CHAPITRE VI
Frottement au contact de deux corps.
§ 1 . Équations du mouvement d'un système à liaisons.
Lorsque, au Chapitre I er , nous avons posé les principes généraux de la théorie du frottement, nous avons eu soin d'introduire cette restriction essentielle : Le système se compose d'un corps continu; ou bien, s'il présente des surfaces de discontinuité, les parties que ces surfaces séparent sont soudées ensemble. Il s'agit maintenant de généraliser notre théorie de telle sorte qu'elle ne soit plus entravée par cette restriction.
Prenons deux corps 1 et 2, que, tout d'abord, nous suppo^ serons indépendants ; le lecteur verra sans peine que la théorie exposée est générale et s'étend sans peine à un nombre quelconque de corps.
Soient:
T„ la température absolue du premier corps ; «i> Pi> •••> \> l es n i variables normales qui le définissent; U 4 , son énergie interne, #!, son potentiel thermodynamique interne.
Soient, de même ; T„ la température absolue du deuxième corps ; a s , P„ ..., X„ les n s variables normales qui le définissent; U„ son énergie interne, g? f , son potentiel thermodynamique interne.
Le système formé par l'ensemble des deux corps a pour
énergiejinterne
et pour potentiel thermodynamique interne
= t + 9 % + EW,
W étant une fonction de <x u (2„ ..., X„ a f , (i s , ..., X,, qui ne dépend pas de T t , T,.
Soient
les w, modifications virtuelles principales et
* a'idt, b'idt, ..., l' x dt, m[dt, ..., njdf,
les n, modifications réelles principales du corps 4 ; parmi ces modifications, il en est un certain nombre, qui ne peut être inférieur à six, qui ne correspondent à aucun frottement; ce sont les modifications virtuelles
et les modifications réelles
m[dt, ..., n\dt.
Soient, de même,
Sa,, 8ft 8 , .,., of 8 , Sm t , .\.,Zn„ les n % modifications virtuelles principales et
les n, modifications réelles principales du système 2 ; parmi ces modifications, il en est un certain nombre, égal au moins à six, qui ne correspondent à aucun frottement: ce sont les modifications virtuelles
et les modifications réelles
mldt, ..., nid t.
Le travail virtuel des actions extérieures appliquées au système 4 peut s'écrire
(Jb t -t- a>[) s**, + .., + (ï t -i- se;) 8/ 4 + ... + (% t + u;) s»,.
Le travail virtuel des actions extérieures appliquées au système 2 peut s'écrire
(Jb s + M) Sa, 4- ... 4- (ï t 4- %) 8J, + - + (U* + %«) **•. AJ, ..,, %i, A4» -m ^s sont définies par l'identité
Jb;8a t -+- ... + a;8/ 4 4- Jb;sw t + ... 4- U^
4- A;3fl t 4- ... 4- a;8/ t 4- JKtfM, 4- ... 4- U.Sii, = — EdW.
L'expression
Jb^flj 4- ... 4- ï^ 4- JW> 1 Sl» 1 4- ... 4- Ujîllj 4- A 2 Sflf f 4- ... 4- ^8/ a 4- JbjSl», 4- ... 4- % % %n t
représente alors le travail virtuel des actions extérieures au système formé par l'ensemble des corps 4 et 2. Les équations du mouvement du corps 1 sont
Al + M— *K + K 4" <?« t 4" 0«, 7^7 = o,
(W3) { a t + «; - *t + J, t 4- f ,, .4- jf f| ||| = o,
Jb t 4- ibi — *i t 4- J mi 4- ç Wl = 0,
les quantités *î if ..., *,', .... se formant aux dépens de la fonction # t de la môme manière que les fonctions <!>«, ..., */, qui figurent dans les égalités (93) se forment aux dépens de :T. g a% est une fonction de a„ p„ ..., 1,, T t ,
enfin de (Jfe, + Jfc;), ...,(%,+ %;).
