Reprenons donc la démonstration du paragraphe

Supposons que, contrairement à la proposition précédente, on puisse avoir, pour deux machines M et M' fonctionnant entre les mêmes limites de température suivant deux cycles de Carnot,

Associons les deux machines de façon que M' fonctionne

dans le sens direct en M et en sens inverse. Le travail de

cette machine complexe quand M et M' décrivent un cycle

complet est

ni'z' — mz,

m et m' étant les masses du corps (\u\ se transforme dans l'une et l'autre de ces machines. La quantité de chaleur prise à la source chaude a pour valeur

LE PRINCIPE Ut: CAKNUT-CLAISIIS. ni

et celle qui est cédée à la source froide, m (), — /)} Q.,.

Nous pouvons choisir les niasses m cl /n' de manière que la chaleur em|iruntée à la source chaude soil nulle,

alors de celte égalité et de l'inégalité (i) il résidte

c'est-à-dire que la machine formée par l'accouplement de M et M produit un travail positif.

93. Jusqu'ici nous n'avons rien changé à la démonstration de Carnot. ronlinuons-la en iniroduisant le principe de l'équivalence.

Le corps qui se transforme dans M, empruntant une quantité Q, à la source chaude, mais en cédant Q, à la source froide, ne reçoit en réalité de l'extérieur qu'une quanlilé Q1—Q2 par unité de masse. Le travail extérieur correspondant produit pendant cetle transformation est t. Par conséquent, d'après le principe de l'équivalence,

Nous aurions de même

q;-o; = At'.

De ces deux égalités nous déduisons, en tenant compte de la relation (2),

Il6 THERMODVXAMIOUE.

Par conséquent, d'après la conclusion précédente, la chaleur cédée à la source froide est négative; en d'autres termes, la machine emprunte de la chaleur à la source froide.

La source froide ne revenant pas à son état primitif, nous ne pouvons dire, comme au paragraphe 41, que la production de travail positif par la machine considérée soit incompaliijle avec le principe de l'impossibilité du mouvement perpétuel.

Tout ce que nous pouvons déduire du résultat précédent, c'est que : si le principe de Carnot est faux, il est possible de produire indéfiniment du travail en empruntant de la chaleur à une source froide.

94. Nous pourrions conduire autrement le raisonnement et nous serions amenés à une conclusion aussi peu acceptable que la précédente.

Ainsi supposons que m et m' soient tels que

m'r' — mz ^=^ o,

c'est-à-dire que le travail de la machine résultant de l'accouplement de M et de M' soit nul. Alors de cette égalité et de l'inégalité (i) on déduit

m'Q', — wQ,< o.

D'ailleurs l'application du principe de l'équivalence donne, puisque le travail produit est nul,

m' ÇS\ — /??Q, =: m' Q[^ — mQ^.

La (luaiilité de chaleur empruntée à la source chaude

Lt; i>ui.\(;iim: de carnot-claisiis. 117

esl donc négalive et égale en valeur absolue à la (|uanlité cédée à la source froide qui est aussi négative; en d'autres termes, il y a une certaine quantité de chaleur emj)!'uutée à la source froide et une égale (|uanlité cédée à la soui'ce chaude.

Nous arrivons donc à celte conclusion : si le principe de Carnol est faux, il est possible de transporter de la chaleur d'un corps froid sur un corps chaud sans dépense de travail et sans aucune modificalion du corps (jui se transforme.

95. Principe de Claiisius. — La négation de la j)ossibililé d'un transport de chaleur dans ces conditions constitue le principe de Clausius : // est impossible de transporter directement ou indirectement de la chaleur d'un corps froid sur un corps chaud à moins qu'il n'y ait en même temps destruction de travail ou transport de chaleur d' un corps chaud sur un corps froid.

Ce principe paraît confirmé par tous les faits expérimenlaux; si ou l'admet, il résulte de la démonstration précédente que l'on ne peut avoir

On ne peut avoir non plus

car si l'on reprend la démonstration en considérant la machine formée par l'accouplement de M, marchant dans le sens direct, et de M', marchant dans le sens inverse, celte inégalité conduit encore à une conséquence en contradic-

r I 8 THERMODYNAMIQUE.

tion avec le principe de Clausius. Les rendemenls des deux cj'cles de Carnot considérés doivent donc être égaux; nous retrouvons le théorème de Carnot.

