CHAPITRE V

64. Expression du travail extérieur produit par un fluide. — Nous avons montré ($ 33) par un raisonnement très simple que le travail extérieur accompli par un fluide qui se détend dans un corps de pompe est égal à pd». Donnons-en une démonstration qui ne suppose pas le fluide enfermé dans un corps de pompe.

Soit p la pression, supposée uniforme, du corps considéré ; la pression extérieure qui s'exerce sur la surface de ce corps doit lui être égale car autrement il n'ÿ aurait pas équilibre. Evaluons le travail de ces forces extérieures, travail qui est égal et de signe contraire au travail extérieur effectué par le corps, en vertu du principe de l'égalité de l’action et de la réaction.

Prenons un élément dw de la surface du corps, désignons par «, $, y les cosinus directeurs du segment de la nor-

male à cet élément extérieur au corps, et par Ë, n, 6, les com-

posantes du déplacement de l'élément. Le travail de la force

extérieure agissant sur cet élément sera — pdw (aë + Bn + vè).

Pour la surface entière, on obtiendra

nm: ft + fn + vo) de. Or on sait que, dr désignant pour un moment un élément de volume, fat — e Che da

par conséquent l'expression précédente du travail peut

s'écrire

dE da OC me e 4 dy JE a).

IL est facile de démontrer, et nous le verrons plus loin |74) que la quantité entre parenthèses est la variation de volume rapportée à l'unité, c’est-à-dire 7 > par suite le travail des forces extérieures a pour expression

do do — ee

L'intégrale représente le volume total du corps considéré ; son quotient par le volume spécifique est donc la masse M du

corps ; il en résulte, pour l'expression du travail, — Mpde. Par

conséquent le travail extérieur d’un fluide rapporté à l’unité de masse est

dr — par.

65. Détermination de E au moyen des chaleurs spécifiques des gaz. — Considérons un gaz placé dans un corps de pompe fermé par un piston. La quantité de chaleur absorbée par l’unité de poids de corps dans une transforma-

tion quelconque est (25)

et le travail extérieur produit par le gaz a pour valeur pdv.

Nous avons donc Le GA aT AU = dQ + Ade = (G 5 — Ap) do + 6 D dp.

Si nous supposons que le gaz considéré obéit aux lois de

Mariotte et de Gay-Lussac, la relation fondamentale est

Do=tR TE par conséquent

CURE Le (4). aU =(c R AP) do + € R dp.

En exprimant que cette quantité est une différentielle

exacte, il vient, en supposant que C et c sont constants,

(C € He

Ainsi l’équivalent mécanique de la chaleur se déduit facilement des chaleurs spécifiques des gaz. La quantité R qui entre dans la formule peut être évaluée avec la plus grande précision à l’aide des données actuelles ; CG est donné par les expériences de Regnault; quant à la chaleur spécifique

sous volume constant elle ne peut être mesurée directement CRE etsa valeur se déduit de celle du rapport ; qui malheureuse-

ment n’est pas connue avec une grande exactitude. Si on fait le calcul pour l’air en prenant pour G le nombre de

Regnault, 0,23741 , et pour ; le nombre 1,41, on trouve 426

pour l'équivalent mécanique; les autres gaz, azote, oxygène

et hydrogène, donnent des nombres très peu différents. Mayer, qui était arrivé à la formule (2\ par un raisonne-

ment différent du précédent (!), en tira, au moyen des don-

nées de l’époque, E — 367.

(1) Mayer raisoune ainsi : La chaleur nécessaire pour échauffer, à volume constant, 4 kilogramme de gaz est moindre que si, la pression restant constante, le gaz éprouvait une dilatation. La différence des deux quantités de chaleur doit être équivalente au travail produit par le gaz pendant la dilatation,

Il en résulte que pour une élévation de lempérature de dT on a

(O — c) dT — Apd,

dv, G—c—ApT;

mais la relation fondamentale des gaz, pu — RT donne, 1 —

; par con-

séquent C — c— AR, Remarquons que ce raisonnement revient à appliquer la formule dU = dQ + Adr

Nous avons déjà dit que dans ses dernières recherches, Sadi Carnot trouvait 370 pour l'équivalent mécanique de la chaleur ; la faible différence entre ce nombre et celui de Mayer fait supposer que Carnot l’a obtenu par la même for-

mule.

