L'inégalité de Clausius devient donc
A e \ { Éd à] ad | Pat | Elar + Aid J PAT +
a (ts FAR LE KO
Le maximum de son premier membre ayant lieu pour ? = 0, sa dérivée par rapport à # est nulle pour cette valeur de la
variable, ce qui donne la relation
ÉD CL due — =. —— AT —— OT = 0.
ie île Ï T ( ë Gi (4 O v/
Mais si on se déplace sur le circuit dans le sens CBM,AM,C
les limites de la première intégrale sont T, et T,, celles de la
seconde T, et T,; nous pouvons donc écrire la relation
: | | E, ps on Je CHANENUAN) PE r, T, :
D'ailleurs, on peut poser
précédente
E désignant la force électromotrice résultant du contact des métaux À et B lorsque ces métaux sont à la température T ;
nous avons donc
ou
f. Cette condition devant être satisfaite quelles que soient les
limites de l'intégrale, puisque T, et T, sont arbitraires, la quantité placée sous le signe d'intégration doit être nulle, c'est-à-dire d /E AD = EE) aT Fi 290. Les fonctions # et ? sont inconnues ; l'hypothèse la
plus simple est de supposer qu’elles sont proportionnelles à la
température ; posons donc
DU CT et WAP) E=8T-
Nous avons alors
d'{E et par suite
E — — &T? + al.
La force électromotrice du couple est la somme des forces électromotrices de contact et de celles qui proviennent de la
variation de température, c’est-à-dire
ou
Si nous portons dans cette expression les valeurs précé-
dentes de #, 4 et E, nous obtenons
T b JT +a +07) 47 = a (ns — Te) — UT — Té);
l'expression de la force électromotrice d’un couple en fonction de la température est donc de la même forme que celle qui résulte de l’expérience.
Mettons T, — T, en facteur ; nous avons nt 3} T (T,— T,) (e — b nt)
Lorsque T, est très peu supérieur à T,, le second facteur dif-
fère peu de
OT
si nous supposons celte quantité positive, les deux facteurs sont positifs. Quand T, augmente, Le terme négatif du second facteur augmente en valeur absolue et pour une certaine valeur de T, ce facteur est nul; pour une valeur plus grande, il est négatif et par suite de signe contraire au premier facteur qui reste toujours positif. La force électromotrice change par conséquent de signe en s’annulant. La théorie de sir W. Thom-
son explique donc l'existence du point d’inversion.
291. Modification de la théorie précédente. — Reprenons les équations qui servent de point de départ aux théories que nous venons d'exposer.
En premier lieu nous avons écrit que la différence de potentiel entre deux points À d’un circuit hétérogène a pour
valeur, d’après la loi de Ohm,
Ensuite nous avons admis, en étendant la loi de Joule aux
circuits hétérogènes, que la quantité de chaleur dégagée dans
PHÉNOMÈNES ÉLESTRIQUES 363
la portion considérée du circuit est A (V, — V,)idt,
ou, en tenant compte de la relation précédente, ARdt — AidiEE.
De cette dernière expression nous avons conclu que la chaleur dégagée dans le circuit est AR??4d{ quand le circuit est homogène puisqu'alors ZE est nul et que la chaleur dégagée au point qui est le siège d’une force électromotrice E à pour valeur — AEïdt.
De ces deux conclusions la première est vérifiée par l'expérience, puisqu'elle n’est autre que la loi expérimentale de
Joule ; la seconde, aü contraire, est en contradiction avec
. l'expérience. à
En effet, d’après la seconde conclusion, la chaleur dégagée à une soudure quand un courant la traverse, devrait être proportionnelle à la force électromotrice de contact dont elle est le siège. Or cette chaleur dégagée est l'effet Peltier et l’on sait que cet effet n'est nullement proportionnel à la force électromotrice de contact.
La chaleur dégagée dans un élément d'un circuit dont la température n’est pas uniforme devrait également être proportionnelle à la force électromotrice + (T) dT résultant de la variation de température d’une extrémité à l’autre de l'élément. En est-il réellement ainsi? C’est ce qu'on ne saurait dire car, si l'effet Thomson a pu être mis en évidence par l'expérience, on n’a pu jusqu'ici constater l'existence des forces
électromotrices qui lui donnent naissance. En tout cas, il est
présumable, d’après ce qui se produit aux soudures, que l'effet Thomson n’est pas proportionnel à ® (T) aT.
Quoi qu’il en soit, les expériences faites sur l'effet Peltier suffisent à montrer que la loi de Joule, qui n'est démontrée expérimentalement que dans le cas des circuits homogènes, peut se trouver en défaut quand on l’étend aux circuits hétérogènes. La théorie de sir W. Thomson s'appuyant sur les conséquences de cette loi peut donc être inexacte ; en tout cas
elle n’est pas rigoureuse.