C'est le principe de Clausius qu'on prend généralement aujourd'hui comme second principe de la Thermodynamique. Le théorème de Carnot étant une conséquence presque immédiate de ce principe, Clausius, avec une modestie qui lui fait honneur, lui donna le nom de Principe de Carnot, hien qu'il l'eut énoncé sans avoir connaissance des travaux de Sadi Carnot.

96. Les objections de Hirn. — L'énoncé primitif de Clausius, quoique identique, dans le fond, à celui que nous venons de donner, n'était pas aussi explicite; Clausius disait : La chaleur ne peut passer d'elle-même d'un corps froid sur un corps chaud. Hirn essaya de montrer que, dans certains cas, ce principe est en défaut. Exposons et réfutons en même temps les ohjections de Hii-n.

Considérons un cylindre ABCO {fig. ii) contenant un

Fig. i(.

piston EF de part et d'autre duquel se trouvent deux masses gazeuses à des températures différentes Ti et T-j. Supposons le piston et les parois du cylindre autres que la paroi AB imperméables à la chaleur, et admettons que la paroi AB

LE l'IUNCIl'E DE C.VRNOT-CLALSIIS. IIQ

soil en contact avec un corps à une température T', plus grande que T, mais plus petite que T,. Ce corps cède de la chaleur au gaz enfermé dansABEF; par suite, ce gaz éprouve une dilatation et pousse le pistou EF; il en résulte une compression adiabalique du gaz enfermé dans l'enceinte EFCD imperméable à la chaleur, et, par conséquent, une élévation de température de ce gaz. Ainsi de la chaleur a été transportée d'un corps à la température T'j à un gaz doni la température T2 est plus grande que ïi.

Mais ce transport de chaleur n'est pas en contradiction avec le principe de Clausius. La chaleur est passée, il est vrai, du corps froid au corps chaud; mais il y a eu en même temps passage de chaleur du corps dont la température est T'i au gaz dont la température est Tj, c'est-à-dire d'un corps chaud sur un corps froid. Il est vrai que Ilirn supposait T'i infiniment peu supérieur à T, ; mais que la différence T'j — ï, soil infiniment petite ou finie, elle existe et, si elle est infiniment petite, l'échange de chaleur, ainsi que la dilatation et la compression des deux gaz, s'arrêtera dès que Ti sera devenu égal à T, , c'est-à-dire au bout d'un temps infiniment petit. La quantité de chaleur cédée sera de même ordre de graufleur que la différence T'j — T,.

97. Passons à la deuxième objection de Hirn. Prenons deux cylindres A et B de même section {fig. 12) dans lesquels se meuvent deux pistons liés de telle sorte que l'un s'abaisse d'une quantité égale à celle dont l'autre s'élève. Ces deux cylindres sont imperméables à la chaleur et sont reliés par un canal de communication qui laisse passer la chaleur.

THKRMODYNAMIQIE.

Supposons le j/iston du cylindre B au bas de sa course, le cylindre A rempli d'air à o° et le tube de communication chauffé à ioo°. Si nous soulevons le piston B, l'air à ioo° contenu dans ce tube passe dans le cylindre B et esl remplacé par une portion de l'air froid de A. Cet air froid se

Fig. 12.

dilate et comprime l'air contenu dans les deux cylindres; la température de l'air de A devient plus grande que o°, celle de l'air de B plus grande que ioo°. Si nous continuons à soulever le piston B, une nouvelle quantité d'air à loo" pénètre dans B et en môme temps une cerlaine (pianlité d'air froid de A s'échauffe à ioo° dans le canal de conimunicalion; une nouvelle compression se produit et la lenipérature s'élève dans chacun des cylindres. Le calcul montre que, lorsque le piston A est au bas de sa course, la température de l'air dans B est 120°. Ainsi, dit Hirn, on a pu échauffer de l'air jusqu'à 120° avec une source à 100° sans qu'il y ait eu de travail dépensé, puisque le piston A s'est abaissé d'une quantité égale à celle dont B s'est élevé.

Mais cette objection est aussi facile à réfuter que la précétlente. Il y a encore passage de la chaleur d'un corps chaud sur un corps froid : de la source qui maintient le tube de communication à 100" au gaz froid qui s'écoule de A. Une portion de celle chaleur sert à échautfer ce gaz;

l.E PIUNCU'E UE CAKNOT-CLArSUS. ' '^ 1

une autre est employée à élever la température du gaz déjà passé dans H. Ainsi il y a simultanément transport de chaleur d'un ('ori»s chaud sur un corps froid et transport de chaleur tl'un corps froid sur un corps chaud, ce que ne contredit pas le principe de Clausius.

