Signification de l'intégrale de Clausius

(1) Chapitre xu, p 265.

EXTENSION DU THÉORÈME DE CLAUSIUS 1e

Supposons d’abord que le système considéré £ soit formé de n systèmes 2,, 2,,… Y, pour chacun desquels la température est uniforme. Soient T,, T,,... T, leurs températures respectives, et dQ, dOQ,, … dQ,, les quantités de chaleur qu'ils absorbent pendant une transformation élémentaire. Le plus

naturel pour généraliser Le théorème de Clausius est de prendre

d pour = la somme dQ, dQ; dQ, Le ae fo = taie 1 ID des intégrales relatives aux systèmes X,, 2,, ..… >», dont la

réunion forme le système X.

Toutefois cette somme peut s'interpréter de deux manières différentes. En effet, la quantité de chaleur absorbée par le système X, peut être toute entière fournie par des sources extérieures au système total ? ou bien empruntée en partie à des sources de ce genre et en partie aux autres systèmes Z,, … Z, qui composent 2. Dans ce dernier cas il faut donc préciser si dQ, représente la totalité de la chaleur absorbée par le système ZX, ou bien la portion de cette chaleur qui est fournie par les corps extérieurs au système >. Mais nous verrons que, quelle que soit l'interprétation adoptée le théorème de Clausius est exact.

Passons maintenant au cas d’un système dans lequel la température varie d'une manière continue d'un point à un autre. Si nous décomposons ce système en une infinité de systèmes infiniment petits, nous pouvons considérer la tem-

pérature comme uniforme dans chacun des systèmes compo-

sants et nous sommes ramenés au cas précédent. Pour chacun

LA our le 4h P

de ces systèmes élémentaires nous prendrons cycle fermé qu'il accomplit et nous ferons la sommation de toutes ces intégrales pour le système tout entier. Nous pou-

vons donc représenter l'intégrale de Clausius par

dQ " T

indiquant ainsi quil faut faire deux intégrations, l’une étendue à tous les éléments du cycle de chaque système élémentaire, l’autre étendue à tous leséléments du système total.

Deux interprétations, ainsi que nous l’avons dit plus haut, sont encore possibles pour la valeur dQ; dans l'une et l’autre

le résultat est le même.

477. Lemme. — Un lemme nous est nécessaire pour la démonstration que nous avons en vue.

Considérons un système X isolé au point de vue thermique et composé de n + p systèmes partiels diflérents. L'état de n d'entre eux À,, A,, … À, est supposé ne dépendre que des deux variables p etv; et, par conséquent, ces systèmes sont de la nature de ceux que nous avons considérés jusqu'ici. Les théorèmes démontrés leur sont donc applicables et chacun d'eux possède une entropie. Quant aux p autres systèmes B,, B,, .… B, nous les supposerons d’une nature différente et, par suite, nous ne pouvons parler de leur entropie.

- Soient S,, S,, .… S;, les valeurs de l’entropie des systèmes

A à un certain moment 4. Faisons subir au système X une

transformation telle qu’à l'instant #’ les systèmes B reprennent le même état qu’à l'instant £ et que les entropies des systèmes ASOIÉDRO de Men:

Je dis que l’on a EE

L'inégalité serait évidente si les systèmes B n’éprouvaient aucune transformation car on pourrait alors ne considérer que le système Z’ formé par les systèmes A et il a été démontré (122) que pour un tel système l’entropie va constamment en croissant. Montrons qu'elle n’est pas renversée dans

le cas général.

178. Représentons l'état du système A, par un point dont les coordonnées sont T, et v, ; soient M et M’ (#9. 26) les

positions de ce point à l'instant #

Le)

et à l'instant #’. Menons par ces points deux adiabatiques MN et M M'N’et coupons-les par une 1s0therme NN’. Nous pouvons rame-

ner le système À, à son état initial

par une suite de transformations D : Fe CAC

telles que son point figuratif dé- Fig. 96.

crive le chemin M'N'NM. Ces trans-

formations étant adiabatiques ou isothermes sont réversibles

et pour chaque transformation élémentaire nous avons