LOI
3 (Li? + 2Mié, + Ni) M étant le coefficient d’induction mutuelle des deux circuits, Let N les coefficients de self-induction de chacun d’eux. Si les courants sont variables et si les conducteurs se déplacent ou se déforment, l'énergie électrokinétique varie et sa variation AT représente la variation de l'énergie interne du système. Pour vérifier le principe de la conservation de l'énergie il faut donc vérifier que dT est égal à la somme de toutes les énergies que reçoit le système.
D'abord les conducteurs produisent un travail extérieur
dont la valeur est
(i?dL + 2ii,dM + 24N).
Il y a en outre une certaine quantité de chaleur dégagée dans les conducteurs ; cette quantité, exprimée en unités
mécaniques, est, d’après la loi de Joule, R,ifdt LH R,iat.
Enfin il y a de l'énergie voltaïque fournie au système par les
VÉRIFICATIONS DE LA CONSERVATION DE L'ÉNERGIE 99 piles; cette énergie est Eji,dt + Li,dt en appelant E, et E, les forces électromotrices des deux piles Nous devons donc vérifier l'égalité AT = — 3 (e?dL + 25, dM + 234N) — (R,ifdt + R,13dt) + Ei,dt + Eat.
Or on sait que la force électromotrice d’induction développée dans l’un des circuits a pour expression fee ; — (Li + M); par conséquent le produit R,i, qui, d'après la loi de Ohm, est égal à la force électromotrice totale, à pour valeur PERS DIRE Ra —E, — Li + Mô).
Nous en déduisons E,i,dt — Rift — i,d (Le, + Mi,).
Nous aurions une égalité janalogue pour l’autre circuit, et
par suite, nous pouvons écrire l'égalité qu’il s’agit de vérifier
Fe
(i$dL + 2i,i,dM + 134N) + dd (Le, + Mi) + 2 (Mi, + Ni)
ou, en effectuant les différentiations el simplifiant,
Han aT = 5 VAL + DiisdM + 534N) + Lisdi, + Miydi, + Midi, + Ni,di,.
Or le second membre est bien l’expression de la différentielle de l'énergie électrokinétique définie par la formule {1). Le principe de la conservation de l'énergie s'applique donc
bien aux phénomènes électrodynamiques.
84. Cas des solides élastiques. — Considérons un parallélipipède rectangle infiniment petit dont les arêtes sont
parallèles aux axes de coordonnées. Soient
Pr P2: 2, Pya Pyy Pys ro pe P RE
les composantes suivant les trois axes des pressions par unité de surface qui s’exercent sur trois faces issues d'un même sommet À et normales : la première à l’axe des æ, la seconde à l’axe des y, la troisième à l’axe des z. La théorie de l’élasticité apprend que le tableau de ces neuf quantités est symétrique par rapport à sa diagonale; en d’autres (ermes, que ces neuf quantités se réduisent à six.
Supposoas que le parallélipipède subisse une déformation et évaluons le travail des pressions qui s’exercent sur toutes ses faces.
Les coordonnées x, y, z du point A deviennent après la dé-
formation C'EST A) en rl
par conséquent le travail de la pression sur la face normale
à l’axe des æ et passant par À est
(Prxré + Pryn + Prst) dydz.
Les coordonnées du point correspondant à A sur la face opposée du parallélipipède sont, avant la déformation, æ + dx,
y, z; et, après la déformation,
æ + + + É de, 3 y+n + dr, à HET dr;
le travail de la pression sur cette face est donc
—[P (++ (rt am) +Pa(rT de) jevs.
La somme de ces travaux est
/ de dn dt (Pre 2 as Pi A + P;: TR TE Jasdyds.
Nous obtiendrons deux autres expressions analogues pour les faces perpendiculaires aux axes des y et des z.
Additionnons ces trois expressions et remplacons le produit da dy dz par son égal vdm, v étant le volume spécifique au
point A et dm la masse du parallélipipède, nous avons d£ d'n DCE Fe P2È+ da Puy dy A . de + Pay ci «A
dé dd , dn At P(7 ra a) + PAT qu D) Jean.
L'intégrale de cette expression étendue à l’espace occupé par le corps donnera le travail total des forces extérieures pendant la déformation.
Remarquons que si le corps est isotrope, on a
RD D, PR Re 0"
par conséquent l'expression précédente du travail des forces
extérieures se réduit alors à
NAME — ÿ Fe “À 5 + Tram
ou
—) . vdm = — pdidm
Nous retrouvons donc, comme au $ 64, — pd» pour le travail
des forces extérieures rapportées à l'unité de masse.
