont subordonnées aux mêmes hypothèses que ces dernières.

Supposons maintenant que l'on renonce a l'hypothèse

RAPPELÉE AU COMMENCEMENT DE CE PARAGRAPHE ; On ne sera

plus tenu d'admettre l'exactitude des équations (92); à ces équations, on en pourra substituer d'autres, plus générales, l'admission de ces .équations constituant une hypothèse nouvelle.

Toutefois, avant d'indiquer cette hypothèse, nous introduirons une restriction essentielle : le système se compose d'un corps continu; ou bien 9 s'il présente des surfaces de discontinuité, les parties que ces surfaces séparent sont soudées ensemble.

Nous examinerons plus loin le cas où le système se compose de plusieurs corps en contact non soudés le long de la surface qui les sépare.

Voici quelle sera notre hypothèse fondamentale s

Il existe: 1° Une fonction uniforme 3 (a, p, ..., X, T) des

variables normales qui définissent Vétat du système, fonction qui est liée à V énergie interne par V égalité (80) ;

2° n* fonctions 4 u it , j^,, ...,}**« des variables a, fî, ..., X, fonctions dont te déterminant n'est pas nul;

Qui sont telles que Von ait (*), à chaque instant du mouvement du système,

Jt> — *« + J« + ?« + g a rjrr = 0,

6' (93) { * " *' + lb + ?6 + 9b \ÎF = °'

SK — 4>, 4- J, + f, + 0, jy: = 0.

Les quantités jb, $, •••> ï sowi définies par les égalités (84); tes quantités $ a , 4> 6 , ..., */, par les égalités (86); tes quantités J a , J t , ..., J„ par tes égalités (88); en/m tes quantités ç a , ?*, ..., 90 par tes égalités (90), où tes /onctions /à, /p, ..., f x sonf soumises aua? hypothèses exposées dans la première partie de ce Mémoire.

Les quantités g a , g h , . , ., g t dépendent :

1° De la température T du système;

2° Des variables normales a, (5, ..., X #wi te définissent;

3° Des actions extérieures A, B, . . ., L que le système subit ( 2 );

d<x dû dX

40 Des vitesses -,-,...,-.

On peut dire, si Ton veuf, çue tes quantités g a} g b> ..., g t dépendent des variables

JlL), *JD, •••, «*>

(!) Selon l'usage, | A| signifie valeur absolue de A.

(*) Nous aurions pu, en formulant (1" Partie, Chapitre I, § 2) les hypothèses .fondamentales touchant la viscosité, faire une hypothèse analogue touchant les fonctions f at fa, ..., fy mais il ne parait pas qu'aucun fait expérimental nécessite l'introduction de cette généralisation dans la définition des fonctions f a% f Rf ..., /V

tv.

Les quantités g a , g b} ..., g t ne tendent pas en général vers 0, lorsque a', &', ..., V tendent vers 0, mais vers des limites finies y a , y ô , ..., y h qui sont des fondions des variables

'> *> Pi •••! *»)

Enfin, on a

On voit sans peine que de semblables hypothèses ne peuvent pas être vraies quelles que soient les n* fonctions [x n , y. l%f ,.., ja^. Lorsque ces fonctions auront été choisies de manière à vérifier les hypothèses précédentes, nous dirons que les équations (82) définissent des modifications virtuelles principales du système ; les équations (83) définissent alors des modifications réelles principales.

Ayant un système de fonctions j* u , t u tl , ..., ^ qui définissent des modifications virtuelles principales, on en obtiendra évidemment un autre si Ton prend les fonctions ;

tf»! = ^»lA»i, tf»î = <]>»|A»Î, •••> ^a» = 'kft

<K> 4 t , •••> ^ étant n fonctions des variables a, £, ..., X.

Nous compléterons nos hypothèses sur le frottement pair la suivante :

Parmi les n quantités infiniment petites 8a, 8ft, ..., §1, données par les égalités (82), il en est six 8m, ..., 8n qui jouissent de la propriété suivante: lorsque celles-là seules diffèrent de zéro, le système éprouve un déplacement d'ensemble dans l'espace, sans que ses diverses parties éprouvent ni changement d y état y ni changement de position relative; celle des quantités g a , g b , ..., g t qui leur correspondent sont identiquement nulles.

L'expression

\ 9 '\7\ +9 >W\ + '" +9l W\) dt

se nommera travail accompli par le frottement durant le temps dt; ce travail est négatif en général, à moins que le mouvement du système pendant le temps dt ne se réduise à un déplacement d'ensemble, cas auquel ce travail est nul.

§'2. Conditions d f équilibre du système précédent.

Nous allons montrer qu'un système entouré de corps extérieurs invariableSy ayant même température que lui, et dont il demeure indépendant y demeure en équilibre si on le place sans vitesse initiale dans un état où Von a

Y«< Jb— $«<— Y«>

Yi < 2 — *i < — Yf

Les six égalités (95) correspondent aux six quantités 2a, ..., $1, qui définissent un déplacement d'ensemble du système; ce sont les six équations d'équilibre que l'on obtiendrait seules si le système était un solide invariable.

Pour démontrer ce théorème, imaginons que le système se trouve, à l'instant t oy sans vitesse initiale, dans un état où les conditions (94) et (95) sont vérifiées ; supposons qu'il se mette en mouvement; à tout instant t> postérieur à t oy on aura tes égalités (93) et

/ jtt> — * w + J„ = 0,

76 p. DUHEM.

