LONUET SES UE RE

Les systèmes À étant ramenés à leur état initial, le système 2 tout entier l’est aussi puisque, par hypothèse, les systèmes

B sont dans le même état aux instants £ et f. Si donc nous

considérons les transformations accomplies pendant l'intervalle de temps #’ — # et celles que nous avons effectuées pour ramener les systèmes A à leur état initial, leur ensemble fera décrire à tous les corps du système Z un cycle fermé. Par suite l'énergie interne de ces corps ne varie pas et le principe de l’équivalence appliqué à ce cycle nous fournit la relation (2) EQ + 7 = 0, Q étant la chaleur empruntée à l'extérieur et + le travail des forces extérieures au système 2 pendant l’ensemble des transformations.

Notre cycle se compose de deux parties. La première partie est parcourue par le système dans l'intervalle de temps qui est compris entre les époques £ et {'; à la fin de cette première partie les systèmes B sont revenus à leur état primitif mais non les systèmes A. Dans la seconde partie du cycle, les systèmes B ne subissent aucune transformation.

Pendant la première partie du cycle, le système Y est supposé isolé au point de vue thermique et n’emprunte ni ne cède de chaleur à l'extérieur. La quantité Q qui figure dans la relation (2) se réduit donc à la chaleur empruntée à l’extérieur pendant la seconde partie du cycle et qui est définie par la relation (1).

Or celte chaleur est empruntée à une seule source ; par conséquent, d’après l’un des énoncés du principe de Carnot (401), il ne peut y avoir production de travail extérieur. Le travail + fourni au système ne peut donc avoir une valeur négative ; elle est positive ou nulle. D’après la relation (2), la

quantité Q ne peut donc être positive. Nous avons alors

SAS A MERS MT ee

et par suile

180. Théorème de MM. Potier et Pellat. — Ce lemme permet de démontrer immédiatement une modification du théorème de Clausius proposée par MM. Potier et Pellat : Lorsqu'un système de corps G subit des transformations réversibles ou trréversibles qui le ramènent à son élat primulif, on a

Q On (Le Eu je “ Per É Ta < O

Q,,Q, .… Q, étant les quantilès de chaleur cédées au système par les sources «,, 42, .… a, avec lesquelles il'est mis en rapport, et T,, T;, .… T, désignant les températures de ces sources.

En effet, nous pouvons regarder les sources de chaleur comme étant de même nature que les systèmes À du lemme ei nous ayons, en appelantsS, 053,8» O1 94 --0p les valeurs de l’entropie de chacune d'elles à l'instant initial et

à l'instant final, Sy + S HS, — Si — S; —... — Si <o.

Or quand le système GC emprunte une quantité de chaleur dQ, à la source «,, cette source reçoit une quantité néga-

tive — dQ, ; sa variation d’entropie est donc

Pour la transformation entière du système la quantité de

chaleur absorbée par cette source est — Q, et par conséquent

sa variation d’entropie est

use |

Ke | |

car, d’après les hypothèses qu'on fait d’ordinaire au sujet des sources de chaleur, la température d'une de ces sources peut être regardée comme constante.

Nous aurons des expressions analogues pour les variations

de l’entropie des diverses sources et, si nous les portons dans

l'inégalité précédente, nous obtenons

c'est ce qu’il s'agissait de démontrer.

On peut d'ailleurs écrire cette inégalité

dQ représentant la quantité de chaleur cédée au système par l’une des sources pendant une transformation élémentaire et

T désignant la température de cette source.

181. Théorème. — Considérons un système dont la température n'est pas uniforme et varie avec le temps. À un instant déterminé les températures des divers points sont comprises entre deux valeurs T’et T” (T’ > T”), d’ailleurs variables avec le temps. Pendant l'intervalle de temps infiniment petit qui suit cet instant le système emprunte une quantité de chaleur dQ' à certaines sources et en cède une

quantité dQ” à d’autres sources. Désnontrons que, quand le

système décrit un cycle fermé, on a

Pour cela supposons qu'on ait # sources de chaleur a, %2, … @ dont les températures T,, T,, .… T, forment une progression arithmétique croissante dont la raison este. La température maximum T’à l'instant considéré est comprise entre deux des termes de cette progression ; en appelant T;

l'un d’eux, nous aurons T; > ii > ip Te

De même la température minimum T” au même instant sera

comprise entre deux termes T; et T;,, et nous aurons qe = ne 4 TE

La quantité de chaleur d4Q" empruntée par le système pendant l'intervalle de temps infiniment petit qui suit l'instant considéré peut être supposée fournie par la source «; dont la température T; est plus grande que celle d’un point quelconque du système. Nous pouvons également admettre que la quantité de chaleur 4Q” cédée par le système pendant le même intervalle est absorbée par la source «x dont la température T; est plus petite que celle d'un point quelconque du système. Par conséquent, si nous désignons par dQ,, la quanté de chaleur fournie au système par la source «», nous avons

dQ; = dQ, dQx = — dQ”, CIE RER DO ET = RAD 0

et par suite

Re = dQ" dQ”

dQ; AU: à las See TT FE mn

nn ne +

Or T’ étant compris entre T; et T;, nous avons

PRET de même SRE"

De ces inégalités nous tirons i <T+e, et The elec

Par conséquent si nous remplacons dans Le second membre de la dernière égalité T; par T' + « el T; par T” — +, nous diminuons la valeur du terme positif et nous augmentons celle du terme négatif. Pour ces deux raisons le second membre

devient plus petit et nous pouvons écrire

COR Tone un aQ" a + Le + + ge = TT” Æ 2 Ro TRE

Si maintenant nous intégrons pour Le cycle tout entier nous

oblenops

Q, , Q: Q» dQ aQ" ib + TS + 2e Le T' ce à FT T” are

Mais, d'après le théorème de MM. Potier et Pellat, le premier . membre de cette inégalité est négatif ou nul ; par conséquent

il faut nécessairement que l'on ait

ne É Lee

D'ailleurs, comme la raison « de la progression formée par les valeurs des températures des sources est absolument arbitraire nous pouvons la supposer aussi petite que nousle dési-

rons et par suite la négliger; nous aurons donc à la limite

dQ' dQ” = — — L O.

1 te fe 40 0