85. Mais, quoique dans le cas des solides l'expression du travail soit plus complexe que dans le cas d’un fluide en équilibre, le principe de la conservation de l'énergie n’en est pas moins vérifié. L'expérience montre en effet que, si le solide s'échauffe par suite de la déformation, la variation d'énergie. interne résultant de cet échauffement est égale au travail des forces extérieures pendant la déformation.
Ainsi prenons l’expérience d'Edlund. Un fil métallique vertical maintenu par son extrémité supérieure est d’abord étiré par une force p agissant à son extrémité inférieure ; il est -ensuite ramené à sa longueur primitive en supprimant l’action de cette force. Si « est l'allongement du fil pendant la première phase de l'expérience, le travail des forces extérieures est pe. Pendant celte phase, le fil se refroïdit par suite de l'allongement ; pendant la phase suivante, il s’échauffe. De ces deux phases résulte un échauffement. Dans une troisième -phase le fil se refroidit en cédant de la chaleur à l'extérieur par conductibilité et revient ainsi à son état primitif, sa température et sa longueur étant redevenues les mêmes. La quan-
Aité de chaleur àQ ainsi cédée à l'extérieur a pour valeur aT,
a étant la capacité calorifique du fil que l’on déduit de ses dimensions et de sa chaleur spécifique et 3T l'excès de la température à la fin de la seconde phase sur la température initiale, excès qui est mesuré au moyen d’une pince thermo-
électrique. Le fil ayant décrit un cycle fermé, on doit avoir E5Q = pe.
C’est ce qui a lieu, car si on calcule E au moyen de cette relation, on trouve des nombres très voisins de ceux de Joule et M. Rowland; pour le laiton, par exemple, on a 428,3.
On remarquera que dans cette expérience nous sommes placés dans un cas où la pression n'est pas la même dans tous les sens. Un élément de volume du fil est soumis en effet à une tension considérable dans le sens vertical et à une
pression sensiblement nulle dans le sens horizontal.
86. Cas des fluides pesants en mouvement. — Dans ce cas la pression en un point à la même valeur, quelle que soit la direction de l'élément sur laquelle elle s’exerce ; mais elle n’est pas la même en tout point du fluide. |
Soit p la vaieur de cette pression sur un élément de la surface du fluide; «, 8, y, les cosinus directeurs du segment de la normale à cet élément extérieur au fluide. Soient x, y, z les coordonnées du centre de gravité de l'élément au temps #; æ LE, y +n, z +, les coordonnées de ce même centre de gravité au temps £ + dé, de sorte que
: da (s 7 dé, etc
Le travail des pressions extérieures sur cet élément est
— plu (aë + En + v9)
et le travail de ces forces sur toute la surface du fluide,
dr = — fp (uë + En + xd) do.
Ev appelant dg la quantité de chaleur reçue de l'extérieur, par conduclibilité ou rayonnement, par l'unité de masse du
fluide, la quantité dQ reçue par le fluide tout entier est
1) dQ = ‘à dadm,
dm étant la masse d’un élément de volume.
De même en désignant par w l'énergie interne rapportée à
l’unité de masse, nous avons pour l'énergie interne U de tout
le fluide U = f'udin.
Les forces extérieures sont de deux sortes :
1° Les pressions extérieures dont le travail dr a été évalué plus haut;
2° La pesanteur dont le travail — dV est la différentielle d’un certain potentiel V qu'il nous reste à évaluer.
On en obtiendra la valeur, à une constante près, en multipliant le poids du fluide par la distance de son centre de gra-
vité au plan des æy supposé horizontal ; par conséquent
M} = [ gsdm.
Enfin l'énergie cinétique sensible a pour expression
TOM A EURO NS -f# a Are LE
87. Écrivons les équations du mouvement du fluide. Si le fluide était en repos, nous aurions, d'après les équations fondamentales de l'hydrostatique, dp dp dp — —= pX — = pŸ — —= 07 da Ô dy Er Le Xdm, Ydm, Zdm étant les composantes suivant les axes des forces extérieures agissant sur l'élément dm. Par conséquent les équations du mouvement seront, d’après le principe de d’Alembert
Gp d?s line Se de?
D y dy dy 7 Par dp (LR 7 = pZ QRRTE)
1 : D ou en remplaçant o par = et remarquant que, le fluide n'étant
soumis qu’à l’action de la pesanteur, X = Y —0, Zdm——gdim, C3 CE da de?
dp dy dy de?
ap 04 dz ae ÿ
