CONCLUSION

Si, conformément à l'habitude prise dans le développement de la thermodynamique et de la dynamique, on néglige de tenir compte de la viscosité et du frottement, on peut appliquer à toutes les modifications un théorème fondamental, le théorème de Clausius : Si Ton désigne par dQ la quantité de chaleur dégagée par un des éléments qui constituent le système, par T la température de cet élément, par S une fonction de l'état actuel du système, son entropie, on a

l'égalité

dQ

le signe 2 s'étendant à tous les éléments qui composent le système; intégrée pour un cycle fermé, cette égalité devient :

Par un éclair de génie, Clausius a reconnu que ces égalités ne pouvaient être générales; que, pour les appliquer aux modifications réelles que la nature nous présente, il fallait les remplacer par les inégalités

2t + ,îs>0 '

qui expriment ?ous une forme plus précise le vieil axiome 4e

l'impossibilité du mouvement perpétuel, point de départ des travaux de Sadi Carnot et, par là, de toute la thermodynamique moderne.

C'est à ces inégalités de Glausius que nous parvenons en effet lorsque nous cherchons à compléter les équations de la dynamique et de la thermodynamique classiques, de telle manière qu'elles fournissent une image plus complète des phénomènes naturels; dans notre Commentaire aux principes de la thermodynamique, et dans la première partie du présent Mémoire, nous avons systématiquement introduit la viscosité dans les équations générales qui régissent les transformations des corps; de ce que, dans toute modification réelle, le travail de viscosité est négatif, résultent les inégalités de Clausius.

L'introduction, dans les équations de la thermodynamique, de termes relatifs au frottement, jointe à l'hypothèse que, dans toute modification réelle, le travail de frottement est négatif, ne fait qu'accentuer encore la conséquence obtenue par l'introduction de la viscosité et confirmer les inégalités de Clausius.

Nous avons étudié ailleurs (*) une autre catégorie de phénomènes auxquels les équations de la thermodynamique et de la dynamique classiques ne sont pas applicables : nous voulons parler des déformations élastiques permanentes, de l'hysteresis magnétique, des modifications permanentes du soufre, des effets de la trempe ; les lois qui régissent ces phénomènes se conforment toutes aux inégalités de Clausius.

En quoi les termes nouveaux dont Tintroduction dans les équations de la thermodynamique et de la mécanique classiques justifient les inégalités de Clausius, terme de viscosité, terme de frottement, terme d'hystérésis, diffèrent-ils essentiellement des termes que renfermaient déjà ces équations bien connues?

Soit un système défini par les n variables a, ($, ..., X. Si nous écrivons, pour un tel système, les équations du mouve-

(*) P. Duhem, Sur Us déformations ^rmanentes et l'hysteresis. Trois mémohes présentés à l'Académie de Belgique (Mémoires présentés par divers savants étrangers et Mémoires couronnés de l'Académie de Belgique, t. LIV).

VISCOSITÉ, FROTTEMENT, rADX ÉQUILIBRES. 201

ment en négligeant la viscosité, le frottement et l'hysteresis, nous obtiendrons les équations suivantes :

/ A à(&—%) <jdZ = {j à % dt dz!

(240) ( d$ -dtdp

d\ dtdV

qui sont du type créé par Lagrange, et auxquelles il faut joindre la loi des variations de la température.

Ces équations possèdent une propriété remarquable, qui

découle de cette autre propriété de la force vive % d'être une

du d3 dX forme quadratique en j-> -tt, ..., -rr-

Prenons, en premier lieu, le système dans des conditions où les actions extérieures, les variables qui fixent l'état du

système, la température et les vitesses -^> -^, ..., j- ont certaines valeurs

oc, p, ..., A, r,

~n^' -Ta) •••> T7i auront certaines valeurs.

dv dv dv

Prenons, en second lieu, le système dans des conditions où les actions extérieures, les variables qui fixent l'état du système et la température ont les mêmes valeurs

a, g, ..., X, T que dans le cas précédent, tandis que les vitesses

do. d$ d\

dt dt dt

ont les valeurs

~f -Hr. ..., -7-i auront les mêmes valeurs que dans le cas dt 1 dt* ' dt* n

202 l\ DUHBM.

