AM
et, puisque ces masses sont égales,
Cyr vo v,
ou, en désignant par w, ©, v la section du canal, la vitesse
du fluide et le volume spécifique en un point quelconque, + — const.
C'est l'équation de continuité.
133. Une seconde équation est donnée par le principe de la conservation de l'énergie. Les forces extéricures se réduisent aux pressions qui s’exercent sur les surfaces du fluide ABCD et à la pesanteur. J'appelle dx le travail de ces pressions et — dV celui de la pesanteur. Il est clair que dV est une différentielle exacte. On a alors, en conservant aux lettres E, Q,U et W la même signification que dans les chapitres pré-
cédents, (4) EdQ — dr — EdU + dV + dW
Évaluons chacune des quantités qui entrent dans cette relation.
La différentielle dV est donc égale à la variation de l'énergie potentielle due à la pesanteur, A l'instant £ cetle énergie est la sorume de l’énergie du fluide occupant le volume ABA'B' et de celle du fluide occupant le volume A’B'CD ; à l'instant t + dt elle se compose de l'énergie du fluide occupant le volume A'’B'CD et de celle du fluide occupant le volume CDCD”. Si donc nous appelons z, la distance du centre de gravité de la masse ABA'B° au-dessus d'un plan horizontal pris pour plan des æy et par +, la distance du centre de gravité du
volume CDC'D" au-dessus de ce même plan, nous avons,
AN = gdm (24, — z,).
La variation ZW de la demi-force vive est
9 2 ee pi ?0 dW = dm sou dm o ou enr. < AN (oi 68).
Quant à la variation de l’énergie interne elle a pour expression
dU = din (U, — U,)
en appelant U, l'énergie interne rapportée à l'unité de masse du fluide occupant le volume ABA’B'et U, la valeur de la
même quantité pour le fluide occupant le volume CDCD'.
134. Évaluons le travail dr des pressions extérieures. Les seules pressions qui produisent du travail sont celles qui s’exercent sur AB et sur CD. Si p, et p, sont les valeurs respectives de ces pressions par unité de surface, le travail ré-
sultant du déplacement de AB est PoSoPoËt = PovodM, et celui qui résulte du déplacement de CD, — piw,g,dl = — p,v,dm.
Nous avons donc dr —= (po0o — Pivs) dm.
Dans celte évaluation le travail provenant du frottement du fluide contre les parois du canal n'entre pas. Cependant nous pouvons en tenir compte. Il suffit de considérer le système
formé par le fluide et le canal dans lequel il se meut. Les frot-
tements sont alors intérieurs au système considéré et on ne doit pas en tenir compte dans l'expression du travail des forces extérieures. Mais alors dQ représente la quantité de chaleur cédée au système du fluide et du canal, et non celle qui est cédée au fluide seulement.
Si dans la relation (1) fournie par le principe de l’équivalence nous remplacons dr, dU, dV et dW, par les valeurs que
nous venons de trouver, nous obtenons, en divisant par dm,
dQ 9, = — E (U, — = Z, — 2 (2) E rs E (U, Us) + 9 (& 0) Le ) Fa (?i — #8) + (pin: — Po) à : : ; 3 dQ Il ne reste donc plus qu'à déterminer l'expression de ne Cette différentielle peut s’écrire dQ dt dm dm dl Par conséquent a sera négligeable dans deux cas : si est q égliges ux cas: si, es très petit, c’est-à-dire si les parois du canal sont peu conduc-
dm
dt
l'écoulement du fluide est très rapide.
trices de la chaleur ; ou si est très grand. c’est-à-dire si ) O
135.Remarque applicable aux liquides.— Les liquides sont supposés incompressibles, par suite Le volume spécifique v
est constant. Il en résulte que la formule
dQ = Apdv + AU
qui. exprime, dans le cas d’un fluide quelconque, la quantité dede chaleur qu'emprunte l’unité de masse ce fluide, se réduit à
Mais cette quantité de chaleur est fournie en partie par des corps extérieurs au système, en partie par le frottement du fluide contre les parois ; appelons dQ, la première portion et dQ, la seconde. Nous avons, en remplaçant la variation AU de
l'énergie interne par sa valeur dm (U, — U,), dQ, + dQ, = din (U, — U,).