98. Si l'on faisait re\i)érience inverse, c'est-à-dire si l'on faisait passer l'air à 120° du cylindre H dans le rylindie A à travers le tube de communication maintenu à 100", on trouverait que, lorsque le piston B est au bas de sa course, la lempéraliM-e du gaz est redevenue o**. Au premier abord, il semble encore que la chaleur est passée d'elle-même d'un corps froid à un corps chaud : du gaz dont la température finale est o" à la source dont la température est 100°. En réalité, il y a eu en même temps passage de chaleur du gaz à 120° du cylindre B à la source, c'est-à-dire d'un corps chauil à un corps froid.

Les objections de Hirn ne résistent donc pas à la critique. Il n'en pouvait être autrement.

Hirn aurait pu, par des expériences nouvelles, montrer que K's lois auxquelles satisfont les gaz ne sont [)as celles qui sont généraleinent admises, il pouvait même ainsi réfuter le principe de Clausius, mais il n'a pas opéré ainsi ; il a, sans faire aucune expérience nouvelle, raisonné sur les gaz paifaits en leur appli(|uant les lois classiques de Mariette et de Gay-Lussac, ainsi que les lois de Kegnaull sur la constance des chaleurs spécifiques. Or, nous verrons que ces lois entraînent comme conséquence le principe de Carnot. Il était donc illusoire d'y chercher la réfutation de ce principe.

99. Énoncé à l'abri des objections précédentes. — Imaginons un système soustrait à toute action extérieure et composé de n corps, Aj, A2, . . ., A„, dont l'état ne dépend que de deux variables indépendantes, la température T et le volume spécifique c. Supposons que la température T, du corps A, soit plus élevée que la température T2 de A. et faisons subir au système une transformation qui l'amène à l'état suivant : tous les corps du système, sauf Ai et A2, sont dans leur état initial; les volumes spécifiques de Ai et A, ont la même valeur qu'avant la transformation. Dans pes conditions, il est impossible que Ai se soit échauffé et que A2 se soit refroidi. Tel doit être l'énoncé du principe de Clausius pour être à l'abri de toute objection.

Ainsi, cet énoncé suppose trois restrictions : 1° le système est isolé, c'est-à -dire qu'il n'emprunte ni ne cède de chaleur à l'extérieur, qu'il n'accomplit aucun travail extérieur positif ou négatif; 2° tous les corps du système, sauf deux, reviennent à leur état primitif, en d'autres termes, décrivent des cycles fermés ; 3° les deux autres corps reprennent leur volume spécifique initial.

En effet, sans cette troisième restriction, nous pouvons comprimer adiabatiquement le corps Ai et détendre adiabatiquement le corps Aj ; en utilisant le travail résultant de cette délente à la compression de A,, le système ne reçoit aucun travail de l'extérieur; il ne reçoit pas non plus de chaleur, puisque la compi^ession et la détente sont adiabaliques; les deux premières restrictions sont donc satisfaites. Cependant, le corps le plus chaud Ai s'est échauffé par suite de la compression, le corps le plus froid Ao s'est refroidi par suile de la détente. Le principe de Clausius pourrait

LE PRINCIPE DE CAUNOT-CLAISIIS. I .>-3

donc se trouver en tléfaul dans quelques cas si l'on négligeait la troisième restriction.

100. La nécessité de la iMemière restriction ne fait aucun doute. Néanmoins, montrons, en précisant les conditions nécessaires, qu'il est possible de faire passer de la chaleur d'un corps froid sur un corps chaud en fournissant du travail au système.

Considérons une machine tliermique ; soient p et »• les variables qui définissent l'état du corps C qui se transforme et dont nous supposerons la masse égale à \^^. Quand ce corps décrit un cycle fermé, le travail extérieur jjroduit est

T=: / pdv, l'intégrale étant prise le long de la courbe représentative de la transformation; ce travail est positif si le point représentatif se meut sur cette courbe dans le sens des aiguilles d'une montre ; il est négatif lorsque la courbe est parcourue dans le sens rétrograde. D'après le principe de l'équivalence, ce travail est égal au produit de E par la quantité de chaleur fournie au corps. Si donc nous appelons Q, la quantité de chaleur fournie à C par la source chaude de la machine thermique, Q, la quantité que ce corps cède à la source froide, nous avons

(I) Q,-Q,=zAt.