précédent; en effet, aucun terme des équations (240) ne

change lorsqu on y remplace jj, ^, ..., ^ par- ^, -^. d\

Il résulte de là que si un système peut éprouver une modification déterminée, passer, sous l'influence de certaines actions extérieures, par une certaine suite d'états, en ayant en chaque état des vitesses bien déterminées, il peut également, sous l'influence des mêmes actions, parcourir en ordre inverse la même suite d'états, en ayant en chacun d'eux des vitesses égales en valeur absolue, mais contraires en signe, à celles qu'il possédait au moment où, dans la première modification, il a traversé le même état. Cette faculté laissée aux systèmes que régissent les seules équations de la thermodynamique classique, faculté que les oscillations d'une pendule nous manifestent sous la forme la plus simple, est celle que Helmholtz (*) désigne comme la capacité d'éprouver des modifications réversibles ( 2 ).

Cette faculté ne se présente plus en des systèmes qui sont affectés de viscosité, qui sont le siège de frottements, qui sont susceptibles d'éprouver des modifications permanentes ; les termes que la considération de ces trois catégories d'actions introduit dans les équations du mouvement du système, possèdent une commune propriété : lorsque, sans rien changer aux valeurs de

( ! ) Helmholtz, Ueber die physikalische Bedeutung des Princips der kleinsten Wirkung(Borchardt f s Journal, Bd C, p. 217; 1886. — Wissenschaftlkhe A bhandlungen, t. III, p. 242.

(*) Le mot réversible a, dans les recherches d 'Helmholtz dont il est ici question, un sens quelque peu différent de celui que nous lui avons attribué dans nos propres recherches (Commentaire aux principes de la thermodynamique,^ 9 Partie. Journal de% Mathématiques pures et ajypliquées, 4 e série, t. IX, p. 305; 1893). Ce dernier sens est plus voisin de celui qu'adoptait Clausius.

on change le signe des quantités

dot. d$ d\ dt'dt'^'dt'

ces termes ne changent pas de valeur absolue, mais ils changent de signe; les systèmes doués de viscosité, de frottement ou d'hysteresis ne sont donc plus susceptibles d'éprouver de modifications réversibles, au sens que Helmholtz donne à ce mot.

Le caractère qui sépare si profondément les termes non réversibles des équations du mouvement du système, des termes réversibles, qui figurent seuls dans les équations de la thermodynamique classique, semble opposer un insurmontable obstacle à toute tentative de réduction de la thermodynamique complète, de celle qui tient compte de la viscosité, du frottement, de l'hysteresis, à la dynamique classique, formulée par les équations de Lagrange.

Une seule supposition semble capable d'expliquer la présence, dans les équations par lesquelles la dynamique classique rend compte du mouvement d'un système, de termes changeant de

signe lorsque les dérivées par rapport au temps -£ % -p, ..., —

des variables indépendantes a, $, ..., X, changent toutes de signe ; c'est l'hypothèse des mouvements cachés proposée par Helmholtz («).

Supposons que deux catégories de variables servent à définir à chaque instant l'état du système; les premières, a, p, ..., X, éprouvent d'un instant à l'autre des variations dont nous connaissons l'existence ; leurs dérivées par rapport au temps

^,^,,m, -r- figurent explicitement dans nos raisonnements; at ai at

les secondes p, ..., v, sont ignorées de nous; leurs dérivées

(•) Helmholtz, Ueber die physihalische Bedeutung des Princips der kleinsten Wirkung (Borchardt's Journal, Bd C, p. 147,1886.— Wissenschaftliche Abhandlungen, t. III, p. 215).

par rapport au temps -^, ..., ~ n définissent les vitesses dont

sont animées diverses parties du système en des mouvements que nous ne soupçonnons point.

La force vive % du système est une forme quadratique

, dd dû d\ du. dv . , , .,

de -7- » -77, .... -r-> -£, ..•» -1-; mais, si on la traite comme dt dt dt dt dt

fonction des seules variables -^> -~, ..., — , elle renferme des

dt dt dt

termes du premier degré par rapport à ces variables; lors donc que nous écrirons celles des équations de Lagrange qui se rapportent aux variables a, p, ..., X, ces équations contiendront certains termes qui changeront de signe lorsque nous

changerons le signe de toutes les vitesses -^ 9 -^, .... — ' dont

dt dt dt

l'existence nous est connue, sans modifier en rien les vitesses