at + Fi, + ... + UM l + n'M
dX t
p X| + Fi +... + np l + irp; +
Ce sont les équations du mouvement de notre système ; si -on les compare aux équations (3), on aperçoit aisément la proposition suivante:
Les équations du mouvement d'un système qui présente, avec les corps extérieurs, des liaisons bilatérales s'écrivent comme les équations du mouvement d'un système indépendant des corps extérieurs, à condition d'ajouter aux actions A„ ..., L„ qui sollicitent réellement le système des actions fictives de deux sortes :
1° Des forces de liaison
(dm, + ir m; + ...), ..., (n i ? l + np; + ...);
2° Des actions de viscosité
Ces deux sortes d'actions se rapportent aux liaisons que le système présente avec les corps extérieurs.
Les actions extérieures fictives dépendent des quantités -^, ..., — et des quantités analogues relatives aux corps
extérieurs, tandis que les actions extérieures réelles dépendent seulement des variables a„ $ l9 ..., X„ T t et des variables analogues relatives aux corps extérieurs.
Les coefficients calorifiques du système étudié sont donnés par les égalités (29), que l'on peut écrire.
» ! ■"=■£!£ + ïtt 1'^' '+„',,' l „■',;' 'Zi,
EC t =E
dXj à\ dtd\\
En les comparant aux égalités (5), on voit que les coefficients calorifiques d'un système qui présente, avec les corps extérieurs, des liaisons bilatérales, se déterminent à partir de l'énergie interne du système, comme si le système était indépendant des corps extérieurs, à la condition d'adjoindre aux actions extérieures qui sollicitent réellemeM le système les forces fictives de liaisons
(iim, + ir m; + ...), ..., (np 1 + ir p; + ...),
et sans tenir aucun compte de la viscosité relative à ces liaisons.
Les équations (81) s'appliquent également à notre système; comparées aux égalités (7), elles nous montrent que les coefficients calorifiques d'un système qui présente avec les corps extérieurs des liaisons bilatérales se déterminent, à partir de V entropie du système, comme si le système était indé-
*4 P. DUHKM.
pendant des corps extérieurs, à la condition d'ajouter aux actions de viscosité internes f ai , ..., f u , des forces de viscosité
(F a , + Fi 4 ■+- ...), ..., (Fx t -h F{ t + ...)>
provenant des liaisons que le système présente avec les corps extérieurs.
Multiplions les deux membres des égalités (31) respectivement par -pdt, -p du .... — ^ dt et ajoutons membre à
dt dt dt
membre les résultats obtenus; nous trouvons
F da «-i- -uns dX * + |T *
Fai + ... + F ),—
La première des inégalités (15) nous enseigne que l'expression
ne peut jamais être négative ; mais les autres conditions (15) ne nous donnent aucun renseignement touchant le signe des expressions
F "âu + - +F) '~d7' f;^ + ... + f^ ^.
Ainsi, lorsqu'un système de température uniforme présente avec les corps extérieurs des liaisons bilatérales, il n'estplus
juste de dire, en général, que la transformation compen-
— E Yf dt j qui accompagne une modification réelle de
ce système ne peut surpasser la valeur totale de transforma-
tion 7=-*; la transformation non compensée peut être
négative.
En Intégrant l'égalité (37) pour un cycle fermé, on parvient à la proposition suivante :
Lorsqu'un système, de température à chaque instant uniforme 9 qui présente avec les corps extérieurs des liaisons bilatérales, parcourt un cycle fermé réel, il peut se faire
que V intégrale l -=-*, étendue à ce cycle, ait une valeur
négative.
Les théorèmes célèbres de R. Clausius pourraient donc conduire à des résultats erronés si on les appliquait à un système tel que celui qui nous occupe; il est cependant trois cas où ces théorèmes restent assurément vrais pour un système qui présente avec les corps extérieurs des liaisons bilatérales.
4° Les portions des corps extérieurs qui sont en contact avec le système sont immobiles.
En effet, l'expression
Fai + ... + F >, + Faa jj + ... + M, —
dépend seulement du déplacement relatif des parties que la première liaison (42) met en contact; si les parties appartenant au corps 2 sont immobiles, cette expression devient indépendante de -jp ..., -ry et se réduit à
en sorte que, d'après les conditions (45), cette dernière quantité ne peut être positive. Il en sera de môme des quantités
f' rfa « j. i- f' dXi dt A » dt
et la proposition énoncée sera démontrée.
2° Les liaisons du système avec les corps extérieurs sont toutes des soudures.
Dans ce cas, en effet, on a
Fi, = 0, ..., F^ = 0,
égalités d'où découle sans peine la proposition énoncée.
3° Les liaisons du système avec les corps extérieurs sont sans viscosité.
Dans ce cas, les égalités précédentes sont encore vraies, et entraînent encore la conséquence énoncée.
§ 7. Hypothèse approximative. — Hypothèse de lord Rayleigh.
Revenons maintenant aux égalités (3) qui peuvent s'étendre, d'après ce qui précède, à un système indépendant des corps extérieurs, mais formé d'un nombre quelconque de parties, portées à des températures différentes et présentant entre elles des liaisons bilatérales.
Les quantités f a , /*p, ..., f l9 dépendent de
dt' dt'
dt'
elles
s'annulent si
l'on fait
da.
Tt
"' dt
L'hypothèse la plus simple que l'on puisse faire sur la forme des quantités f a , f^, ..., /* x consiste à supposer que l'on a
x da d$ dX
ra = a a - + a ?Tt + ... + a x -,
. , da , dp dX
(38) I p dt p dt h dt'
* i doL i d 3 , d\
^-*Tr +ï P ïïï + "' + h Tt'
les quantités a a , a*, ..., ^dépendant des variables
a, p, ..., A, T, mais point de
do. d$ dX di'di' mmm9 Tt'
du d(3 dX Désignons par JF la forme quadratique en -j-, -7-, ..., -j- :
/ftrtN / da dû dX\ da
(39) * = -(**«+ a >Tt+~+*li)Tt
/. da . dp . dX\dp
\ df p dt A df/ df
/. da dp dX\ dX
En vertu des égalités (38), nous aurons
/r/w . da . dû . dX -
Le premier membre de cette égalité, nul pour un déplacement d'ensemble de tout le système, est négatif en toute autre condition; ainsi, la forme quadratique $, égale à lorsque le système subit simplement un déplacement d'ensemble qui n'altère ni Vétat de chacune de ses parties, ni leur disposition relative, est négative en toute autre circonstance. L'hypothèse que nous^ venons d'indiquer est assurément
exacte lorsque les dérivées -r, s •••> -ji ont toutes de très petites
valeurs.
A l'hypothèse précédente, Lord Rayleigh( 1 ) a joint une autre hypothèse. Il suppose que l'on a
(41) ap = fe a , ..., a x = l a , by = c^,
(*) Lord Rayleigh, Some gênerai theorems relating to vibrations (Proceedings ofthe London mathemalical Society, vol. IV, p. 357, 1873). — Theory ofsound, 1. 1, § 82.
égalités qui entraîneraient les suivantes :
⣠dî di
où Ton a posé, pour abréger,
dt~* 9 dt~* 9 '"' dt~ k%
Il est des cas où les égalités (41) sont assurément vérifiées; mais on n'entrevoit à priori aucune raison pour qu'il en soit toujours ainsi.
Lord Rayleigh donne à la fonction S le nom de fonction dissipative; W. Thomson et Tait (*) lui donnent le nom de dissipativité (dissipativity) .
(*) Thomson et Tait, Treatise on natural philosophy, 2« édition, vol. I, part I, p. 388.
