MT — MT

m et m étant les masses du corps qui se transforme dans l’une et l’autre de ces machines. La quantité de chaleur prise à la

source chaude a pour valeur

mQi — mQ,,

LE PRINCIPE DE CARNOT-CLAUSIUS 111 et celle qui est cédée à la source froide mQs — mQ.

Nous pouvons choisir les masses » et m' de manière que la chaleur empruntée à la source chaude soit nulle, (2) mQ; — mQ, —0; alors de cette égalité et de l'inégalité (1) il résulte MNT MT 0,

c’est-à-dire que la machine formée par l’accouplement de M et M’ produit un travail positif.

98. Jusqu'ici nous n'avons rien changé à la démonstration de Carnot. Continuons-la en introduisant le principe de l’équivalence.

Le corps qui se transforme dans M empruntant une quantité Q, à la source chaude, mais en cédant Q, à la source froide, ne reçoit en réalité de l'extérieur qu’une quantité Q, — Q, par unité de masse. Le travail extérieur correspondant produit pendant cette transformation est +. Par conséquent,

d’après le principe de l’équivalence, 0:02 —-"AT Nous aurions de même GONE

De ces deux égalités nous déduisons, en tenant compte de

la relation (2), M); — m0, = — À (mr — mr).

Par conséquent, d’après la conclusion précédente, la chaleur

cédée à la source froide est négative ; en d’autres termes, la machine emprunte de la chaleur à la source froide.

La source froide ne revenant pas à son état primitif, nous ne pouvons dire, comme au $ 41, que la production de travail positif par la machine considérée soit incompatible avec le principe de l'impossibilité du mouvement perpétuel.

Tout ce que nous pouvons déduire du résultat précédent, c’est que : si le principe de Carnot est faux, 27 est possible de produire indéfiniment du travail en empruntant de la chaleur

à une source froide.

94. Nous pourrions conduire autrement le raisonnement et nous serions amenés à une conclusion aussi peu acceptable que Ja précédente.

Ainsi supposons que #2 et »m soient tels que A 2 MT — MT = O,

c'est-à-dire que le travail de la machine résultant de l'accouplement de M et de M’ soit nul. Alors de cette égalité et de

l'inégalité (1) on déduit mQi — mQ, < 0.

D'ailleurs l’application du principe de l’équivalence donne,

puisque le travail produit est nul, mQ; — mQ, = mQ; — mQ,.

La quantité de chaleur emprnntée à la source chaude est donc négative el égale en valeur absolue à la quantité cédée à la source froide qui est aussi négative ; en d’autres termes, il y à une certaine quantité de chaleur empruntée à la source

froide et une égale quantité cédée à la source chaude.

Nous arrivons donc à cette conclusion: si le principe de Carnot est faux, & est possible de transporter de la chaleur d'un corps sur un corps chaud sans dépense de travail el sans

aucune modification du corps qui se transforme.

95. Principe de Clausius. — La négation de la possibilité d’un transport de chaleur dans ces conditions constitue le principe de Clausius: Z{ est impossible de lransporter direclement ou indirectement de la chaleur d'un corps froid sur un corps chaud à moins qu'il n'y ail en même lemps destruction de travail ou transport de chaleur d'un corps chaud sur un corps froid.

Ce principe paraît confirmé par tous les faits expérimentaux; si on l'admet, il résulte de la démonstration précé-

dente que l'on ne peut avoir

ss OO,

On ne peut avoir non plus eee 0220, car si on reprend la démonstration en considérant la machine formée par l’accouplement de M, marchant dans le sens direet, et de M’, marchant dans le sens inverse, celte inégalité conduit encore à une conséquence en contradiction avec le principe de Clausius. Les rendements des deux cycles de Carnot considérés doivent donc être égaux ; nous retrouvons le théorème de Carnot.

C'est le principe de Clausius qu'on prend généralement

aujourd’hui comme second principe de la thermodynamique.

Le théorème de Carnot étant une conséquence presque immédiate de ce principe, Clausius, avec une modestie qui lui fait honneur, lui donna le nom de Principe de Carnot, bien qu'il

l'eût énoncé sans avoir connaissance des travaux de Sadi-

Carnot.

96. Les objections de Hirn. — L'énoncé primitif de €Clausius quoique identique, dans le fond, à celui que nous venons de donner, n’était pas aussi explicite ; Clausius disait : La chaleur ne peut passer d'elle-même d'un corps froid sur un corps chaud. Hirn essaya de montrer que, dans certains cas, ce principe est en défaut. Exposons et réfutons en même temps les objections de Hirn.

