I.FS TRAVAIX UE SADI CAHNOT

Quand le point repiésentalil" décrit cette courbe, il coupe les adiabatiques intermédiaires dans des sens différents suivant qu'il se meut sur l'arc AMB ou sur l'arc HNA. Par conséquent, si, pour un déplacement infiniment petit sur l'arc AMB, la cbaleur empruntée par le corps qui se transforme est positive, pour un déplacement sur l'arc BNA, la cb aleur empruntée est négative. Le corps emprunte donc de la chaleur pendant la porlion du cycle correspondant au premier arc, tandis qu'il en cède pendant la ()ortion qui correspond au second. Or, un corps ne peut emprunter de la chaleur qu'à des corps à une température plus élevée et ne peut en céder qu'à des corps à une plus basse température que lui. Une machine thermique doit donc comprendre, outre le corps C qui se transforme, des corps chauds et des corps froids. Les premiers sont désignés sous le nom collectif de source chaude, les seconds constituent la source froide.

Nous considérerons chacune de ces sources comme formée d'un seul corps de masse assez grande pour qu'on puisse négliger les variations de température résultant des emprunts ou des apports de cbaleur qui leur sont faits. Nous désignerons par Tj la température de la source chaude, par T2 celle de la source froide.

35. La quantité de chaleur empruntée à la source chaude est cédée tout entière à la source froide. — Considérons les quantités de cbaleur que, pendant la durée d'un coup de piston, le corps C emprunte à la source chaude et cède à la source froide. Soient Q, la première quantité, Q., la seconde. Puisque le corps C reprend le même état à la fin de chaque

coup de piston, il ne peut emmagasiner de la chaleur. Si donc nous admettons la conservation du calorique, les quantités de clialeur Qi et Q, doivent être égales. C'est à cette conclusion qu'arrive Carnot.

Nous savons aujourd'hui que l'on a Qi> Q^.

Mais, si ce premier résultat des travaux de Carnot est inexact, d'autres résultats plus importants sont restés vrais. Avant de les énoncer et d'exposer le raisonnement suivi par Carnot pour y parvenir, donnons quelques notions indispensahles sur ce qu'on doit entendre par réversibilité d'un cycle. J'appelle towt de suite l'atlention sur un résultat sur lequel nous insisterons au n° 39, c'est que dans la nature un cycle ne peut jamais être qu'à peu près réversible.

36. Réversibilité du cycle d'une machine. — Pour que le cycle décrit par le corps C, qui se transforme dans une machine, soil réversible, il faut d'abord que ce corps puisse parcourir ce cycle en sens inverse. Généralement celte condition est satisfaite; ainsi, dans le cas d'une machine à vapeur, on peut faire marcher cette machine à contrevapeur. Mais on sait que, si cette condition est nécessaire, elle n'est pas suffisante.

Considérons les échanges de chaleur qui ont lieu entre le corps C et les sources lorsque la machine fonctionne dans le sens direct et dans le sens inverse.

Puisque nous avons supposé (lue C emprunte de la chaleur lorsque le point représentatif se meut sur l'arc AMB dans le sens indiqué par l'ordre des lettres, ce corps doit abandonner la même quantité de chaleur quand le point représentatif se déplace en sens inverse BMA. D'autre part.

LKS TKVVAIX DK SAOI CARNOT. 87

nous avons vu que hi lenipérature T, de la source chaude doit toujours être supérieure à celle du corps C dans un quelconque de ses états. Par conséquent, [luisfpi'un corps ne peut céder de la chaleur à un autre dont la lenipérature est plus élevée, la chaleur ahandonnée par C, pour la portion BMA du cycle fju'il décrit dans le fonctionnement inverse de la machine, ne pourra être cédée à la source chaude. Comme il n'y a que deux sources, cette chaleur est nécessairement cédée à la source froide. Des raisons analogues nous feraient voir que le corps C ein|)rurite de la chaleur lorsqu'il décrit le cycle ANB et que cette chalein- ne peut provenir que de la source chaude.

En résumé, dans le mouvement direct de la machine, le corps (j i)roduil un travail t en em|)runlanl une quantité de chaleur Qi à la source chaude et en cédant la quantité Qi à la source froide; dans le mouvement inverse, le travail produit est — r, |)uisque le cycle est parcouru en sens inverse, et en même temps une quantité de chaleur Q, est cédée à la source froide tandis que la quantité Q2 est empruntée à la source chaude. Il n'y a donc pas inversion complète dans les échanges de chaleur; par conséquent, en général, le cycle d'une machine thermiiiue n'est pas réversible.

37. Conditions de réversibilité d'une transformation élémentaire. — Considérons une transformation élémentaire du corps C et soit MM' l'élément de courbe correspondant. Désignons par A la source qui fournit la quantité de chaleur absorbée par le corps C pendant cette transformation.

