EC, = ET

Ces égalités, jointes aux égalités (30) et (30 :w *), permettent d'écrire l'égalité

AIQ, dQ t \ (dS, dS, àS, \

v"tt + t;/~~ fe * * , + ^; i+ ^r; v

Fa.Sa, + ... 4- F li 8X 1 F a ,8a, + ... 4- F it 8X,

F;,8a t + ... 4- Fi l\ Fi, 8 a, 4- ... 4- FJ 8X,

Supposons, en particulier, qu'il s'agisse d'une modification réellç et faisons

OÛt 4 = -tt (**i •••> OA| =^ — r— ut.

ut (Il

Nous aurons

'■• "rfl + ••• + '>. rff ^ '* dî" + •" + / ^rff, #

£ = tf f

F ^ -L. -L. F ^^ J.F ^ -4- -4- F dX *

1 • dt ** dt * dt À * dt

F rfa i a- *. F dX * a- F da * -u a- F rfXf

t Fg ,— 4- ... H-F^ + F„ — + ... + F )f —

df

dt

-i(f.-fJ('*$ + » + 0)'«

Cette égalité (32) n'offre, par elle-même, aucun intérêt, non plus que l'égalité analogue relative à un système formé d'un nombre quelconque q de parties; mais si, faisant croître le nombre de ces parties, nous tendons vers un système dont la température varie d'un point à l'autre d'une manière continue,

lès facteurs tels que (^ — ™-J tendront tous vers 0, et

l'égalité (32), jointe aux inégalités (15), nous donnera la condition

Le signe d'égalité est réservé au cas où la modification réelle considérée n'entraîne aucun travail de la viscosité.

Supposons, en particulier, que le système parcoure un cycle fermé ; la condition (33), intégrée pour ce cycle entier, donne

fl% s 2*-2*i

mais l'état final du système étant identique à son état initial, le second membre est égal à et nous trouvons

Ainsi, lorsqu'un système, indépendant des corps extérieurs, dont la température varie d'une manière continue d'un point à Vautre, décrit un cycle fermé réel, la condition (34) est assurément vérifiée.

Dans cette condition, le signe d'égalité est réservé au cas où la viscosité n'effectue aucun travail durant le parcours du cycle.

Ainsi se trouve généralisé un théorème célèbre de R. Clausius.

§ 6. Système présentant, avec les corps extérieurs,

des liaisons bilatérales.

Il nous est maintenant facile de traiter d'un système présentant, avec les corps extérieurs, des liaisons bilatérales ; pour ne pas introduire de complications inutiles, nous supposerons que ce système ait la même température en tous ses*points; le cas d'un système dont la température n'est pas uniforme se traitera de même sans aucune difficulté.

Supposons que le système étudié soit le corps 1 du paragraphe précédent ; les corps étrangers se composent des corps qui étaient traités comme tels au paragraphe précédent et du corps 2.

Si l'on observe que l'on a

$ = $ l + $ i +EW, que

enfin que

on voit que l'on a Les sommes

Aj -H JiD| 9 ..., L 4 -+- jù i

représentent les actions exercées sur le système 4 par les corps étrangers à ce système; désignons-les simplement par A t , ..., L,. Les n t premières égalités (16) deviendront

/ A àtfi — ZJ