Considérons un cylindre ABCD {#g. 11) contenant un piston

EF de part et d'autre Guquel se

trouvent deux masses gazeuses à des températures différentes T, et

T,. Supposons le piston et les

parois du cylindre autres que la

paroi AB imperméables à la chaleur, et admettons que la paroi AB soit en contact avec un corps à une température T} plus grande que T, mais plus petite que T,. Ce corps cède de la chaleur au gaz enfermé dans ABEF ; par suite ce gaz prouve une dilatation et pousse le piston EF; il en résulte une compression adiabatique du gaz enfermé dans l'enceinte EFCD imperméable à la chaleur, et, par conséquent, une élévation de température de ce gaz. Ainsi de la chaleur a été transportée d'un corps à la température T/ à un gaz dont la température T, est plus grande

que T,.

Mais ce transport de chaleur n’est pas en contradiction avec le principe de Clausius. La chaleur est passée, il est vrai, du corps froid au corps chaud; mais il y a eu en même lemps passage de chaleur du corps dont la température est T; au gaz dont la température est T,, c'est-à-dire d'un corps chaud sur un corps froid. Il est vrai que Hirn supposait T} infiniment peu supérieur à T,; mais que la différence T;j — T, soit infiniment petite ou finie, elle existe et, si eile est infiniment petite, l'échange de chaleur, ainsi que la dilatation et la compression des deux gaz, s'arrêtera dès que T, sera devenu égal à T}, c’est-à-dire au bout d'un temps infiniment petit. La quantité de chaleur cédée sera de même ordre de gran-

deur que la différence T{ — T,.

97. Passons à la deuxième objection de Hirn. Prenons deux cylindres A et B de même section (fig. 12) dans lesquels se meuvent deux pistons liés de telle sorte que l’un s’abaisse d’une quantité égale à celle dont l'autre s'élève. Ces deux cylindres sont

imperméables à la chaleur et sont reliés

par un canal de communication qui laisse passer la chaleur.

Supposons le piston du cylindre B au bas de sa course, le cylindre A rempli d’air à 0° et le tube de communication chauffé à 100°. Si nous soulevons le piston B, l'air à 100° contenu dans ce tube passe dans le cylindre B et est remplacé par une portion de l’air froid de A. Cet air froid se dilate et comprime l'air contenu dans les deux

cylindres ; la température de l'air de À devient plus grande

que 0°, celle de l'air de B plus grande que 100°. Si nous continuons à soulever le piston B, une nouvelle quantité d'air à 100° pénètre dans B et en même temps une cer taine quantité d'air froid de A s’échauffe à 100° dans le canal de communication; une nouvelle compression se produit et la température s'élève dans chacun des cylindres. Le calcul montre que, lorsque le piston À est au bas de sa course, la température de l'air dans B est 120°. Ainsi, dit Hirn, on à pu échauffer de l'air jusqu'à 120° avec une source à 100 sans qu'il y ail eu de travail dépensé puisque le piston À s’est abaissé d'une quantité égale à celle dont B s’est élevé.

Mais cette objection est aussi facile à réfuter que la précédente. Il y a encore passage de la chaleur d'un corps chaud sur un corps froid: de la source qui maintient le tube de communication à 100° au gaz froid qui s'écoule de A. Une portion de celte chaleur sert à échauffer ce gaz ; une autre est employée à élever la température du gaz déjà passé dans B. Ainsi il y a simultanément transport de chaleur d'un corps chaud sur un corps froid et transport de chaleur d’un corps froid sur un corps chaud, ce que ne contredit pas le

principe de Clausius.

98. Si l'on faisait l'expérience inverse, c'est-à-dire si l'on faisait passer l'air à 120° du cylindre B dans le cylindre A à travers le tube de communication maintenu à 4100° on trouverait que, lorsque le viston B est au bas de sa course, la température du gaz est redevenue 0°. Au premier abord, il semble encore que la chaleur est passée d’elle-mêine d’un

corps froid à un corps chaud: du gaz dont la température

finale est 0° à la source dont la température est 100° En réalité, il y a eu en même temps passage de chaleur du gaz à 120° du cylindre B à la source, c'est-à-dire d'un corps chaud à un corps froid.

Les objections de Hirn ne résistent donc pas à la critique. Il n’en pouvait être autrement.

Hirn aurait pu par des expériences nouvelles montrer que les lois auxquelles satisfont les gaz ne sont pas celles qui sont généralement admises, il pouvait même ainsi réfuter le principe de Clausius, mais il n’a pas opéré ainsi ; il a, sans faire aucune expérience nouvelle, raisonné sur les gaz parfaits en leur appliquant les lois classiques de Mariotie et de Gay- Lussac, ainsi que les lois de Regnault sur la constance des chaleurs spécifiques. Or nous verrons que ces lois entraînent comme conséquence le principe de Carnot. Il était donc illu-

soire d'y chercher la réfutation de ce principe.