Or la quantité dQ qui entre dans la relation (1) est la chaleur fournie au système par les corps extérieurs; c’est donc
la même quantité que celle qui est désignée par dQ, dans la
: Le ur d relation précédente. De cette relation tirons a et portons la
valeur ainsi trouvée dans la relation (2) ; nous obtenons, après simplifications,
aQ,
SE FRE (1 — 20) + 5 (ei — 94) + 0 (D, — Do):
Cest l'équation de Bernoulli. La quantité E Fe est ce qu’on
appelle la perte de charge due au frottement.
136. Application aux gaz. — Dans le cas des gaz nous pouvons nég.iger l’action de la pesanteur et Le terme g (4, — 30) disparaît de la relation (2). Étudions l'écoulement isotherme en supposant le gaz parfait et le frottement nul.
Décomposons le fluide occupant le volume ABCD en tranches
ayant même masse dm. Au bout de chaque intervalle de temps d{ chacune de ces tranches prendra la place de la suivante. La quantité de chaleur fournie à chacune de ces
tranches pendant cet intervalle a pour valeur dQ — dm (Apdv + dU).
L'écoulement élant isotherme, dU est nul, car, d’après la loi de Joule, U n'est fonction que de la température et par conséquent cette quantité conserve la même valeur quand la température reste constante. D'autre part, ia relation fonda-
mentale des gaz parfaits étant PORT, nous avons DIVERS Par conséquent
aq dmART L,
et en intégrant pour le volume ABCD nous obtenons pour la
quantité de chaleur dQ fournie à l’unité de masse du gaz
dv
d0 — 2 dmART
Mais dm est constant ainsi que T ; nous pouvons donc écrire
Portons cette valeur de . dans la relation (2) et remar-
quons que Ü, — U, — o- d’après la loi de Joule et que
Prat — Pyvo = 0 d'après la loi de Mariotte; il vient,
RT [Log CRE Log va] — : (o
Telle est la relation qui lie le volume spécifique à la vitesse
dans l'écoulement isotherme des gaz.
137. Considérons le cas où le gaz ne recoit pas de chaleur de l'extérieur, le cas d’un écoulement adiabatique. La formule (2) donne alors,en faisant passer dans un même membre les quantités affectées d’un même indice,
pi FU 00 HORS 10 AD} ie EU, + ch + Do?
nl 2
ou
(3) EU + = + po = const.
Cette formule ne suppose pas que le frottement du gaz. contre les parois du canal soit nul, ni que le gaz soit parfait. Faisons maintenant ces hypothèses.
Le gaz ne peut absorber de chaleur puisqu'il n’en reçoit ni de l'extérieur, ni par frottement; par conséquent la transformation du gaz est adiabatique et nous avons ($ 70)
G Do ITONSt
De cette relation et de la relation fondamentale des gaz
parfaits Dore
nous tirons
e 7 [4 DE ICONS, Dé et par conséquent Le AE
B désignant une constante.
Dans la relation (3) remplacçons U par sa valeur cT déduite
de la loi de Joule {$ 130), et po par RT ; nous avons ne EeT + - L RT = const,
ou, en lenant compte de la valeur trouvée pour T,
==" 2 (Ec + R) Bp +< = cons!
Mais, AR=C—ec,
par conséquent, en éliminant R, il vient
C'est la formule de Zeuner.
138. Expériences de Joule et de sir W. Thomson. — Dans ces expériences, on rend le frottement très considérable en faisant passer le gaz à travers un tampon de bourre de suie c comprimé entre deux rondelles métalliques a, a
(#g. 21). Le tube, formé en cet endroit d’un cylindre de buis,
ÉTUDE DES GAZ : 16à
est protégé contre tout effet thermique extérieur par un manchon Ah rempli de bourre de soie et plongé dans de l'eau à température constante. Dans ces conditions la quantité de chaleur fournie par l'extérieur au système est nulle, et la formule (3) lui est applicable. D'ailleurs à cause du frottement considérable qu'éprouve le gaz, l'écoulement peut être très lent bien que la pression de part el d'autre du tampon puisse différer notablement ; on peut donc négliger le carré de la vitesse #, et cette formule
ge réduit à
EU + pv — const., ou
(4) U +- Apv — const.