De même, <?,, est une fonction de a„ (3,, ..., X„ T„
ue wjj *•*; *<> ***i> •••> ** > i9
enfin de (A>, + ,l>;)> ...,(%, + UD
186 P. DUHEH.
S Les équations du mouvement du corps 2 sont, avec des
U. notations analogues,
I Jb,+ * «bi— &l s 4- J* + f„ + fo r-?r = 0,
(213*0 { 2, + x; -*J 4- J, f 4- ?,, + fc A =0,
ai* + au— ^i, + J« f + fe = o, %* + u; - *î, + j», + *., = o.
Supposons, maintenant, que les corps 1 et 2, au lieu de demeurer indépendants, viennent se toucher; les contacts établis correspondent à certaines liaisons, que nous supposerons bilatérales, et qu'expriment les égalités
(214) | A;aa 4 4- ... 4- L;8x t 4- A a Sa 8 4- ... 4- l;sx, = 0,
Nous admettrons que, dans le système complexe ainsi formé, il existe (n, + n t ) modifications virtuelles principales composées :
4° Des modifications virtuelles 8a t , ..., 8Z„ §a„ ..., Sï^, quwont relatives aux corps i et 2 pris isolément, et, pour lesquelles, lé frottement n f est pas nul;
2° De fonctions linéaires et homogènes 8p, . . . , 3 q, Zr , . . . , o s, des quantitéslm i9 ...,Zn x ,%m„ ...,8n w fonctions dont les coefficients dépendent de a„ ..., X„ a t , ..., \ 9 et dont le nombre est égal à celui des modifications $m l9 ..., Sn„ 8m t , ..., 8n a . (Ce nombre ne peut être inférieur à 12.)
A ces modifications virtuelles principales correspondent des modifications réelles principales
a[dt, ..., l[dt t a'tdt, ..., l t dt 9 p'dt, ..., q'dty r'dt, ..., s'dt.
Moyennant l'emploi de ces modifications virtuelles principales, les conditions de liaison (214) peuvent s'écrire ;
a t s ^ i •+" ••• ■+■ li&'i+ a,8/,4- ... 4- l s 3/ 8 4- p8p 4- ... 4- q8g 4- r8r 4- ... 4- *8* == 0, (215) { a[Sa i 4- ... 4- i;S/ t 4- a t 8/, 4- ... 4- l 8 8J,
Nous admettrons que, pour toutes les modifications virtuelles qui vérifient les conditions (215), on a, à chaque instant du mouvement du système complexe, V égalité suivante :
f Jl* — % t 4- J« t 4- çb, 4- G fl| j5|) 8«i
+ (ff — «i + J. + <?.) 8s =0. t
Dans cette égalité, t l H , ..., ï s , J«,> .., J/,, ?«,, ..., ç/ t ont les mêmes expressions que dans les égalités (213) et (213 bis). <ï> Œ| se forme aux dépens de # = g? t + 5 % -f Ev comme <!>*, se forme aux dépens de ^ ; en sorte que Ton a
(217) *., = *i,-Jb;.
De même, * /t% se forme aux dépens de gf comme <£,* se forme aux dépens de S», ; en sorte que Ton a
On a ensuite
(218) 28p 4-. .- + 23? 4-&8r -*-... + (f3* = jVb ft Ssn ft -h ... -H < n> ft 8ft ft -t- «f%^8m s -*- ... 4-U 8 3fl,
et
(219) ^Sp 4- ... 4- «^8} h- $ r 8r 4- ... + <*> s 8s = ^L t im i + ... 4- *î, 3n â 4- <ï>£ t 8»i s 4- ... 4- $2 t 3» t
— iKSwj— ... — u;sn, — Jll>;3m t — ...— %;3« t .
On a également
(220) J p 8p +... + J ff 8f 4-J r 3r 4-... 4-J,3s sj^ifll^ ... 4-J„ l 8» 1 4- J OT ,3iw, H--... -h J„ 8 3»,
et
(221) ft,8p 4- ... 4- <? g 8g 4- ? r 3r 4- ... 4- ?,8* = <p». 1 8m l 4- ... 4-<p„ 1 8fi 1 4-<?m 9 8m s 4- ... 4- ©„ s 3n,.
Les fonctions 6 dépendent de
3tj, ..., Àj, lj,
yv»
Jt„
•Jfûj 9 ..* 9 ** J 9
Elles tendent vers des limites finies lorsque
tendent vers 0.
Elles sont toutes essentiellement négatives.