66. Expériences de Joule sur la détente des gaz. — Mais la démonstration que nous venons de donner de celte formule suppose que les chaleurs spécifiques C et c sont des constantes. Pour G celte hypothèse est vérifiée, au moins pour l'air, par les expériences de Regnault ; mais il n'en est

Ceres à pas de même pour c, puisque le rapport = qui détermine

cette dernière quantité est mal connu. D'ailleurs des expériences de M. Berthelot sur les mélanges explosifs montrent que c augmente avec la température. Pour les gaz, comme l'oxygène et l'azote, c reste sensiblement constant jusqu'à 1600° ; au-delà de cette température c est lié à la température

par une formule de la forme c—= a + ÙT

où à est un coefficient positif. Pour le chlore, c augmente à partir de 200° ; il est vrai que ce gaz s’écarle sensiblement

de la loi de Mariotlte que nous avons supposée applicable au gaz considéré. L’exactitude de la formule (2j pourrait donc

être mise en doute s’il n'était possible de retrouver celte for-

du $ 61 en supposant qu'un gaz n’éprouve aucune variation d'énergie interne quand son volume varie, Les expériencess de Joule (66) démontrèrent l’exactitule de celle hypothèse. Mais, comme le fait observer M. Bertrand (Thermodynamique, p. 66), Mayer l'avait déjà déduite des résultats obtenus par Gay-Lussac dans des expériences sur la détente des gaz dans

le vide.

mule en s'appuyant sur des expériences d'une grande précision : les expériences de Joule.

Deux récipients A et A’ sont plongés dans un calorimètre et communiquent par un robinet R{#g. 9); dans l'un, A, on comprime un gaz ; dans l’autre on fait le vide. Quand

les récipients et le gaz qui y

est renfermé sont en équi-

libre de température avec

l'eau du calorimètre, on ou-

vre le robinet R ; la température decetleeau ne varie pas.

Soient U, et U’, les valeurs de l'énergie interne des masses gazeuses contenues dans À et A’ au commencement de l'expérience ; U, et U} leurs valeurs à la fin de l'expérience ; nous

avons

DS AU EU 0 Ar

Le travail + fourni par l'extérieur est nul; les parois des récipients étant, par leur nature, inextensibles; la chaleur Q fournie est également nulle puisque la température de l’eau du calorimètre ne varie pas; enfin, on peut négliger U”,, car on a fait le vide aussi exactement que possible dans

A'. Par conséquent la relation précédente se réduit à : URUrF=U,,.

Le premier membre représente l'énergie interne du gaz quand, à la fin de l'expérience, il remplit à la fois les deux

. récipients ; le secon1 est l'énergie interne du même gaz avant

l'expérience. L'énergie interne d'un gaz ne varie donc pas quand il se détend dans le vide.

Prenons » et T comme variables indépendantes pour définir l’état de la masse gazeuse primitivement contenue dans le récipient A. Dans l'expérience de Joule, v varie mais T ne varie pas. Nous devons donc en conclure quel’énergie interne d’une masse gazeuse ne dépend pas de son volume, qu’elle ne

dépend que de sa température. C'est là la loi de Joule.

67. Souvent on exprime celte loien disant que le éravail interne d'un gaz qui se détend est nul. Cette locution est inexacte ; elle provient d'hypothèses sur la nature de la chaleur.

Nous avons vu (51) que, si on regarde la chaleur comme résultant des mouvements moléculaires ei si on suppose les actions moléculaires centrales, l’application du théorème

de la conservation de l’énergie donne la relation W+ÆVEW, HV, = const,

et, V étant négligeable dans la plupart des cas, nous avons appelé énergie interne du système la somme W, + V, des énergies moléculaires. D'autre part, il est évident que l'énergie interne ainsi définie ne doit différer que par une constante de l'énergie interne définie au moyen du principe de l’équivalence. L'expérience de Joule montrant que cette dernière ne dépend, dans le cas des gaz, que de la température, il en résulte que W, + V, ne doit être fonction que dela température.

Introduisons maintenant une nouvelle hypothèse : admettons que l'énergie cinétique moculélaire W, ne dépende que de la tempéralure des corps et que l'énergie potentielle

moléculaire V, ne dépende que de son volume. Alors, pour

que la somme W, + V, ne soit fonction que de T, il faut que V, se réduise à une constante, et, comme la variation de V, représente au signe près le travail des forces moléculaires ou #ravail interne, ce travail est nul pour les gaz. Mais l'hypothèse précédente, que l'on fait quelquefois implicitement, ne repose sur aucun fondement. Elle revient en effet à admettre que pour tous les corps l'énergie interne est la somme d’une fonction de la température et d'une fonction du volume ;or ilest évident qu'il est plus naturel de considérer l'énergie interne comme une fonction quelconque dela température et du volume. On donc doit rejeter complètement l'énoncé vicieux de la loi de Joule que l’on trouve dans plusieurs traités classiques et s'en tenir à celui du paragraphe

précédent.