LK TRAVAIL BT LA FORCE VIVE

guratif du système, dont l'ordonnée gardera la valeur invariable P, décrira {fig. 9) une ligne droite parallèle à OV ; il ïa décrira de droite à gauche, depuis le point M^, d'abscisse Vq, jusqu'au poin^ M,, d'abcisse V^. Le travail effectué aura pour valeur, selon la formule (5), g == P (Vo — Vj), en sorte que Ton aura, en grandeur et en signe,

5 = aire MoM,Vj V^Mo-

Supposons, derechef, que le volume du système aille en diminuant sans cesse de V^ à V^ ; mais ne supposons plus que cette diminution ait lieu sous une pression invariable ; imaginons que le volume décroisse de Vq à V sous la pression constante P, de V à \" sous la

lip. 10

pression constante P', de V" à V" sous la pression constante P', enfin de Y'" à Y, sous la pression constante P". Le point figuratif du système {fig. 10) décrira la ligne brisée Mo>»'M'M'w"M"'m°'Mi. Le travail effectué a pour valeur, selon la formule (6),

Cette égalité peut encore s'écrire :

B = aire M.m'M' M"'m"'M,Y,Y„M,.

REPRÉSENTATION OicOllÉnilQOI DIS RéSULTATS PRECEDENTS

Fig. 11

Imaginons enfin que chacune des diminutions de volume subies par le système enlre les valeurs extrêmes V^, V,, soit de plus en plus petite ; que ces diminutions soient de plus en plus nombreuses ; que de Tune de ces diminutions de volume à la suivante, la pression subisse une variation de plus en plus faible; le volume du système tendra à diminuer d'une manière continue sous une pression variable d'une manière continue ; le chemin brisé Mow'M' M,, décrit parle point figuratif (/î^. 11), tendra vers le chemin curviligne MoM'....M,, décrit de droite a gauche. Selon ce qui a été dit au n*» 5, le travail effectué durant cette

modification continue sera représenté par Taire curvilatère que nous avons tracée:

(7) g = aire

MoM,V,VoMo.

Au lieu de diminuer sans cesse, le volume du système pourrait augmenter sans cesse de la va-

Fifc'. 12

leur \q à la valeur plus grande V,, tandis que la pression varierait d'une manière continue; le point figuratif du système {fig, 12) décrirait de gauche à droite la ligne courbe M^M,. Une suite de

LB TRAVAIL BT Lk PORGB Yl VB

considérations analogues aux précédentes montrerait que le travail effectué a pour valeur :

(7*»»*) 5 = — aire MoM,VoV,Mo.

Ainsi, lorsque le volume du système a un seul sens de variation entre ses deux valeurs extrêmes V^V,, Taire MoMjVqVjMo fait toujours connaître la valeur absolue du travail effectué ; mais cette valeur absolue doit être affectée du signe 4- ou du signe — selon que le point figuratif décrit la courbe M^M^ de droite à gauche ou de gauche à droite.

Le volume d*un système qui se modifie peut ne point varier toujours dans le même sens ; il peut, par exemple, dhninuer d*abord de

Vo à Vj, augmenter ensuite de Vj à Vj et diminuer enfin de Y, à V3. Le point figuratif [flg. 13) décrira d'abord la courbe MqMi de droite à gauche, puis la courbe M,Mj de gauche à droite, enfin la courbe M2M3 de droite à gauche, les points^ M^,M,, Mj.Mj ayant pour abscisses respectives les nombres Vo,Vi,V„V5.

A chacune des trois modifications partielles où le volume a un sens unique de variation, Tun ou Tautre des deux théorèmes précédents est applicable ; d'ailleurs le travail effectué dans la modification totale est la somme des travaux effectués dans chacune des trois modifications partielles ; ce travail a donc la valeur suivante :

(8) « = aireMoM,V,VX

— aire M^M^V^V^M^ -+- aire MjM^VjVjMj.

APPLICATION A ON GAZ QOl SOIT LA LOI DE MARIOTTB

On voit sans peine qu'une évaluation de ce genre sera toujours applicable, même dans les cas les plus compliqués.

Appliquons ce mode d'évaluation au cas où le système, occupant tout d'abord le volume V^ sous la pression Pq, subit une modification qui le ramène au même volume et à la même pression. Le point figuratif décrit alors une courbe ermée.

Supposons, comme en la fig. 14, que cette courbe se compose d'une seule boucle, décrite par le point figuratif en sens inverse du mouvement des aiguilles d'une mxmtre. Nous aurons, selon la formule (8) :

€ = aire M^M^V^VoMo

— aire MimMjV,V,Mj H- aire M^oVqVjM,

ou, en réunissant les deux aires affectées du signe -+-,

S = aire MjMoMjVjVjM,

- aire M,mM,\;V,M^

ou enfin

(9) s = aire embrassée par la courbe fermée.

