CHAPITRE \I

79. L'état d'un corps ne peut toujours être défini par deux variables. — Les vérifications précédentes du principe de ré(|uivalence constituent autant de vérillcations du principe de la conservation de l'énergie, mais dans un cas très particulier : celui où l'état physique des corps peut être exprimé au moyen de deux variables indépendantes p et T ou V et T.

Or, dans un grand nombre de cas, ces deux variables sont insuffisantes pour définir complètement l'état d'un corps. Ainsi, quand on se donne la iiression ou le volume spécifique de l'e? u à une température déterminée, mais comprise entre certaines limites, on ignore encore si l'eau est à l'état solide, liquide ou gazeux, puisque l'eau peut, dans certaines conditions, exister sous ces trois états à la même température.

Dans d'autres cas, les fluides en mouvement et les solides élastiques par exemple, l'une des variables, p ou c, n'a plus de signification précise, car la pression et le volume spécifique changent d'un point à un autre; l'état d'un de ces

gH THERMODYNAMIQUE.

corps ne peut donc encore être déterminé au moyen des variables/) et T ou v et T.

Enfin le corps considéré peut posséder une charge statique d'électricité ou être traversé par un courant; de nouvelles variables sont alors nécessaires pour définir l'état du corps.

11 est donc intéressant de vérifier Texactitude du principe de l'énergie dans ces cas particuliers. Cette vérification consiste à montrer qu'en désignant par W la demi-force vive (lu sj'stème et en appelant énergie interne U une certaine fonction des quantités qui définissent l'état physique des corps du système, on a pour un système isolé

Si le système reçoit un travail extérieur dz, la relation à

vérifier est

d\N + rtfU =r dz,

et, si le système reçoit en outre une quantité de chaleur dQ de l'extérieur, la relation qu'il faut vérifier est

d^N +d\} = dz + ^dq.

80. Le principe s'applique à un système de corps électrisés. — Considérons un système de conducteurs électrisés possédant des charges m^, m^, ... ; leurs potentiels sont des fonctions linéaires de ces charges.

Pour plus de simplicité admettons qu'il n'y ait que deux conducteurs en présence; alors nous avons pour les potentiels

Vi= \tni+ Wm-i,

VKRIFICATIOX I)K LA CONSIiKVATION DE i/kNKIU.II;. i)()

Les coefficients A, B, C sont des fonctions des capacités des conducteurs et de leurs coefficients d'inlluence éleclroslalique; ils dépendent donc des positions relatives des conducteurs, mais ne déjjendenl pas de leurs charges.

Pour avoir Vénergie éleclrique de ce système multiplions la première relation par m,, la seconde par m, et addilionnoiis; nous obtenons

U = - 2'"^' ~ -(A/;?7 + 2B/;/, Wo+ Cm^).

Considérons d'abord le cas où les conducteurs se dé- |)lacent en restant isolés, de telle sorte que les charges w, et /??2 soient constantes. Si nous supposons la variation de l'énergie cinétique nulle ou négligeable, la variation de l'énergie totale se réduit à d\], et, par conséquent, si Je principe de la conservation de l'énergie s'applique, le travail extérieur accompli par le système est —d\j, c'està-dire

— - {ni\ dk -\- in^in-y r/B -+- ml dC).

Or c'est ce que l'expérience vérifie dans tous les cas.

81. Supposons maintenant que, les conducteurs restant fixes, on les mette en communication. Alors A, B, C restent constants et nous avons

d[] =z (A//?,-t- Bm,)dmi+ (By??,+ Cm,) dm.,

d{] = Vj r//n, + Vg dm,.

Mais, si nous appelons «l'intensité du courant qui se produit dans le fil de communication et si nous supposons que

lOO THERMOnVNAMlQUE.

l'on ait Vi>V2, les charges respectives des deux coi'|)S seront, au bout du temps dt,

m , — idt et /«, + i dt ;

par conséquent, nous avons

dm ^^=— i dt et dm^-=z i dt ,

et d{] devient

d[] = idt{y^—Vi).

D'ailleurs, d'après la loi d'Ohm, R étant la résistance du fd de communication; par suite,

du = —n i^ dt.

Cette variation de l'énergie interne ne peut se retrouver sous forme de travail extérieur, puisque les conducteurs auxquels sont appliquées les forces du système ne se déplacent pas. Mais elle peut se retrouver sous forme de chaleur, et alors le protliiil E «^Q de l'équivalent mécanique par la quantité de chaleur fournie, exprimée en calories, doit, si le piincipe de la conservation de l'énergie s'applique, être égal à la variation de l'énergie du système. Celle-ci se réduisant à la vaiialion de l'énergie interne puisque les conducteurs restent en repos, il faut donc vérifier l'égalité

— l\r-dt = EdQ.