Lorsque le cycle de C est compris entre les isothermes correspondant aux températures T, et T, des sources chaude et froide, la température de C est toujoui'S inférieure à T, : ce corps ne peut donc céder de la chaleur à la source chaude, il ne peut que lui en prendre ; par suite.

TlIKUMODYNAMIQUE.

Q, esl nécessairement positif, quel que soit le sens dans lequel le cycle est décrit. Pour des raisons analogues, Q, esl positif. On ne peut donc, dans ces conditions, em|)runter de la chaleur à la source froide pour la porter sur la source chaude, même lorsque, le cycle étant décrit dans le sens rétrograde, on fournit du travail au système.

Mais supposons la courbe représentative des tranfoimations du corps C formée de deux adiabatiques AI) et BC {Jig. i3) réunies par des arcs de courbe quelconques com-

Fig. i3.

prenant entre eux les isothermes T, et T., correspondant aux sources chaude et froide. Quand le cycle est décrit dans le sens rétrograde, la quantité de chaleur que le corps abandonne pendant la transformation lîA peut être su|)|)osée cédée à la source chaude, puisque celle-ci est à une température inférieure au corps; par conséquent, la (|uantité de chaleur Q, empruntée à la source chaude est alors négative. La quantité de chaleur absorbée par le corps pendant la transformation DC peut être siqiposée empruntée à la source froide, dont la température Ta esl supérieure à celle

I,K PUINCII'E DE CARNOT-OLAISILS. I'i'>

ilu corps; par suite, Qo est négatif. Dans ces conditions, de la chaleur est empruntée à la source froide et transportée à la source chaude. D'ailleurs, puis(|ue r est négatif, la relation (i) inonlrc (pie Qj est plus grand, en valeur absolue, que Qo ; h> (juantité de chaleur transpoi'tée à la source chaude est donc plus grande que celle qui est prise à la source froide.

101. Autre énoncé du second principe de la Thermodynamique. — On énonce quelquefois ce principe sous la forme suivante : // est impossible de faire fonctionner une machine ther/nii/i/e avec une seule source de chaleur.

De cet énoncé et de la conclusion du § 93 il résulte que

le coefficient économique ^ d'un cycle de Carnet ne peut être plus grand que le coefficient ^ d'un cycle de même

génie fonctionnant entre les mêmes limites de température.

Le coefficient -^ du second cycle, qui est aussi un cycle de

Carnot, ne peut, pour les mêmes raisons, être plus grand

que ^- Ces deuA coefficients sont donc égaux; par suite,

le théorème de Carnot est une conséquence de cet énoncé. D'ailleurs, il est évident que, réciproquement, si le théorème de Carnot est vrai, l'énoncé précédent l'est aussi; ces deux propositions sont donc équivalentes.

Mais le théorème de Carnot est aussi une conséquence de l'énoncé de Clausius et, réciproquement, le principe de (^lausius se déduit du théorème de Carnot. Par conséquent, l'énoncé de Clausius doit être équivalent à l'énoncé précé-

denl; il est donc indifférent de prendre l'un ou l'autre de ces énoncés pour second principe de la Thermodynamique.

102. D'ailleurs on peut, d'une autre manière, monirer l'équivalence de ces deux énoncés.

Montrons d'abord que, si le principe de Clausius était faux, on pourrait faire fonctionner une machine avec une seule source.

Soient A et B les deux sources de la machine thermique, dont les températures sont T, et T2. Si nous faisons fonctionner celte machine dans le sens direct, nous obtiendrons un travail t en empruntant une quantité de chaleur Qi à la source chaude A et en cédant une quantité Qj à la source froide B. Mais, si le principe de Clausius ne s'appliquait pas aux corps A et B, nous pourrions ensuite emprunter une quantité de chaleur Q, à la source froide et la céder à la source chaude sans dépenser de travail. Par conséquent, à la suite de ces deux opérations, la source chaude reprendrait son état initial et nous aurions obtenu un travail r en empruntant une quantité de chaleur Qi — Q^ à la source froide.

103. Réciproquement, s'il était possible de produire du travail avec une seule source de chaleur, on pourrait transporter de la chaleur d'un corps froid sur un corps chaud sans dépense de travail.

En effet, le travail r produit en empruntant une quantité de chaleur Q à une source dont la température est Tg peut être transformé en force vive et cette force vive transformée en chaleur par frottement. Comme rien n'empêche de supposer la température Ti des corps qui frottent plus grande