Si, comme en la fig. 15, la trajectoire fermée du point figuratif se composait d'une seule boucle décrite dans le sens du mouvement des aiguilles d'une montre, on trouverait d'une manière analogue que le travail effectué a pour valeur :

5 = — aire embrassée par la courbe fermée*

!• Application À un g^az qui suit la loi de Alariotte* — Imaginons que l'on comprime du volume Vq au volume moindre V, une masse de gaz dont la température est maintenue invariable et que ce gaz suive la loi de Mariette.

Soit Pq la pression supportée par ce gaz au moment où il occupe

LB TRAVAIL BT LA PORCB VI VB

le volume W^; lorsqu'il occupera le volume V, comprig entre V^ et

Yj, il supportera une pression P donnée par régalité

Cette égalité fait connaître l'ordonnée du point figuratif M dont V est l'abscisse (fig. 16); on voit que cette ordonnée est d'autant plus grande que V est plus petit ; elle croît au-delà de toute limite lorsque V tend vers

0 et tend vers 0 lorsque V croît au-delà de toute limite. La courbe

lieu du point M, est ce que

les géomètres nomment

une branche d* hyperbole

èquilaière ayant pour

asymptotes les deux axes

OP, ov.

D'après ce qui a été vu au n*» 6, le travail effectué par la pression lorsque l'on comprime le gaz du volume Vq au volume moindre Vj est mesuré par Taire

que limitent les quatre 11- - — — - —

sues suivantes : - * ^ . .

° Piir. 16

1» L'arc MoM^ de l'hyperbole équilatère que définit Tégalité (10) ;

20 et 3^ Les deux lignes V^M^, ViM, parallèles à Taxe des ordonnées ;

TRAVAIL DKS F0RCK8 APPLIQU^GS A UN SYSTÈME 15

4<» La partie VoV| de l'axe des abscisses.

Or la géométrie sait évaluer cette aire, qui a pour valeur

(H) S = 2,325 PoVo log. |-«

le symbole /o//. désignant un logarithme vulgaire, que Ton trouve dans les tables.

8« Dans certains cas» le travail des forces appliquées à un système dépend seulement de Tétat Initial et de Tétat flnal de ce système. -^ La comparai* son de Tégalité (4), qui fait connaître le travail de la pesanteur, avec légalité (6), qui fait connaître le travail d'une pression normale et uniformei va nous conduire à Tune des notions les plus importantes de la mécanique.

Pour connaître le travail effectué par la pesanteur agissant sur un système de masse donnée, il suffit de connaître la cote initiale et la cote finale du centre de gravité ; il est absolument superflu de connaître la forme de la trajectoire que le corps a suivi dans sa chute et les changements de figure ou de dimensions qu'il a pu éprouver durant cette cliùte. Le travail de la pesanteur dépend exclusivement de rétat initial et de tétat final du système sur lequel elle agit,

O. En général, le travail accompli par les forces appliquées à un système, dépend de toute la modification Imposée à ce système* *- Il n'en est pas du travail de n'importe quelle force comme du travail de la pesanteur.

Imaginons qu'un système, soumis à une pression normale et uniforme, passe d'un état initial, où il occupe le volume Y, sous la pression Pof à un état final où il occupe le volume Vj sous la pression Pj.

De l'état initial à Tétat final, il peut passer d'une infinité de manières ; choisissons-en deux et calculons, pour chacune d'elles, le travail de la pression :

1^ Le système se dilate sous la pression constante Pq, du volume Vo au volume V, ; puis, sans changement de volume, on fait passer la pression de la valeur P^ à la valeur P, ; des changements convenables de la température permettent d'accomplir ces deux opéra-

16 LE TRAVAIL RT LA rORGB VIVE

tions ; durant la première partie de ropératioo^ la pression effectue, selon Tégalité (5), nn travail Po(Vo — V,) ; durant la seconde partie, le point figuratif décrit une droite parallèle à OP, en sorte que le travail est nul. Le travail accx)niplî parla pression, dans la modification considérée a pour valeur :

e, = P,(V.-VJ.

2^ Sous le volume constant Vq, on fait passer la pression de la valeur P(, à la valeur Pj ; puis, sous la pression constante P,, le volume passe de la valeur Vo à la valeur Vi ; durant la première partie de la modification, la pression n'accomplit aucun travail ; le travail qu elle accomplit durant la modification se réduit donc à celui qui est ac* compli durant la seconde partie et il a pour valeur, selon Téga-

Uté (5) :

S,==P,(Vo-VJ.