Or, d'après la loi de Joule, la quantité de chaleur développée par le passage du courant dans le fil de communication est, en calories, ARi-di; par suite, la quantité de cha-

DEPARTMENi wr .vw.iMu- /^UGS ^' UNiVERSiTY Of TORONTO

VERIFICATION DE L\ CONSERVATION DE h ENRROIE. ICI

leur fournie au système pendnul la transformation considérée

est

dQ=— WM'dt

el l'égalité précédente est bien vérifiée.

82. Cas des piles hydro électriques. — Considérons le système formé |)ar la |)ile et un conducteur reliant ses pôles.

Dans la pile se produit une réaction cliimiipie (|ui produirait une certaine quantité de clialciir si elle s'effectuait en dehors du circuit. Lorsque les pôles sont réunis par un conducteur, la quantité de chaleur recueillie dans la pile est plus faible que la précédente. Donc l'énergie chimique de la pile se divise en deux parties : l'une sert à échauffer les liquides de la pile, l'autre à produire le courant. Cette dernière p(^rtion se nomme énergie voUaïf/ue e\ l'expérience montre que la quantité d'énergie vollaïfiue dépensée ainsi pendant le temps di est égale à si dt, en appelant £ la force "électromotrice de la pile. Les cor|)s du système étant en repos, il faut, comme dans le paragraphe précédent, que cette vai'iation soit égale à Er/Q. Mais la quantité de chaleur fournie au système est donnée par la loi de Joule; elle

est donc — r-[\i-dt et l'égalité qu'il s'agit de vérillcr est

alors

cidi = HP' di

z — Ki.

Cette égalité est évidemment satisfaite, puisqu'elle exprime la loi d'Ohm.

83. Phénomènes électrodynamiques. — L'énergie interne d'un système de conducteurs traversés par des courants

dépend nécessairement des intensités de ces courants; pour avoir sa valeur, il faut ajouter à l'énergie interne du système, lorsque toutes les intensités sont nulles, un terme T que Maxwell appelle Vénergie éleclrokinétique du système. Prenons, pour simplifier, les cas où le système ne comprend que deux courants; alors T a pour valeur

M étant le coefficient d'induclion mutuelle des deux circuits, L et N les coefficients de self-induclion de chacun d'eux. Si les courants sont variables et si les conducteurs se déplacent ou se déforment, l'énergie éleclrokinélique varie et sa variation cCÏ représente la vaiiation de l'énergie interne du système. Pour vérifier le |)rincipe de la conservation de l'énergie il faut donc vérifier que dT est égal à la somme de toutes les énergies que reçoit le système.

D'abord les conducteurs produisent un travail exiérieur doni la valeur est

- ( i\ d\. -\- 2 ?, i. dM + i\ r/N ).

Il y a en oiilre une certaine quanlilé de chaleur dégagée dans les conducteurs; cette quantité, exprimée en unités mécaniques, est, d'après la loi de Joule,

R,/j dl + \\J\ dt.

Enfin il y a de l'énergie voltaïque fournie au système par les piles; cette énergie est

E,/, dl ^E.,i\d/,

VÉKIFICATION DK LA CONSERVATION DE L "ÉNEIU.Œ. loj

en appelant E, et E. les forces éleclromolrices des deux piles.

Nous devons donc vérifier l'égaillé

dT=— -{ildL-^2i\i\dM-i-iUlS)

— ( lî , l'i f/^ + R. '1 ^0 + El 'i <^^ -^ E. io cit.

Or on sait que la foi'ce éleclromotrice d'induclion développée dans l'un des circuits a jiour expression

par conséquent le produit Hi/i, qui, d'après la loi d'Olim, est égal à la force éleclromotrice totale, a pour valeur

R,/,z:3E,-^(Lt-, + M4).

Nous en déduisons

El /, dl — R , /[ dt =z i^ d{ L il -H M ^2 ).

