Transformons cette nouvelle relation

En négligeant les déformations des angles et des faces du parallélépipède rectangle pendant le déplacement, la pression sur la face ABCD reste parallèle à l'axe des x et prend

pour valeur

dy dz{p + 71).

La pression sur la face opposée est

— dy dz(p-\- Ti -^. — j^ dx

Les piessions sur les autres faces du parallélépipède étant normales à l'axe des x et l'action de la pesanteur étant négligée, la somme des projections sur l'axe des x des forces qui agissent sur le parallélépipède se réduit à la somme algébrique des deux quantités précédentes :

;— dx dy dz.

ilx -^

De la même manière, nous trouverions, pour la somme des projections de ces forces sur les axes des r et des z,

;— dx dy dz, ;— dx dy dz.

dy ■/ ' dz "^

Appliquons le principe de d'Alembert, c'est-à-dire écrivons que le parallélépipède est en équilibre sous l'action de la force d'inertie et des forces réelles qui le sollicitent; nous obtiendrons les trois équations du mouvement dont la première est

dm -7-4 = 7- dx dy dz.

di- dx -^

Par suite, en tenant compte de la relation (2), ces trois

VÉRIFICATION 1)1 l'HINCIPK DE LÉQIIVALKNCE. g3

équations sont

dr:

dr- ~

- dx'^

dr.

dr- ^

dr.

dr- ~

'Tz''

Nous en tirons, en dérivant la première par rapport à .r, la deuxième par rapport à j, la troisième par rapport à z, et additionnant,

Nous aurons donc, en remplaranl, dans cette expression, la somme ^j^.+ rj^.-f- C^ par sa valeur tirée de la relation (3),

dt- c

76. La variation de pression t. est une fonction des coordonnées X, y, z du point considéré et du temps t. Cherchons son expression (juand la propagation de l'éhranlement se fait par ondes sphériques. Alors - ne dépend que de t et de la distance /• du point considéré à l'origine de l'ébranlement. Posons

/désignant une fonction de r et de t.

La somme Att des dérivées secondes sera une fonction

,. . . , ^ df d-f , . , . ,.

linéaire de f, -;-? -r-^i qu on pourrait obtenir directement, dr dr-

mais qu'il est plus facile de calculer par la méthode des coefficients indéterminés. A cet effet, posons :

Si l'on suppose /= i, on a

et, d'autre part,

Au moyen de cette expression de tt, calculons At:, en supposant que l'origine des coordonnées coïncide avec le centre d'ébranlement, c'est-à-dire

nous avons

I dr X

dx ~

r- dx /'^ '

I ox'^

dx'^ ~

fi ,.5

On doit donc avoir

Supposons maintenant/^ /•; nous avons, d'une part,

d'autre i)art,

t: =: I , At: = G ; nous en concluons que B est nul.