Comme V^ est différent de P^, le travail 5j accompli par la pression, durant la seconde modification, n'est pas égal au travail s, accompli durant la première modification.

Supposons que le système soit, dans l'état initial et dans Tétat final, porté à la même température ; du premier au second, nous pourrons le faire passer sans que la température éprouve aucune variation ; cette troisième modification différera, en général, des deux précédentes ; si le système est un gaz qui suit la loi de Marîotte, nous connaîtrons la valeur du travail effectué durant cette dernière modification ; cette valeur, donnée par Tégalité (H), différera encore des deux précédentes.

Ainsi la valeur du travail effectué lorsqu^un système, soumis, en tout point de sa surface, à une pt^ession normale et uniforme, passe d'un état initial donné à un état final donné ne dépend pas seulement de ces deuœ états, mais encore de toute la suite des états intermédiaires par lesquels le corps a passé.

Les deux exemples que nous venons de traiter justifient les propositions que voici :

En général, lorsqu^un système matériel, soumis à certaines forces, subit une certaine modification, il ne suffit pas, pour connaître le

POTENTIBL 17

travail accompli par ces forces durant cette modification, de connaître Vètat initial et Vétat final du système; il faut encore connaître la suite des états intei^nédiaires que le système a traversés et les forces qui sollicitaient le systfTne en chacun de ces états.

Toutefois, si les forces qui sollicitent le système appartiennent à certaines catégories particulières^ pour connaître le travail effectué durant une modification^ il suffit de connaître Vétat initial et rétat final et toute connaissance des états intermédiaires est superflue.

!©• Potentiel. — C'est aux forces particulières dont nous venons de parler, et dont la pesanteur nous offre un exemple, que nous allons donner un instant notre attention.

Considérons un système soumis à de telles forces et faisons chpix, une fois pour toutes, d'un certain état de ce système que nous nommerons rétat a.

Supposons que le système passe à cet état (x, à partir d'un autre état X ; les forces considérées effectuent un travail qui est entièrement déterminé par la connaissance de l'état initial x et de l'état final a ; pour changer la valeur de ce travail, il faudrait changer l'un au moins des deux états oLOuœ; puisque nous supposons l'état a choisi d'une manière irrévocable, nous pouvons dire que la valeur de ce travail ne dépend absolument plus que du choix de Tétat x ; nous la désignerons par Û,.

Proposons-nous de calculer le travail s, accompli par les forces considérées, lorsque le système passe d'un état initial quelconque 0 à un état final quelconque 1 et, dans ce but, considérons la modification suivante :

Le système passe d'abord de l'état 0 à l'état 1, puis de l'état 1 à l'état a ; par définition, les forces considérées accomplissent, durant la première partie de la modification, le travail s et, durant la seconde partie, le travail û,, soit, en tout, le travail (5 ■+- Ui).

Mais la modification considérée fait passer le système de l'état 0 à l'état a ; le travail accompli a aussi pour valeur Q^. On a donc l'égalité :

S H- li, =:^ iio»

OcuKM. — Thermodynamique. 2

18 LK TRAVAIL fT LA FORCB VIVB

(12) C = Ûo — ûp

Lorsque le travail des forces appliquées à un système est entière* ment déterminé par la connaissance de Vétat initial et de Vètat final, on peut, à chaque état du système, faire correspondre une certaine grandeur û, variable d'un état à Vautre ; le travail effectué au cours d'une certaine modification est égal â Vexcès de la valeur initiale de Q s"^ la valeur finale de cette même grandeur.

La grandeur Q se nomme le potentiel des forces qui agissent sur le système.

Au lieu de dire que le travail des forces qui agissent sur un système ne dépend que de Tétat initial et de Tétat final du système, on dit que ces forces admettent un potentiel,

1 1 • Potentiel de la pesanteur. — La comparaison des égalités (4) et (12) nous montre que la pesanteur dépend d'un potentiel et que ce potentiel est :

M étant la masse totale du corps et Z la cote du centre de gravité audessus d'un plan horizontal arbritraire H.

12. Forces qui admettent un potentiel en vertu des restrictions imposées au système. — Un système de forces qui, en général, n'admet pas de potentiel, peut» dans certains cas, en admettre un pourvu que Ton impose certaines restrictions aux modifications qui seront étudiées.

Ainsi noui$ avons vu que si la surface d'un corps était soumise à une pression normale et uniforme, cette pression, en général, n'admettait pas de potentiel.

• Mais, supposons que Ton astreigne la pression à garder une valeur P absolument invariable ; le travail des forces, qui sollicitent le système, sera donné par l'égalité (5), dont la comparaison k l'égalité (12) fournit la proposition suivante :

Lorsque les forces qui sollicilent nn système se réduisent à une