II
nv
La quantité E -=- est susceptible d'une expression analogue ;
on en déduit, en tenant compte des égalités (223), (225), (229), (231) et (232),
O ax &#! + ... 4" Ç^ &/ t + G«,
©C$0, 4- ... 4- ff, Sfi + G* --r 3*, 4- ... 4- G/-*: S/,
?pcp 4- ... 4- 9,5s 4- Gj
Sa, 4- ...4- G,, t Ît è/ t
ril
Sp + ... + G^rj-cq
-tfi-
-tf«-
-nv
np,-
-ny,
-ifi-
ii» -
-nv
ft étant une température quelconque*
Cette relation est vraie aussi bien pour une modification virtuelle que pour une modification réelle; appliquons-la à une modification réelle
Dans le cas d'une modification réelle, on a
Sa t = a[dt 9 ..., 8J, = l f dt 9 §p =p'dt, ..., Is = s'dt. On sait que Ton a
?a,«i-H ... + <?hK<0> <? p p' -f- ... + ©.*'<<),
On voit donc que les trois premiers termes du second membre de l'égalité (236) sont positifs; on peut, dès lors, transforme» l'égalité (236) en une inégalité que l'on généraliserait sans peine de manière à l'étendre à un système formé d'un nombre quelconque de corps portés à des températures différentes et présentant entre eux des contacts quelconques.
Posons
S = S| ■+■ bj -f* •••
et nous aurons (237) ^i + ^ + ... + dS
+ dt 2 S (r t ~ l) m> -$-*!- "& - n '« , i - - - J *.)ri
+ (•?,— st i-(f,— n« — n 1 »'— ... — j„)«;]
+ (*i - ffi - tf,— «• - ir«' — ... — j..) *a
le signe 2 indiquant une sommation qui s'étend à tous les contacts entre divers corps du système»
Et'
196 P. Dl'HEM.
Cette inégalité, peu intéressante en elle-même, le devient lorsqu'on l'applique à un système dont la température varie d'un point à l'autre d'une manière continue; rien ne s'oppose, en effet, à ce qu'on suppose la température 0, qui jusqu'ici est quelconque, comprise entre les deux températures T„ T f ; lorsque ces deux températures deviennent infiniment voisines, les facteurs
deviennent infiniment petits, et l'inégalité (237) devient
le signe 2 s'étend aux divers éléments de volume en lesquels le système est censé décomposé.
Si l'on intègre l'inégalité (238) pour un cycle fermé, on
trouve X inégalité de Clausius :
§ 3. Frottements de glissement, de roulement,
de pivotement.
Pour illustrer par un exemple les principes posés au § 1, nous allons étudier les lois du frottement de deux corps solides qui se touchent en un point, telles qu'elles sont généralement admises et montrer qu'elles se mettent aisément sous la forme indiquée dans ce paragraphe.
Deux corps 1 et 2, terminés l'un par la surface S„ l'autre par la surface S f , sont en contact au point M. Soit n la pression de chacun des deux corps sur l'autre; comptons positivement la pression exercée sur chacun des deux corps lorsqu'elle tend à l'écarter de l'autre corps ; la pression n sera nécessairement positive.
Pour évaluer le travail élémentaire du frottement durant le temps dt } il suffît de considérer le déplacement relatif des corps 1 et 2 pendant ce temps; supposons, par exemple, le corps 1 fixe et le corps 2 mobile.
Le déplacement du corps 2 à la surface du corps 1 peut toujours se décomposer en :
1° Un glissement, par lequel le point de contact, fixe à la surface du corps 2, décrit à la surface du corps 1 un chemin élémentaire de longueur ds;
2° Un roulement, par lequel le point de contact décrit sur chacun des deux corps un chemin da;
3° Un pivotement, par lequel le corps 2 tourne d'un angle d6 autour de la normale commune.
Les trois quantités ds 9 da, dô, sont des fonctions linéaires et homogènes des variations subies par les variables indépendantes qui définissent la position des deux corps; ces trois quantités jouent ici le rôle de modifications principales.
La forme la plus simple proposée par les mécaniciens pour le travail de frottement est la suivante :