Multiplions les égalités (93) respectivement par a'dt, b'dt, ..., l'dt; les égalités (96) par m'dt, ..., n'dJ; ajoutons membre à membre les résultats obtenus et intégrons de l'instant t k un instant t t , postérieur à t.. Nous trouvons l'égalité

/ * (J a a r 4- i b V + ... 4- JjT 4- J ro m' 4- ... 4- J«n') dt

•*-(« — ♦, + Jf, rjir) f 4- (Jfc— *.)m' 4- ,.. 4- (tt — *.)*'"]« -H / ' (?««' + ?6&' + ... 4- <M') d* = 0.

t- Discutons cette égalité (97).

Le premier terme du premier membre

El / '(J««' 4- J b b' 4- ... 4- J,J' 4- J m m' 4- ... 4- J.n') dt

est le travail accompli de l'instant t à l'instant t par les forces d'inertie ; la force vive du système à l'instant t étant nulle, ce premier terme se réduit à — % v fc â étant la force vive du système à l'instant t t ; il est donc essentiellement négatif. Le troisième terme

J' '•(?««' 4- ç 6 fe' 4- ... 4- lil')dt t%

est le travail de la viscosité entre les instants t et t t ; il est aussi essentiellement négatif, à moins que le mouvement du système ne se réduise à un déplacement d'ensemble, cas auquel il est nul.

Si l'on prend l'instant t x assez voisin de l'instant t oy l'état du système pendant tout l'intervalle de temps compris entre ces deux instants différera aussi peu que l'on voudra de son état à l'instant i ; dès lors,, en vertu des égalités (95), (Ah — $ w ), ..., (tt — Qn) seront aussi voisins de que l'on

voudra, tandis qu'en vertu des conditions (94), les quantités

Jb— *«4-0 ararT ,

& — **+fr ..M,

auront des valeurs finies, respectivement de signe contraire à a', 6', ..., V. À moins donc que le mouvement du système entre les instants t et t t ne se réduise à un mouvement d'ensemble, le second terme du premier membre de l'égalité (97) est certainement négatif.

Si le mouvement du système entre les instants t et t x ne se réduisait pas à un mouvement d'ensemble, la production de ce mouvement entraînerait l'égalité contradictoire (97) et serait impossible; d'ailleurs, le système ne peut prendre non plus aucun mouvement d'ensemble, sans changement d'état et de disposition relative de ses diverses parties, puisqu'il vérifie les conditions d'équilibre (95) d'un solide invariable.

La proposition énoncée est donc démontrée.

Excédant les limites de la proposition précédente, nous admettons l'hypothèse suivante :

Hypothèse. — Pour qu'un système entouré de corps extérieurs invariables, de même température que lui, et dont il est indépendant, soit en équilibre, il faut et il suffit que l'on ait les conditions

/go\ ) Y* = «» — *» = — Y»>

( yi ^ * - */ ^ - Yi.

Dès maintenant il est possible d'apercevoir que les conditions d'équilibre que nous venons d'obtenir sont sauves des contradictions expérimentales auxquelles se heurtaient les conditions d'équilibre établies sans tenir compte du frottement.

1° Les quantités

Ya> T*> •••> Yj»

Jb — <*>«, & — **, ..., ï — % M — * mf ..., U — 4>*

sont des fonctions des variables

Dès lors, il est facile de voir que si Von se donne la température absolue T et les actions extérieures A, B, ..., L, il existera, en général, une infinité de systèmes de valeurs des variables normales a, 0, ..., X, dont chacun définira un état d'équilibre du système matériel; ces systèmes de valeurs formeront un ensemble continu.

2° Si l'on ne tenait pas compte du frottement, on trouverait comme conditions nécessaires et suffisantes de l'équilibre du système les égalités :

. Multiplions la première de ces égalités (99) par jx,,, la seconde par u„, ..., la dernière par [*,» et ajoutons membre à membre les résultats obtenus, en tenant compte des égalités (84) et (86); nous trouvons la première des égalités

nnn\ i •*» "~ *« = °» a = * 4 = °' -' % - *' = °» KW) ( M> — ** = 0, ..., % — «I»,, = 0,

qui sont ainsi équivalentes aux égalités (99),

Les quantités y a , y 6 , ...,'Y* ^ an * négatives, lorsque les égalités (100) sont vérifiées, les conditions (98) et (95) sont satisfaites; mais, en général, la réciproque de cette proposition n'est pas vraie. On peut donc énoncer la proposition suivante :

Tout état d'un système qui est état d'équilibre selon la thermodynamique classique, est encore état d'équilibre selon la théorie qui est ici développée; mais cette théorie indique la possibilité d'une infinité d'états d'équilibre que la thermodynamique classique ne faisait pas prévoir.

Les états d'équilibre déterminés en tenant compte du frottement offrent donc, de prime abord, les caractères essentiels que nous avions attribués aux états de faux équilibre.

§ 3. Coefficients calorifiques du système précédent.

Les coefficients calorifiques relatifs aux variables a, 0, ..., X, T, qui déterminent le système sont définis au moyen du principe de la conservation de l'énergie, qui s'applique aussi bien aux systèmes offrant du frottement qu'aux systèmes qui en sont dépourvus ; la quantité de chaleur que le système dégage dans une modification réelle quelconque a pour valeur

(101) dQ == -(R a ^ + R p ^4-... + R

dX x dï

dT dt

) dt >

ft a , Rp, ..., R>, c étant déterminés par les égalités