CHAPITRE I

1. La découverte du principe de l'équivalence. — Il est difficile de dire à qui apparlienl l'honneur d'avoir découvert le principe de l'équivalence de la chaleur el du travail mécanique.

Sadi Carnot semble l'avoir reconnu vers la fin de sa vie; mais ses recherches sur ce sujet, consignées dans des Notes manuscrites publiées seulement dans ces dernières années, restèrent longtemps ignorées et ne furent d'aucun profit pour la Science. 11 était réservé à Robert Mayer de le retrouver et de le faire connaître.

Mais, au moment où Mayer énonçait ce principe, Joule était occupé à des expériences qui devaient infailliblement le conduire à sa découverte et qui devinrent la meilleure démonstration de son exactitude. De son côté, Colding, sans avoir connaissance des travaux de Mayer et de Joule, était sur le point d'arriver au même résultat.

Cette simultanéité de recherches, convergeant vers le même but, rappelle la découverte du calcul infinitésimal, découverte à laquelle Newton et Leibnitz possèdent des droits équivalents.

LE PhlNClPE DE LA CONSEK VATION l)K LKNERGIK. 3

Mais, pour qu'une vérité apparaisse ainsi en nièm^ temps à des savants travaillant isolément, et ce fait n'est pas rare dans l'histoire de la Science, il esl nécessaire (jue les esprits s'y trouvent naturellement préparés. Aussi ne |)eut-on séparer l'exposé du |)rincipe de Mayer de celui du mouvement scientitique qui a précédé sa découverte.

2. L'impossibilité du mouvement perpétuel. — Les |)remières traces de l'idée de la conservation de l'énergie remontent très loin.

De tout temps la découverte du mouvement perpétuel a été le but de bien des recherches. Galilée, s'inspirant des conditions de fonctionnement des machines simples, affirma le premier l'impossibilité d'un tel mouvement.

Prenons un treuil, par exemple. Soit Q la force agissant sur la corile qui s'enroule sur le cylindre, de rayon /■, du treuil. Nous pouvons lui faire équilibre en appliquant à la

manivelle une force plus i)etite, Q^» U étant le rayon de

la circonférence décrite par le bouton de la manivelle. Si la machine est animée d'un mouvement uniforme, ces deux l'brces, la résistance et la puissance, sont encore dans le même rapport. Nous pouvons donc avec une force donnée faire monter un corps dont le poids est à cette force dans

un rapport —5 plus grand (jue l'unité. Mais, si nous multiplions la force, nous ne créons pas de travail, car la vitesse du point d'application de la résistance esl à celle du point

d'application de la puissance dans le rapport jr, inverse du

4 ■ THEUMODYNAMIQLE.

précédent. En un mot, le travail de la résistance est égal à celui de la puissance.

Galilée vérifia cette égalité pour le moufle et, en général, pour toutes les machines simples. Mais il observa qu'il fallait prendre pour résistance, non pas la force utile développée, mais celte force augmentée de celles qui résultent des résistances passives telles que le frottement. Ces dernières forces existant nécessairement dans tout mécanisme matériel, Galilée en conclut, avec raison, que le travail utile est toujours inférieur au travail de la puissance. Du travail ne |)eul donc être créé et, par suite, le mouvement perpétuel est impossible.

3. Mais, si aucune machine ne peut créer du travail, il n'est pas évident que le travail ne puisse être détruit. La conservation de l'énergie ne saurait donc être une conséquence de l'impossibilité du mouvement perpétuel, bien que la réciproque soit vraie. Galilée ne pouvait donc se rendre compte qu'il y avait conservation de l'énergie dans les machines qu'il étudiait.

Cependant on trouve dans les œuvres du grand physicien du xvn'^ siècle la notion claire du principe de la conservation de l'énergie, dans un cas particulier, à savoir, dans le cas où la pesanteur intervient seule, le frottement étant supposé nul. On sait, en etfet, que Galilée a démontré que la vitesse acquise par un corps grave tombant d'une hauteur A est égale à s/^gh, quelle que soit la nature du chemin parcouru par le corps par suite des liaisons; on a donc

v = \J-2gh,

LE PniXCIPF. DE LA CONSKRVAÏION DE L KNKlUilK. ^ J

OU

Or, le premier terme de celle relation est l'énergie due à la force vive du corps, la masse de ce corps étant prise pour unité; le second, — gh, est, à une constante près, l'énergie potentielle de ce même corps, ou mieux, du système formé par ce corps et la terre; par conséquent, l'égalilé |irécédente exprime que la somme de ces deux énergies est constante, en d'autres termes (pi'il y a conservation de l'énergie. Huyghens étendit le même principe à un srsièmc de corps pesants.

