Considérons deux corps GC et C’ qui se transforment
entre les mêmes sources de chaleur en décrivant des cycles K
et K’, le premier dans le sens direct, le second dans le sens rétrograde. Pour que cela soit possible, il faut que les températures satisfassent à certaines inégalités; soit T, et T, les températures des deux sources chaude et froide, T} et T;, celles des isothermes du premier cycle, T# et T° celles des
isothermes du second cyele, cn doit avoir:
Le be Ce er APS ERTe
Appelons + le travail produit par le premier corps, Q, la quantité de chaleur qu’il emprunte à la source chaude, Q, celle qu'il cède à la source froide et désignons par —+,—Q,, — (; les valeurs des mêmes quantités qui correspondent au second cycle. Nous allons démontrer que l’on a
T T ü to
Prenons une machine M fonctionnant dans le sens direct suivant le cycle K et associons lui une machine M’ fonctionnant dans le sens rétrograde, suivantle cycle K’. Sim ets sont les masses des corps CG et C’ qui se transforment dans ces machines nous aurons pour la chaleur empruntée à la
source chaude par leur ensemble, mQ, — mQ,,
Les quantités Q, et Q{ étant positives {S 106), nous pouvons prendre pour #» et m' des valeurs telles que cette quantité soit nulle. Mais alors le travail produit par les deux machines mx — m7 ne peut être positif, car nous aurions production
de travail avec une seule source de chaleur; il faut donc
MTL MTL NO,
Perl ou en remplaçant 7 et n° par les quantités & het — 7 qui Q, 1
leurs sont proportionnelles par suite de l'hypothèse que nous
avons faite,
Le coefficient d'un cycle décrit dans le sens direct est donc
au plus égal à celui d'un cycle dans le sens rétrograde.
416. Considérons maintenant deux cycles de Carnot K et K' définis par les quantités T}{, Ts, v{, v; pour le premier, TY, T£, vf, v? pour le second. Faisons décrire au corps C le premier cycle dans le sens direct et au corps C le cycle K, däns le sens rétrograde entre deux mêmes sourcés de chaleur dont les températures sont T, et T,. Pour que cela soit pos-
sible nous devons avoir, comme nous l’âvons déjà dit, Ti LT, Te > 1, TT, 2 < Ty
et si ces conditions sont réalisées nous aurons, d’après le pa-
ragraphe précédent, AP Toni os O0) SAT TE 00 CD
Si nous supposons que les températures des isothermes et
des sources satisfont aux inégalités Li Ti MS M ET TE et
nous pouvons décrire le cycle K dans le sens rétrograde et le
cycle K’ dans le sens direct: par suite nous avons (2) a 1) 2» V4) V3; CAE 4) 2 V4) va, C7).
La fonction 7 étant continue nous pouvons faire tendre T!
et T} vers T, et Ty et T; vers T, sans que les signes des iné-
galités (1) et (2) changent ; nous aurons donc, à la limite,
(Ts Toy V4n Vas À) KP (Ts Los Pis Vos @; FU Ta 24 04 O) > FT Ta of, 05. C,
inégalités qui ne peuvent être satisfaites simultanément que si l'on à FT os 04, 09, 0) = FT, Das vf, 02, Gi).
La valeur de la fonction j ne doit donc pas dépendre des valeurs de v, et de v,, ni de la nature du corps C; en un mot, la fonction de Carnot ne dépend que des températures T, et T, des isothermes. Nous avons vu que Carnot était arrivé à cette
conclusion bien qu’en s'appuyant sur des notions inexactes.
117. Le coefficient économique d’un cycle quelconque est au plus égal à celui d’un cycle de Carnot. — Soient K un cycle quelconque et K’ un cycle de Carnot fonctionnant entre les mêmes sources. Nous pouvons décrire le cycle K’ dans le sens rétrograde ; il suffit pour cela que les températuresT}; etT; des isothermes de ce cycle comprennent entre elles les températures T, et T, des sources. D’après le
T ref
du cycle K’. Ce dernier est égal à la
$ 115, Le coefficient économique
Qi
fonction de Carnot relative à ce cycle, fonction que nous
du cycle K est au plus
égal au coefficient
pouvons écrire f (T;, T;) puisqu'elle ne dépend que de T} et
T; ; nous avons donc
Mais nous pouvons considérer les températures des isothermes comme infiniment peu différentes de celles des sources ;
la fonction f étant continue, nous aurons à la limite
Le coefficient économique d’un cycle quelconque est done au plus égal à celui d’un cycle de Carnot dont les tempéra-
lures des isothermes sont celles des sources.
118. Expression de la fonction de Carnot. — Nous avons vu ($ 43) que l'hypothèse
de la conservation du calorique
conduisait à considérer la fonction de Carnot comme la différence f (Ts) — J(T:) de deux
fonctions d’une seule variable et nous avons
dit que cette consé-
quence élait inexacte.
Fig. 18.
Montrons-le et cherchons la valeur de cette fonction.
Considérons trois isothermes AB, CD, EF {#g. 18) correspondant aux températures T,, T,, T; et coupées par deux adiabatiques AE et BF. Soient
B D F Q, = f40, Q, = f4Q, Q, = j dQ
les quantités de chaleur qu’il faut fournir au corps qui se
transforme quand son point figuratif décrit les arcs AB, CD,
EF de ces isothermes. Pour le cycle de Carnot ABCD, nous avons
TZ —#T,, T,) Q, A 4 2) et, d’après le principe de l'équivalence O0, — 0, — Ar.
De ces deux égalités nous tirons
Q; T à "lp —2—A—A——1—A/SIT,,T Q, Q, A 41) 2)
Nous pouvons donc écrire
Pour les deux cycles CDFE et ABFE, nous aurons égale-
ment
ou, en regardant T, comme une constante,
? (Li) g (T3)
g(T,T) = Nous avons donc d’après la valeur de »,