Si le gaz est parfait, U, pet vne dépendent que de la température T ; par conséquent, le premier membre de la relation (4) ne dépend que de
T. Puisqu'il est constant, la lempé-
rature d’un gaz parfait ne doit pas varier dans l’expérience de Joule et Thomson.
Or l'expérience à montré que, quel que soit le gaz employé, la température indiquée par le thermomètre placé au-dessus du tampon est toujours inférieure à la température que possédait le gaz avant son passage dans le tampon. Nous devons donc en conclure que l’une, au moins, des deux lois qui défi-
nissent un gaz parfait n’est pas rigoureusement suivie par les
gaz réels.
Nous savons déjà, par les expériences de Regnault, que la loi de Mariotte est dans ce cas. Mais ces mêmes expériences nous apprennent que l'écart entre cette loi et la loi réelle de compressibilité n’a pas le même signe pour l'hydrogène et les autres gaz. Par conséquent si la variation de température constatée dans les expériences de Joule et Thomson provenait uniquement de ce que le produit pv n’est pas uniquement fonction de la température, cette variation devrait avoir un signe différent pour l'hydrogène et pour les autres gaz. Comme cette variation est toujours négative, même avec l'hydrogène, c'est qu’elle est due en partie au terme U. L'énergie interne d'un gaz n’est donc pas uniquement fonction de la température ; en d’autres termes les gaz naturels n’obéissent pas rigoureusement à la loi de Joule. Telle est la conclusion importante des expériences de Joule et Thomson, conclusion que ne pouvaient mettre en évidence les premières expériences de Joule ($ 66) beaucoup moins précises que les
précédentes.
139. Expression de l’énergie interne d’un gaz. — Joule et Sir W. Thomson ont constaté que la diminution de température indiquée par le thermomètre est inversement proportionnelle à la différence des pressions de part et d'autre du tampon, et inversement proportionnelle au carré de la température absolue du gaz. On à donc, en désignant par dT la variation de température et par dp la variation de pressions
(5) ue Se
K étant une constante positive dépendant de la nature du SAZe
Ces résultats permettent de trouver une expression très approchée de l'énergie interne du gaz.
Prenons p et T comme variables indépendantes et diffé-
rentions la relation (4); nous obtenons
d (U +- Apr) te d (U + Apv) CT
/ 6] dp aT
Si nous supposons le gaz parfait, on a U — CT d’après la loi de Joule, pv — RT d’après les lois de Mariotte et de Gay- Lussac, et enfin AR = CG — c d'après le principe de l'équi-
valence; par conséquent,
UÜ + Apv = CT, et par suite
d (U + Apov)
aT ee
Gette expression n’est pas rigoureusement applicable aux gaz réels; portons-la néanmoins dans la relation (1); nous
obtiendrons
ABS dp et, en remplaçant dT par sa valeur (5) déduite des expériences
de Joule et Thomson,
AU MATE KG dp FETE
Si nous intégrons, nous avons
: KC U + Apo = — GE + (T);
relation qui détermine U.
Si nous prenions + et T comme variables indépendantes nous obtiendrions l'expression approchée de U + Apv en remplacant p par sa valeur tirée de la relation po = RT; il vient
KCR
(1) U+Ap=s. +).
140. Détermination de l’équivalent mécanique de la chaleur. — Différentions la relation (4) en prenant pour va-
riables indépendantes p et v; nous avons dU + Apdo + Avdp = 0.
Mais, d’après le principe de l’équivalence, dU + Apdv = dQ, par conséquent (8) dQ + Avdp — 0.
La quantité de chaleur fournie dans une transformation
élémentaire est
: aT aT 10 = G— —— 006 2 Ro dp,
ou, en ajoutant et retranchant au second membre, C a dp, ap
Ga dQ — CaT — (CG — €) — Q (C — c) Fe dp.
Si nous désignons par f le coefficient de dilatation du gaz sous volume constant, nous avons pour la variation de pression dp résultant d'un accroissement dT de la température
sans changement de volume,
dp — RpaT,
et, par conséquent, pour la dérivée partielle de la température
par rapport à la pression,
aT 1
dp fp Portons cette valeur dans l'expression de dQ ; il vient
(8 Gp dp,