99. Éroncé à l’abri des objections précédentes. — Imaginons un système soustrait à toute action extérieure et composé de n corps, À,, A,, .…. À,, dont l’état ne dépend que de deux variables indépendantes, la température T et le volume spécifique ». Supposons que la température T, du corps A, soit plus élevée que la température T, de A, et faisons subir au système une transformation qui l’amêne à l’état suivant: tous les corps du système, sauf À, et AÀ,, sont dans leur état inilial ; les volumes spécifiques de A, et A, ont la même valeur qu'avant la transformation. Dans ces conditions, £/ est impossible que À, se soit échauffé et que À, se soit refroidi. Tel doit être l'énoncé du principe de Clausius pour être à

l'abri de toute objection.

Ainsi cet énoncé suppose trois restrictions : 1° le système est isolé, c’est-à-dire qu'il n’emprunte, ni cède de chaleur à l'extérieur, qu'il n’accomplit aucun travail extérieur positif ou négatif; 2 tous les corps du système, sauf deux, reviennent à leur état primitif; en d’autres termes, décrivent des cycles fermés ; 3° les deux autres corps reprennent leur volume spéfique initial.

Cette truisième restriction est moins importante que les deux premières ; il est cependant nécessaire de l'introduire. En effet, sans cette restriction nous pouvons comprimer adiabatiquement le corps A, et détendre adiabatiquement le corps A, ; en utilisant le travail résultant de cette détente à la compression de À, le système ne reçoit aucun travail de l'extérieur; il ne reçoit pas non plus de chaleur puisque la compression et la détente sont adiabatiques ; les deux premières restrictions sont donc satisfaites. Cependant le corps le plus chaud A, s’est échauffé par suite de la compression, le corps le plus froid À, s’est refroidi par suite de la détente. Le principe de Clausius pourrait donc se trouver en défaut dans

quelques cas si l’on négligeait la troisième restriction.

400. La nécessité de la première restriction ne fait aucun doute. Néanmoins montrons, en précisant les conditions nécessaires, qu’il est possible de faire passer de la chaleur d’un corps froid sur un corps chaud en fournissant du travail au système.

Considérons une machine thermique; soient p et w les variables qui définissent l’état du corps C qui se transforme et dont nous supposerons la masse égale à 4 kilogramme.

Quand ce corps décrit un cycle fermé le travail extérieur

produit est = | par, l'intégrale étant prise le long de la

courbe représentative de la transformation; ce travail est positif si le point représentatif se meut sur cette courbe dans le sens des aiguilles d’une montre; il est négatif lorsque la courbe est parcourue dans le sens rétrograde. D'après le principe de l'équivalence, ce travail est égal au produit dE par la quantité de chaleur fournie au corps. Si donc nous appelons Q, la quantité de chaleur fournie à C par la source chaude de la machine thermique, Q, la quantité que ce corps

cède à la source froide, nous avons (1) Q; — Q, — Ar.

Lorsque le cycle de C est compris entre les isothermes correspondants aux températures T, et T, des sources chaude et froide, la température de C est toujours inférieure à T, ; ce corps ne peut donc céder de la chaleur à la source chaude, il ne peut que lui en prendre; par suite Q, estnécessairement positif quelque soit Le sens dans lequel le cycle est décrit. Pour des raisons analogues Q, est positif. On ne peut donc dans ces conditions emprunter de la

chaleur à la source froide pour

la porter sur la source chaude,

Fig. 13.

même lorsque, le cycle étant décrit dans le sens rétrograde, on fournit du travail au système. Mais supposons la courbe représentative des transforma-

tions du corps C formée de deux adiabatiques AD et BC (#g. 13)

réunies par des arcs de courbe quelconques comprenant entre eux les isothermes T, et T, correspondant aux sources chaude et froide. Quand le eycele est décrit dans le sens rétrograde la quantité de chaleur que le corps abandonne pendant la transformation BA peut être supposée cédée à la source chaude puisque celle-ci est à une température inférieure au corps ; par conséquent la quantité de chaleur Q, empruntée à la source chaude est alors négative. La quantité de chaleur absorbée par le corps pendant la transformation DC peut être supposée empruntée à la source froide dont la température T, est supérieure à celle du corps; par suite Q, est négatif. Dans ces conditions, de la chaleur est empruntée à la source froide et {ransportée à la source chaude. D'ailleurs puisque + est négatif la relation (1) montre que Q, est plus grand, en valeur absolue, que Q, ; la quantité de chaleur transportée à la source chaude est donc plus grande que

celle qui est prise à la source froide.

101. Autre énoncé du second principe de la thermodynamique. — On énonce quelquefois ce principe sous la forme suivante : Zlest impossible de faire fonclionner une machine thermique avec une seule source de chaleur.

De cet énoncé et de la conclusion du $ 93 il résulte que (4

le coefficient économique Fe d’un cycle de Carnot ne peut

. : Ce à être plus grand que le GONE d'un cycle de même [ genre fonctionnant entre les mêmes limites de température. T

Le coefficient = du second cycle, qui est aussi un cycle de

Carnot, ne peut pour les mêmes raisons être plus grand que

mé

+ Ces deux coefficients sont donc égaux ; par suite le théo-