Cette transformation sera réversible si, lorsque le point

THERMODVxNAiMIQlE.

représeiitalif revient de M' en M, la quanlilé de chaleur dégagée par C est absorbée par le corps A.

Celle condition est évidemment réalisée si dQ est nul, c'est-à-dire si l'arc MM' appartient à une adiabatique.

Elle l'est encore, du moins théoriquement, dans un autre cas : c'est lorsque la température du corps C reste constamment égale à celle de A, c'est-à-dire lorsque la transformation de C est isotherme.

38. Cycle de Carnet. — Pour qu'un cycle fini soit réversible, il faut nécessairement que chacun des éléments du cycle soit réversible. D'après ce qui précède, un cycle réversible ne peut donc être composé que de portions d'isothermes et d'adiabatiques. Le plus simple de ces cycles

Fig. 4.

comprend au moins deux isothermes AB et CD {/ig. 4) coupées par deux adiabatiques Al) et BC. Ce cycle a été considéré par Carnot et, pour cette raison, il porte le nom de cycle de Carnot.

Assurons-nous qu'un tel cycle est bien réversible.

Lorsque ce cycle est parcouru dans le sens direct ABCD,

LES TRAVAIX DE SADI CAKNOT. SQ

le travail r produit est |)ositifel é;::al à l'aire du cycle. Ouand le point liguralif va de A en B, le coips C emprunte une quantité de chaleur O, à une source que l'on [X'ut supposer à la température T, de l'isotherme AB; pour la portion BC, il n'y a pas d'échange de chaleur; |)our la portion CU, le corps C cède une quantité de chaleur Qa que l'on peut supposer absorbée par une source à la température 1% de cette isotherme; enfin, le long de l'adiahatique l)A, le corps C n'emprunte ni ne cède de chaleur.

Décrivons le cycle dans le sens inverse ADCB. Le travail produit, toujours égal en valeur absolue à l'aire du cycle, est alors négatif; il est donc — t. Pour les échanges de chaleur, nous n'avons à considérer que les isothermes DC et BA. Quand le point figuratif décrii la |)remière, le corps emprunte une quantité de chaleur Q2 et cet emprunt peut être fait à la source froide puisque sa température est égale à celle que possède le corps pendant cette transformation ; on peut donc dii'e que, le long de l'isotherme DC, le corps cède une (juantité de chaleur — Qo à la source fioide. Pour des raisons analogues, nous pouvons dire que, pendant la transformation isotherme BA, le corps C emprunte une quantité de chaleur — Q, à la source chaude.

Par conséquent, lorsqu'on renverse le sens des transformations, le travail et les quantités de chaleur empruntées ou cédées à chacune des sources changent de signe. Le cycle est donc bien réversible.

39. Toutefois il y a une petite difficulté à admettre qu'une transformation isotherme est réversible. Il ne suffit pas, pour qu'un corps C puisse emprunter de la chaleur à une

40 TilKRMODVXAMlQLE.

source A, que la lempéralure de celle-ci soit égale à celle du corps C; il faut qu'elle lui soit supérieure. De même, pour que (] puisse céder de la chaleur à une source B il faut que la température de cette source soit inférieure à celle du corps. Par conséquent, si ïi et ï, senties températures des deux sources, le corps C ne pourra décrire les isothermes AB et CD correspondant à ces deux températures. Le cycle de Carnot décrit par C dans le mouvement tlirect ne sera donc pas ÂBCD, mais A'B'C'D', A'B' et CD' étant deux isothermes comprises entre AB et CD. Dans le mouvement inverse le cycle décrit sera A"B"C"D".

En toute rigueur, le cycle ABCD n'est donc pas réversihle. Néanmoins, il ])eut être considéré comme tel, à la limite, car on peut supposer aussi petites qu'on veut les différences de température entre C et les sotnxes et, par conséquent, faire difl'érer aussi peu qu'on le veut les cycles A'B'C'D' et A"B"C"I)" du cycle ABCD.

Si l'on ai)pelle alors t, t' et t" les aires des trois cycles ABCD, A'B'C'D', A"B"C"D" (c'est-à-dire le travail effectué pendant ces trois cycles); si l'on ap|)elle Q,, Q\, Q[ la quantité de chaleur absorhée par C quand on décrit les isothermes AB, A'B', A"B"; Q,, Q'., Q'I les quantités de chaleur cédées par C quand on décrit les isothermes CD, CD', C'D", on peut rendre aussi petites que l'on veut les différences

ce qui suffit i)our rendre rigoureux les raisonnements qui vont suivre.