Nous aurions une égalité analogue pour l'autre circuit, et, par suite, nous pouvons écrire l'égalité qu'il s'agit de vériliei'

rtT = ( /■"? dL -+- 2 i, /., c/M + il c/y )

-h iid{L il -t- M i.2 ) -f- i^di M /'i h- N /. ) ou, en eflecluant les difîéreniiations et simplifiant,

dT=-(iidL-^2 il i.2 dM + ij rfN)

-h L il dii -r M /.2 dii 4- M 'i di.2 4- N /o di-2' Or, le second membre est bien l'expression de la différen-

Io4 THERMODVNA.MIQl E.

lielle (le l'énergie électrokiiiélique définie parla foi-mule (i) Le principe de la conservation de l'énergie s'applique donc bien aux phénomènes électrodynamiques.

84. Cas des solides élastiques. — Considérons un parallélépipède rectangle infiniment petit dont les arêtes sont parallèles aux axes de coordonnées. Soient

* xx^ • xyy ^ XZ1 p I) p

^ zxj ^ zy^ -T zz

les composantes suivant les trois axes des pressions par unité de surface qui s'exercent sur trois faces issues d'un même sommet A et normales : la première à l'axe des œ, la seconde à l'axe des r, la troisième à l'axe des j. La théorie de l'élasticité apprend que le Tableau de ces neuf quantités est syméirique par rapport à sa diagonale; en d'autres termes, que ces neuf quantités se réduisent à six.

Supposons que le parallélépipède subisse une déformalion et évaluons le travail des pressions qui s'exercent sur toutes ses faces.

Les coordonnées x, /, z du point A deviennent, après la défoinialioii,

oc + '^, 7 4- Y), -+Ç;

par conséquent, le travail de la pression sur la face normale à Taxe des œ et passant par A est

Les coonlonnées du poini correspondani à A sur la l'ace op|)Osée du parallélépipède sont, avant la (hd'ormalion,

VKlUFlC.VriON l)K L\ CONSKKVATION DE LENER(.II-;

X + dx, y, z et, après la (léformalion,

.r + i -i- <Y j- -+- -j-^ dx, r + Ti -+- -7- dx, dx "^ dx

dx\

le liitvail (le la pression sur celte face est donc de,

La somme de ces travaux est

W. '-r + A'- '^ + P.c ^ ) «'^^ dy dz

dx • dx dx I

dy dz.

Nous obtiendrons deux autres expressions analogues pour les faces perpendiculaires aux axes des y et des :;.

Additionnons ces trois expressions et remplaçons le produit dxdydz par son égal v dm, v étant le volume spécifi(pie au point A et dm la masse du parallélépipède; nous avons

i/x ■'■ dy dz ■ \dx dy

, dx dz

■''[dy ^ dz

dm ,

L'intégrale de cette expression étendue à l'espace occupé par le corjjs donnera le travail total des forces extérieures pendant la déformation.

Remarquons que, si le corps est isotrope, on a

^xx^— '^^ y}~ 'ce ^~ P ^ P^,= P,3 = P,, = o;

lo6 TIIERJIODVNAMIQIE.

par conséquent, l'expression précédente du travail des forces extérieures se réduit alors à

( dl d-n dZ\ ,

-- p — V dm =z — p dv dm .

Nous retrouvons donc, comme au paragraphe 64, — p dv pour le travail des forces extérieures rapportées à l'unité de masse.

85. Mais, quoique dans le cas des solides l'expression du travail soit plus complexe que dans le cas d'un fluide en équilibre, le principe de la conservation de l'énergie n'en est pas moins vérifié. L'expérience montre en effet que, si le solide s'échauffe par suite de la déformation, la variation d'énergie interne résultant de cet écliauffement est égale au travail des forces extérieures pendant la déformation.

Ainsi prenons l'expérience d'EdIund. Un fil métallique vertical maintenu par son extrémité supérieure est d'abord étiré par une force p agissant à son extrémité inférieure; il est ensuite ramené à sa longueur primitive en supprimant l'action de cette force. Si £ est l'allongement du fil pendant la première phase de l'expérience, le travail des forces extérieures est pe. Pendant cette phase, le fil se refroidit par suite de l'allongement; pendant la phase suivante, il s'échauffe. De ces deux phases résulte un échauffement. Dans une troisième phase le fil se refroidit en cédant de la chaleur à l'extérieur par conductibilité et revient ainsi à son état primitif, sa température et sa longueur étant redevenues les mêmes. La quantité de chaleur dQ ainsi cédée à

l'extérieur a pdiir \iiloui- « oï, a olanl la ca|)acilé calorifique du fil que Ion déduit de ses dimensions el de sa chaleur spécifique, el ôT l'excès de la leui|téralure à la fin de la seconde j)liase sur la tem|)éralure iiiili;:le, excès (|ui est mesuré au moyen d'une pince thermo-électrique. Le fil ayant décrit un cycle fermé, on doit avoir

C'est ce qui a lieu, car, si l'on calcule E au moyen de celte relation, on trouve des nombres très voisins de ceux de Joule et de M. Kowland; pour le laiton, par exemple, on a 428,3.

