DU F

Ga désigne la dérivée d'un paramètre quelconque, variant rapidement ou lentement. Mais, pour ces derniers, g, est très petit et les termes qui leur correspondent peuvent être négligés ; il n° reste donc dans le second membre que le terme

correspondant au paramètre p ; par suite,

D’après la relation (10), on a pour dQ GUEQUS.

Par conséquent

==. — 24 Logs ;

le quotient considéré est donc bien une différentielle exacte.

318. Systèmes incomplets. — Helmholtz divise les systèmes polycycliques ou monocycliques en deux classes: les systèmes complets ou les systèmes incomplets. Ces derniers sont ceux pour lesquels le travail — P,dp, correspondant à une variation différente de zéro de l’un des paramètres p, est égal à zéro.

Pour ces systèmes on aura, d’après l'équation (11), autant d'équations dH Da

qu'il y a de paramètres p, jouissant de la propriété précédente. Nous désignerons par p. Ces paramètres. La fonction H ne dépendant pas des paramètres à variation rapide p, d’après l'hypothèse de Helmholtz, et les dérivées g, pouvant être négligées, les équations analogues à (14) peuvent être considérées comme des relations entre les paramètres p,, les paramètres p, et les dérivées g,. Puisqu’elles sont en même nombre que les paramètres p., nous pourrons nous en servir pour exprimer ces paramètres en fonctions de p, et de g,. Ces paramètres ne sont donc pas nécessaires pour définir la situation du système ; les paramètres p, (déduction faite de ceux que nous venons de désigner par p.) et les paramètres p, suffisent pour cela.

Les équations seront-elles changées quand on prendra seulement comme variables indépendantes les paramètres Pa et Po é

Appelons H' l'expression de H, dans ces conditions ; H' dépend des », et des g,; H dépend des p,, des p. et des gs.

Comme H' et H désignent une seule et même fonction

RÉDUCTION DES PRINCIPES DE LA THERMODYNAMIQUE 403 exprimée avec des variables différentes, nons aurons HE

Prenons maintenant les dérivées de ces fonctions par rap-

port à p, ; nous avons

ad’ dH dH apr dpa dpa 4 dpedpu

Or, d'après la relation (14),

EEE bee

par conséquent aW'dH, APa da

Les équations de Lagrange relatives aux paramètres à variation lente conservent donc la même forme : la forme (11).

Prenons la dérivée par rapport à g,; nous avons

dps dqr dpe dqv”

et, par suite, pour la mème raison que précédemment,

an" di, dd Aa aq

De cette égalité et des égalités (6) il résulte immédiatement que la fonction s, reste la même, soit que les paramètres p, entrent explicitement dans le nombre de ceux qui définissent la situation du système, soit qu’ils n’en fassent pas partie.

Par conséquent, dans un cas comme dans l’autre, les équa-

404 THERMODYNAMIQUE tions de Lagrange relatives aux paramètres à varialion rapide

sont de la forme (10) aQs —= quads.

La forme des équations restant la même, il est évident que

dans le cas d'un système monocyclique le facteur j, sera un

facteur intégrant de 4Q.

319. Les systèmes incomplets ne diffèrent donc que peu des systèmes complets. Toutefois il est une propriété importante qui les distingue.

L'énergie cinétique Lest en général une fonction homogène du second degré des 9, et des g,; elle dépend en outre des paramètres à variation lente. Or nous venons de voir que dans lessystèmes incomplets une partie de ces paramètres, les paramètres p., sont des fonctions des 9, et des p,. Par conséquent, si nous remplaçons dans L les p. par leurs expressions en fonctions des g,, L cessera d'être du second degré par rapport au g,; elle pourra donc être d’un degré impair par rapport à ces dérivées et, par suite, d'un degré impair par rapport au temps. Nous verrons bientôt l'importance de celte remarque.

L'exemple le plus simple que l'on puisse citer est celui d'une poulie sur l'axe de laquelle est monté un régulateur à force centrifuge. Quand la vitesse de la poulie augmente, les boules du régulateur s'écartent et le moment d'inertie du système augmente.

La force vive n’est donc pas proportionnelle au carré de la vitesse angulaire, puisqu'elle est égale au produit de ce carré

par le moment d'inertie variable avec cette vitesse.

320. Application aux phénomènes calorifiques. — Admettons avec Helmholtz que les paramètres p; se rapportent aux mouvements moléculaires dus à la chaleur et les paramètres p, aux mouvements visibles du système.

Par suite de cette distinction entre ces divers paramètres

l'équation

AU = — Ep,dp, du $ 313 devient dU = — Ep,dp, — Ep;dp, ou AU = — Ep,dp, + EdQ,.

Ainsi d'après celte relation la variation de l'énergie interne est égale à la somme changée de signe des travaux extérieurs Ep,dp, des mouvements visibles et des travaux extérieurs — XdQ, des forces moléculaires. Comparons cette expression de AU à celle qui nous est fournie par le principe de l’équivalence: la variation de l'énergie interne, exprimée en unités mécaniques, est la somme du travail et de la chaleur dO, exprimée avec les mêmes unités, qui sont fournies au système. On voit que les deux énoncés deviennent identiques si on admet que

dQ = >2dQ,,

c'est-à-dire si l'on admet que le travail extérieur des forces moléculaires changé de signe est équivalent à la chaleur fournie au corps pendant la transformation. Le principe de l’équivalence se ramène donc aux principes genéraux de la mécanique, si l'on considère les corps formés de molécules

agissant l’une sur l'autre. Nous le savions déjà.

321. Considérons maintenant un système monocyclique. Nous savons que dans ce cas

Des différentielle exacte.

Mais dQ, n'est autre que la chaleur exprimée en unités mécaniques fournie au système, puisque pour un système monocyclique EdQ, se réduit à dQ,. Il suffit donc, pour se rendre compte du principe de Carnot, de supposer que la température du système est proportionnelle à l'énergie cinétique L. Comme d’ailleurs les termes de cette énergie qui contiennent 9, sont négligeables, cette énergie peut se confondre avec l'énergie cinétique moléculaire.

Est-il possible d'admettre que la température absolue d’un système est proportionnelle à l'énergie cinétique moléculaire ? ‘La théorie cinétique des gaz montre qu'il en est ainsi pour ces corps. La théorie de Helmholtz, comme on va le voir, nous obligerait à admettre qu’il en est encore de même pour tous les autres corps.

Posons, d’après le principe de Carnot considéré comme

. démontré expérimentalement,

(16) = = dS,

S étant ici le produit de l’entropie par l'équivalent mécanique de la chaleur. Puisque dQ — dQ,, dS et la différentielle (15) s’annulent en même lemps. Celte dernière est donc une fonc-

tion de S ; posons

Nous en tirons

dQ;

et par suite

Pour déterminer 6 considérons deux systèmes pour lesquels les quantités L et S auront respectivement pour valeurs L, es Dielos

Nous supposerons que les deux systèmes sont à la même température T. Cela est nécessaire puisque nous ne voulons considérer pour le moment que des phénomènes réversibles.

Nous aurons alors L, =T0,(S,), Ly =T 6,(S2).

Les valeurs de ces quantités pour l’ensemble des deux sys-

tèmes seront L, + L, et S, + S,. Nous aurons donc L,+L, =TO{S, +S:) et par conséquent 6, (Si) +0, (S2) = 03 (Si + S2).

Dérivons par rapport à S, les deux membres de cette éga-

lité ; nous obtenons

64 (Si) = 0; (S4 + So)

et en dérivant de nouveau par rapport à S;