292. Reprenons donc cette théorie et montrons que cette nouvelle difficulté n’en change pas les conclusions.
Désignons par E;, — Ei, CL D EE ÿ" (T) dT
les forces électromotrices de contact et les forces électromotrices élémentaires résultant de la variation de température d’un point à un autre ; nous aurons pour la force électromo-
trice du couple Bi —Bi+ ff (mn —#mar.
Si nous continuons à désigner par — AE,idl, + AE,idt les quantités de chaleur dégagées aux soudures, et par Aiïdte (T) aT, Aidt4 (T) aT
les quantités dégagées dans un élément du métal A et un
élément du métal B, tout ce que nous avons dit dans les pa-
ragraphes 288 et 289 reste exact. Par conséquent, en admet-
tant que + et 4 sont proportionnels à T, nous aurons encore
ë (PB, ÆE, + fisir )—4{T}) dT=a(T,—Ti)— 5 (T?—T
= 0) Leur .
Appelons E, la force électromotrice de la machine d'induction intercalée. Le travail produit alors est E,idéet par conséquent la somme des quantités de chaleur dégagées dans le
circuit doit être équivalente à ce travail; nous avons donc AE,idt — AEjidt — Aidt dB +
Aidi LE = DD AT AR
, — s Ti C . 7.
@) E—B+/fle(0) —ÿ(aT =R+HE,.
Si nous partons d'un point du circuit et si nous revenons en ce point après avoir décrit le circuit entier la différence V,— V, entre le potentiel du point de départ et celui du
point d'arrivée est nulle; par conséquent la loi de Ohm donne
ou
Ces égalités (2) et (3) nous montrent que le premier membre de l'égalité (1) est égal à la force électromotrice de la pile. Nous arrivons donc au même résultat que précédemment.
Mais quelle relation y a-t-il entre la force électromotrice E’
en un point et le quotient E de la chaleur dégagée en ce point
par Aidt? Les considérations précédentes ne peuvent nous le dire: les égalités (2) et (3) ne nous apprennent qu'une chose:
c’est que dans un circuit fermé on à Di = Di
Des nombreuses théories proposées pour trouver la relation entre E et E’ nous n’exposerons que celle de M. Duhem qui est celle qui laisse le moins à désirer. Nous verrons qu'elle soulève encore quelques difficultés et la discussion que nous
en ferons montrera qu’elle reste douteuse.
IT. — Tuéorte DE M. Dune»
293. Potentiel électrostatique. — Des recherches expérimentales de Coulomb il résulte que deux corps électrisés dont les dimensions sont très petites par rapport à la distance r qui les sépare exercent entre eux une force
dqdq ER RC
dq et dg' représentant les charges électriques des deux corps, la mesure de ces quantités étant effectuée au moyen d’une unité convenablement choisie.
Pour une variation dr de la distance le travail de cette
force est
ou
Par conséquent le travail des forces électriques qui s’exercent entre les diverses molécules d'un système électrisé lorsque ce système subit une transformation ayant pour effet de faire
varier de dr la distance de ces molécules est
ee)
l'intégrale étant étendue aux combinaisons distinctes des molécules prises deux à deux. On peut encore écrire ce travail
aptes
dq et dg' désignant les charges de deux molécules quelconques et l'intégration étant maintenant étendue à toutes les molécules du système.
Posons
ru dqdq".
le travail des forces électriques pour une transformation
élémentaire du système a alors pour expression — dW.
Cette fonction W, ainsi définie, est appelée l'énergie électrostatique du système.
Elle peut se mettre sous une autre forme. En effet le poten-
tiel du système étant
l'énergie électrostatique peut s’écrire
LCR W =; f Va.
294. Systèmes formés de conducteurs homogènes. — Considérons un système formé de conducteurs électrisés homo gènes. Si nous lui faisons subir une transformation quimodifie les charges et les positions dans l’espace des conducteurs, sans altération de la forme, du volume, de l'état physique ou chimique et de la température de ceux-ci, et sans qu'il y ait échange d'électricité entre deux conducteurs de nature différente, la différence U — AW et l’entropie S du système restent constantes.
Pour démontrer celte propriété supposons d'abord que les conducteurs du système changent de position dans l’espace, mais conservent la même distribution électrique.
Si nous appliquons à chacun des conducteurs une force égale et contraire à la résultante des forces électriques auxquelles il est soumis, la vitesse de ces corps est constamment nulle pendant la transformation ; par suite, l'accroissement de force vive du système est nulle. Le principe de la conservation
de l'énergie donnera donc dU = dQ + Ar.
Les forces extérieures appliquées aux conducteurs étant
égales el contraires aux forces électriques, leur travail est égal à celui de ces dernières changé de signe. Le travail +
fourni au système pendanl la transformation est donc
+ dW ;
par conséquent
dU = dQ + AW, ou
4 (U — AW) — dQ.
Mai:, dans les conditions où elle s'effectue, la transformation
est réversible ; par suite,
dQ Or il n'y a aucune production ou absorption de chaleur puisque nous supposons que la distribulion électrique sur les conducteurs ne change pas ; dQ est donc nul. Les égalités
précédentes montrent qu'alors U — AW et $ ne varient pas.