4. Le principe de la conservation du mouvement. — Quelques années après, Descartes énonce le principe de la conservation du mouvenienl. Certes, sa démonstration n'a rien de scientificpie : « Dieu étant immuable, tlit-il, il a dû conserver la même quantité de mouvement. » D'ailleurs, tel que l'entendait Descaries, ce principe est faux, il est déraisonnable.

En effet, la quantité de mouvement d'un système est la somme des produits des masses des points matériels qui le composent par lés vitesses de ces points. Si donc m,, Wo, ..., m, sont les masses de ces points, ^,, rj,, Ç,, \^, ..., \i. Y)/, s, les composantes de leurs vitesses suivant liois axes, le principe de la conservation du mouvement s'exprime par

\ ///, i'^ :=r const.,

('/ étant

Or, l'inexactitude de cette égalité est évidente. Pour s'en convaincre il suffit de remarquer que, si elle est vraie dans le mouvement absolu, elle cesse de l'être dans le mouvement relatif lorsque les axes sont animés d'un mouvement de translation (').

Modifié convenablement, le principe de Descartes est devenu un des principes importants de la Mécanique : le principe des quantités de mouvement projetées. Il s'exprime par les relations

7 7;î/H,:= const., \ /«/yi/:= consl., 7 /»/C, =: coiist.,

et s'énonce : la somme des projections sur un acce quelconque des quantités de mouvement d'un système (et non plus la somme des quantités de mouvement elles-mêmes) est constanle. C'est à Huyghens qu'est due celte modification.

5. La force vive. — D'ailleurs, quoique faux, le principe de Descartes a une grande importance historique; il a pré paré et conduit Leibnitz à la considération de la force vive.

Comme Descartes, et pour les mêmes raisons métaphysiques, Leibnitz admet f|ue quelque chose doit rester invariable dans l'univers. Ayant remarqué que le carré de la vitesse d'im point est la somme des carrés des composantes,

(') Descartes s'est bien aperçu que son principe n'est pas confirmé par l'expérience; on peut s'en assurer en lisant une remarque qui vient à la suite de sa théorie du choc des corps ; mais il croyait que l'accord serait rétabli si l'on tenait compte de la quantité de mouvement de l'éther.

il fait observer (|iie le produit

m, (•? = nii:.} -+- niinf ■+- ni,^f

est la somme de trois produits aualogues où entrent des vitesses ;,, n,-, Ç, de directions arbitraires. Il en conclut que dans un système de points matériels, où les vitesses ont

des directions quelcon(jues, c'est la somme 7 /«,«'/ de ces

produits, la lorce vive, qu'il faut considérei", et non, comme

le faisait Descartes, la somme 7 m,c,. Leibnilz introduit

en outre ce (|u'il appelle VacLion motrice L'iVaclion latente, et, pour lui, ce qui reste constant, c'est l'action motrice, somme de la force vive et de l'action latente. Leibnitz était donc sur la voie de la découverte du principe de la conservation de l'énergie.

Il semble d'ailleurs que Leibnitz ait eu l'intuition de nos idées actuelles. En effet, suivant ce mathématicien, si l'action motrice paraît se perdre dans certains cas, c'est que les mouvements sensibles sont transformés en mouvements moléculaires. On ne pouvait exprimer plus clairement l'hypotbèse cpii a été l'origine de la Théorie mécanique de la chaleur.

6. Le théorème des forces vives. — Les idées émises par Leibnitz ne tardèrent pas à être précisées; on en déduisit le théorème des forces vives.

Soient m^, m.2, ..., nii les masses des points d'un système matériel; o^,, Vj, ..., j?,, j,, z, les coordonnées de ces points; Xi, Y,, ..., Xj, Y,, Z, les composantes suivant les axes de la résultante de toutes les forces intérieures et

extérieures qui agissent sur chacun des points. Les équations du mouvement de l'un d'eux sont

La demi-force vive du système a pour valeur

En dérivant par rapport au temps, il vient ITT =2-"'''

«fW ■^ ( d^^i dxi d'ji dvi d^Zi dzj

df —2d"^' \ ~dF lu "^ ~d^ ~dt ^ 'W ~dt

et, en remplaçant dans cette expression les dérivées secondes par rapport au temps par leurs valeurs tirées des équations du mouvement, on obtient

dW ■^ /^ dxj

ir ~ 2à\ ''dt

ou

^W = y (X,-^^,+ Yidfi+lidzi).