Les modifications virtuelles principales §r, ..., 8s pour lesquelles les fonctions 6 sont identiquement nulles, c'est-àdire pour lesquelles il n'y a pas de frottement, peuvent ùtre plus ou moins nombreuses; mais leur nombre ne peut être inférieur à 6; parmi elles, en effet, se trouvent forcément six modifications qui déterminent un changement de position absolue dans l'espace du système formé par l'ensemble des corps 1 et 2, sans changement d'état et sans changement de situation relative de ses diverses parties.
L'équation (216) en Sa,, ..., os doit avoir lieu, non pas identiquement, mais en vertu des égalités (215). Dès lors, on peut trouver des facteurs II, ÏT, ..., en nombre égal à celui des égalités (215), fonctions de
a i5 ..., Àj, a,, ..., Àj,
tels que Ton ait
/ Jb, h- n« t + n'a; -+- ... — <*>«, + j a , + ?«, + g^t-tt = o, a, + ni, + n'i; + ... — «>,, -h J, t + ?/ 8 -^ ft f ^ =o,
(223) l t£ + "' + nV + "' ~** + J * + ** + 6 **fr=°»
01 + nr -h n f r' + ... — * r + J r + <? r =0,
\ îf +n« + nv -h ... - $, + 1, + ?, =o.
Ces équations, jointes aux relations (215), constituent les équations du mouvement du système.
Toutefois, il faut remarquer que, bien que les fonctions G dépendent des variables inscrites au tableau (222), leur expression en fonction de ces variables n'est pas explicitement donnée, en général.
Observons à cet égard que
3j9, ..., Sy, Br, ..., os étant des fonctions linéaires et homogènes de
cm,, ..., tn x> §w„ '..., §w 8 ,
190 P. DUHfcM.
nous pourrons écrîre les identités
pip + •«. -MSf 4-rîr + ... -h»5* = m i ^m i ■+• ... + n^^ + m^Wj -h ... -+- n f 8rt,, (224) { p'Sp -*-... -f-q'8? + r'3r -4-...h-*'S$ = mic^ -t- ... -t- n[§n l 4- m' % $m t -h ... + ni8» 2 ,
Cela posé, les fonctions G af , ..., G,, s'obtiennent en prenant respectivement les fonctions g ai , ..., €jr /fS qui dépendent de
dti, . .., A| f i i5
Wj, ..., lj, "*U "m »*ii
et en y remplaçant \. ..., ï t , il,, ..., % t respectivement par
Jb ft -h n^ *♦- n'a; 4- ,..*
^ + m, + nu; + ..., â%i -t- nmj -h n'mi -h ...,
%, + Ilrij + n'n; + ....
Les fonctions G aa , ..., G* s se forment d'une manière analogue au moyen des fonctions g ai , ..., g h .
Quant aux fonctions G p , „.., G y , elles ne dépendent de &>%> —>%>%» ...,2,&, ...,#, que par l'intermédiaire de n, II',....
Enfin, les quantités 8p, ..., 8</ ne dépendent que des déplacements virtuels qu'éprouvent, les Unes par rapport aux autres, les parties des corps 1 et 2, qui sont Infiniment voisines des contacts auxquels correspondent les liaisons (214) ôU (245).
Supposons que, dans un système renfermant certains contacts, on établisse de nouveaux contacts, entraînant certaines équations de liaison; nous admettrons que Ton passe des équations du mouvement du système avant ces contacts aux équations du mouvement après ces contacts, par un procédé semblable à celui qui nous a permis de passer
de l'étude d'un système exempt de liaison, à l'étude d'un système astreint à des liaisons.
Comme les diverses liaisons exprimées par les équations (214) ou (215) peuvent être censées introduites les unes après les autres dans le système, le postulat précédent entraîne évidemment la conséquence suivante :
Les modifications virtuelles principales op, . ., oq se partagent en plusieurs groupes, relatifs aux diverses liaisons.
Le premier groupe Sgj, ..., 8p est relatif à la liaison qu'exprime la première égalité (215): le second groupe Sgj', ..., 8p' est relatif à la liaison qu'exprime la deuxième égalité (215), etc.