On remar(|uera c|ue dans cette expérience nous sommes placés dans un cas oi^i la })ression n'est pas la même dans tous les sens. Un élément de volume du fil est soumis en elfel à une tension considérable dans le sens vertical et à une pression sensiblement nulle dans le sens horizontal.

86. Cas des fluides pesants en mouvement. — Dans ce cas la pression en un point a la même valeur, (|iielle que soit la direction de rélémenl sur laquelle elle s'exerce; mais elle n'est pas la même en tout point du fluide.

Soient /x la valeur de cette pression sur un élément de la surface du fluide; a, (3, y les cosinus directeurs du segment de la normale à cet élément extéi'ieur au fluide. Soient x, y, z les coordonnées du centre de gra\ilé de l'élément au temps t', X -\-c, y + Tj, ^ + ^ les coordonnées de ce même centre de gravité au temps i + dt, de sorte que

dx ,

Le travail des pressions extérieures sur cet élément est

— pd(x){(x^ -t- [3y) + yÇ)> t le travail de ces forces sur toute la surface du fluide,

dr — — p{al + (3rj + yÇ) dfj^.

En appelant dq la quantité de chaleur reçue de l'extérieur, par conductibilité ou rayonnement, par l'unité de niasse du fluide, la quantité dQ reçue par le fluide tout entier est

(i) r/Q= fdqdm,

dm étant la masse d'un élément de volume.

De même, en désignant par u l'énergie interne rapportée à l'imité de masse, nous avons pour l'énergie interne U de tout le fluide

U =r / « dm .

Les forces extérieures sont de deux sortes :

1° Les pressions extérieures dont le travail c/r a été évalué plus haut ;

2" La pesanteur dont le travail — dV est la différentielle d'un certain potentiel V qu'il nous reste à évaluer.

On en ohtiendia la valeur, à une constante jirès, en multipliant le poids du fluide par la distance de son centre de gravité au plan des.r)- supposé horizontal; par conséquent,

\ =L j gz dm.

\ KIIIKICATION l)K I.A CONSERVATION DE L KNKUGIE. loij

Enliii l'énergie cinétique sensible a pour expression

~J ~V \dî^ '^ Tir- ^ It^J '

87. Éciivons les équalions du mouvement du fluide. Si le fluide était en repos, nous aurions, d'après les équations fondamentales de 1 Hydrostati(|ue,

Tl^-^^' dj--'^' Tz-^^-

Xd/n, \ dm, Zdni étant les composantes suivant les axes des forces extérieures agissant sur l'élément dm. F*ar conséquent, les équations du mouvement seront, d'après le principe de d'Alemberi,

dp d- X

dx ' at-

dp ,, d- y

dy ' ' dt-

dp ,, d' z

dz ■ ■ dr-

ou, en remplaçant 0 [)ar - et remarfpiani ([ue, le fluide

n'étant soumis qu'à l'action de la pesanteur, \ r^ Y = o,

Z dm ■=^ — ,?" dm ,

dp d'x

dx dt-

dp d- y

''dJ^~~'dF'

dp d- z

''dl ~~~dF~^'

88. Au moyen de ces équations iransfonnons l'expression du travail d- des forces extérieures.

O TIIKRMODYNAMIQIE

Appliquons la relalioii connue

en y faisant successivement F égal à pi, fn, pX\ nous obtenons, en remplaçant dans les intégrales triples c/t par vdm,

/(3 p Ti dfj) =: I n -!- V dm -j- i p -r- V dm , J df J ' dy

i y p': dh) =: / Ç -^ (' dm 4- p -~ i' dm , et, par suite,

rfdl dn dZ\ ,

puisque

c/| df] d'C, dv

dx dy dz i'

Si maintenant n(Mis remplaçons les dérivées partielles de/? par leurs valeurs déduites des équations du mouvement, nous aurons

, , C(-d''i d^n rP>:\ ^

\'''=J['d^-^-'^^'dF)''"'

f -I- ig^dni— Ipdvdm.

VKIUFICATIO.N DK I.A CONSERVATION DE I. ENERGIE- III