Le second membre de cette égalité représente le travail de toutes les forces appliquées au système quand leurs points d'application subissent des déplacements infiniment petits. De là le théorème suivant : La variation de la demi-

force vke d'un système est égale à la somme des travaux accomplis par toutes les forces du système pendant le déplacement considéré.

7. La conservation de l'énergie. — Boinons-nous au cas d'un système souinis seulement à des forces intérieures et supposons que ces forces admetlenl une fonction des forces, c'esl-à-dire que Xj, Y,, ... soient les dérivées partielles par rapport aux coordonnées d'une même fonction — V de ces coordonnées; nous avons alors

djLi ay i aZi

Mais, V ne dépendant pas explicitement du tem|)s, par hypothèse, sa dérivée par rapport à t est

d\ Y fd\ dxi^ d\ dvi ^ dX dz^\ dl ^ \ dxi dt dyi dt dz, dt ) '

et par conséquent

d\ = — y \idxi^ Yidy^^ Z,dz,.

Il résulte de celle expression que la variation de la fonction des forces est égale, au signe près, à celle de la demiforce vive ; nous avons donc

^W -4- rfV = o, et en intégrant

W -+- V z=z const.

lO THERMODYNAMIQUE.

La demi-force vive W d'un système étant appelée ener^^e cinétique ou actuelle du système ; la fonction des forces intérieures changée de signe, \ , étant son énergie potentielle; enfin, la somme de ces deux énergies, l'énergie totale ; la relation précédente exprime que l'énergie totale du système considéré est constante, c'est-à-dire qu'il y a conservation de l'énergie.

8. Le travail des forces extérieures. — Considérons maintenant le cas où le système n'est pas isolé, où il y a des forces extérieures. Soient d-: le travail de ces forces et dz' celui des forces intérieures pour un déplacement infiniment petit. Si «?W est la variation de la demi-force vive, le théorème des forces vives donne

dVf = dz -\- dz' .

Si nous supposons encore que les forces intérieures admetteni une fonction des forces — V, nous avons

d\ = -dz'.

Par conséquent, en additionnant, nous obtenons

^W + d\ = dz.

Le travail des forces extérieures pendant un déplacement est donc égal à la variation de l'énergie totale du système pendant ce déplacement.

9. Cas où il y a conservation de l'énergie. — Pour reconnaître s'il y a toujours conservation de l'énergie, il suffit

donc de cliercher si, dans un cas quelconque, les forces intérieures admettent une fonction des forces.

On sait qu'une telle fonction existe lorsque les points matériels du système s'attirent on se repoussent suivant les droites qui les joignent deux à deux avec une force ne dépendant que de la dislance qui les sé|)are, et si, en outre, il y a égalité entre l'aclion et la réaction.

Cette dernière condiiion est toujours réalisée d'après le principe de V égalité de l'action et de la réaction, princi|)e justifié par tous les faits connus. Mais on peut imaginer des systèmes où les forces ne satisfont pas aux conditions ci-dessus et où par conséquent il peut n'y avoir pas conservation de l'énergie. Les j)rii)cipes fondamentaux de la Mécanique ne suffisent donc pas à démontrer dans toute sa généralité le principe de la conservation de l'énergie : ils apprennent seulement que ce principe est vérifié tontes les fois que les forces intérieures du système considéré admettent une fonction des forces.

10. Les conséquences de l'impossibilité du mouvement perpétuel. — Examinons maiiilenani ce qu'il était possible de déduire de ces résultats en les combinant avec le principe de l'impossibilité du mouvement perpétuel enseigné par Galilée.

Montrons que si les foices qui agissent sur les divers points du système ne dépendent que de leurs positions il existe une fonction des forces.

Pour simplifier la démonstration supposons le système réduit à un point matériel M soumis à une force satisfaisant

à la condition précédente et dont les composantes sont X, Y, Z.

La variation de la demi-force vive de ce point pour un déplacement élémentaire est, d'après le théorème des forces vives,

dVf=Xdx + \dy + ldz.

Si le point considéré passe de la position Mq à la position M, la variation W — Wq de sa demi-force vive est donnée par

"^ -^,= Ç{\dx + \dy + ldz),

l'intégrale étant prise le long de la courbe décrite par le point mobile. Dans le cas où le mobile revient à sa position initiale M(,, l'intégration doit alors être prise le long d'une courbe fermée C; soit alors I la valeur de cette inlégrale.