Les modifications <?©, ..., 8p dépendent uniquement des déplacements virtuels qu'éprouvent, les unes par rapport aux autres, les parties des corps 1 et 2 qui sont Infiniment voisines des contacts auxquels correspond la liaison exprimée par la première équation (215).
Les fonctions G w , ..., G p , relatives aux modifications ow, ..., 8p ne dépendent de Jb t , ..., ( £ i9 £, ...,i2> iit, ..., ( J que par l'intermédiaire de la quantité IL
§ 2. Étude thermique du système précédent.
Sp est une fonction linéaire et homogène de 8m t ..., 8n„ $m„ ..., <Jn t ; posons
(228) Sp = Sp! + Sp,
avec
m ( 8p i = P 1 Swî 1 + ... + P18n lf
K } \ Sp* = T? % im $ + ... + P;S» S .
Considérons le potentiel thermodynamique interne du
système ;
9 = 9i + $ t + EW.
Remarquons que les modifications virtuelles principales §m i9 ..., on t ne font pas varier & t> tandis que les modifications virtuelles principales 3m„ ..., 8n t ne font pas varier^; soient ®po Gp* des expressions qui se forment au moyen de 3 ly W et
des coefficients de Sp ; soient, de même, <&*,, % Pl des expressions qui se forment d'une manière analogue au moyen de 9 %y W et des coefficients de 8p t ; nous aurons évidemment
(227) * p 3p = * Pt ï Pi 4- «I&Sp, 4- E (Q Pt $ Pi 4- e^Sft)
ou, en posant
(229) ^5p = «^ + *j,8p 8 - 2;S Pl - £ t 8p 8 . L'égalité
qui définit l'énergie interne du système, donne, en désignant par u p > ul t y nj, des quantités qui se déduisent des fonctions U, U|, U, comme #,, «£, $| t se déduisent de #, # u #„
(230) ti p 3p = « + e Pt ) 3p t + (t& + 0,,) 8p 8 . Enfin, on trouve sans peine que l'on a
(231) £8p = 2 t 8p ft + £ s 3p îf
(232) Vj> = £*ft+«.8fc.
Des considérations analogues s'étendent u toutes les variations principales 8p, ..., Sg, $r, ..., 8s.
Il nous est possible,* maintenant, de définir ce que nous devons entendre par quantité de chaleur dégagée par le corps i, lorsque ce corps présente avec des corps étrangers, le corps 2 par exemple, des liaisons entraînant viscosité et frottement; dans ce cas, la quantité de chaleur dégagée par le corps i dans une modification réelle ou virtuelle
3fl i5 ..., ol i9 $tn ly ..., ow 15 oTj, c f est, par définition, la quantité
(233) dQ i =^- (p« l 8a ft +...4-pr l 8f 1 4-p Fl 8p l 4-... + p^S^
oïl les coefficients p 0l , ..., o ti , c, ont les valeurs suivantes:
I Ep 0| =E<— Ji, — (.i, 1 + l i,;+na 1 +n , (i;+ •••), e ?( , = Ew?, - j,', — (% +% + m, + n-i; + ...\
(234) / E?Pt= E <" Jl " - <*» + & + ll * + U '*' + •")•
E P „= e< — J. 1 , — (îf, + 'J' t + n« + nv + ...),
Er -F rfU «.
E Cl E —
La quantité de chaleur dQ f , dégagée par le corps 2, s'exprimerait d'une manière analogue: on vérifierait sans peine que l'on a
dQi + dQ f = dQ,
ctQ étant la quantité de chaleur dégagée par l'ensemble des corps 1 et 2 ; cet ensemble forme un système indépendant des corps extérieurs, auquel s'applique la définition de la quantité de chaleur dégagée que nous avons donnée dans la l re partie de notre Commentaire aux principes de la thermodynamique. L'égalité
permet d'écrire les égalités (234) sous la forme / à® 1
(233) e P „ =^,-1,^ — J.. — (îf. +r t +n» +nv + ...),
Si l'on rapproche ces égalités des égalités (233), si l'on pose
1 — EdT et si Ton observe que l'on a, en vertu de ces égalités,
-^7=,- oa t h- ... -+- -— - cs i — — .fcôfcj,
ré
on aura
p. DUHEM.