Les cycles naturels sont donc tous irréversibles; mais on

LKS THAVAl X DE SADI CARN'OT. ^l

peut en construire qui clitTèi-enl 1res peu d'un cycle réversible. La différence peut devcMiir aussi petite <]u'on le veut, mais à la condition cpie le cycle soit parcouru (rime façon infiniment lente.

40. Le coefficient économique d'un cycle de Carnet est maximum. — On apjielle rendement ou coefficient économique d'un cycle le rapport -^ de la quantité de travail pro-

duite à la (luanlité de chaleur empruntée à la source chaude.

Considérons deux machines M et M' fonctionnant entre les mêmes limites de température T, et T,. Supposons que le corps C qui se transforme dans la première décrive un cycle de Carnot et que le corps C de la machine M' décrive un cycle quelconque. Carnot démontre que dans ces conditions le coefficient économique de la machine M' est au plus égal à celui de M. En d'autres termes, on doit avoir

t' étant le travail correspondant au second cycle, et Q', la chaleur empruntée à la source chaude par (7, lorsque ce corps (lécril ce cycle.

41. Carnot arrive à ce résultat en démontrant que l'hypothèse

conduit à admettre la possibilité du mouvement perpétuel. ^ oici son raisonnement.

42 THERAIODYXAMIQUE.

Les deux machines fonctionnant entre les mêmes limites de température, on peut supposer que, dans l'une et l'autre, la chaleur empruntée provient d'une même source chaude et que la chaleur cédée est absorbée par une même source froide. De plus on peut accoupler les deux machines de telle sorte que M' marche dans le sens direct et M dans le sens inverse. On réalise ainsi une machine thermique complexe fonctionnant entre deux sources.

Le cycle de la machine M étant réversible, puisque c'est un cycle de Carnot, le travail produit et les quantités de chaleur échangées avec les sources ne font que changer de signe quand on intervertit le sens du mouvement de cette machine. Par conséquent, si ni et m' sont les poids des corps C et C qui entrent en jeu à chaque coup de piston, le travail résultant d'un coup de piston, lorsque les machines sont accouplées comme il vient d'être dit, a pour

valeur

La chaleur empruntée à la source chaude est m'Q'j — mQi, et celle qui est cédée à la source froide //i'Q', — mQ,.

Or, on peut choisir m et m' de telle sorte que la premièi^^e de ces quantités soit nulle; il suffit qu'on ait

A étant une quantité quelconque.

LES TRWALX DE SADI CAKNOT. 43

Dans ces conditions le travail de la machine complexe a pour valeur

c'est donc une quantité positive, d'après l'hypothèse provisoirement admise.

Mais, si l'on admet le principe de la conservation du calorif|ue, il ne peut y avoir de chaleur cédée à la source froide quand aucun emprunt n'est fait à la source chaude. Par conséquent, à la fin d'un coup de piston les deux sources sont dans les mêmes conditions qu'au commencement. Un travail positif est donc obtenu sans aucune modification des sources de chaleur. Le même fait se reproduisant à chaque coup de piston, le mouvement perpétuel serait donc possible; ce qui est absurde.

(^n sait que, quoique ce raisonnement repose sur une notion inexacte, la conclusion est juste.

42. Le coefficient économique d'un cycle de Carnet ne dépend pas du corps transformé. — Le théorème précédent a une conséquence imi)ortante.

Supposons que le cycle de la machine M soit également un cycle de Carnot. On doit alors avoir, d'après ce qui précède,

Mais on a aussi, puisque le cycle de la machine M est un cycle de Carnot,

Il faut donc que l'on ait

Ainsi, lorsque deux corps C et C décrivent deux cycles de Carnot, entre les mêmes limites de température, les coefficients économiques des deux cycles sont égaux. Le coefficient économique d'un même cycle ne dépend donc pas de la nature du corps transformé.

Cette conséquence avait une grande importance pratique. 11 en résultait que, quel que soit le corps employé, une machine thermique possède le même rendement lorsque ce corps décrit un cycle de Carnot. Il devenait donc inutile de chercher à augmenter ce rendement en remplaçant la vapeur d'eau par un autre corps; il suffisait de perfectionner les machines à vapeur d'eau, de manière que le cycle décrit par celte vapeur se rapproche le plus possible d'un cycle de Carnot.

Depuis cette même conséquence a acquis une égale importance théorique; elle est devenue le principe de Carnot.

43. Fonction de Carnot. — Puisque le coefficient économique d'un cycle de Carnot ne dépend pas du corps transformé, il ne peut dépendre que des températures T] et T, tles isothermes du cycle; posons donc

C'est à cette fonction /qu'on a donné le nom de /onction de Carnot. Carnot n'en a pas cherché la valeur.