Montrons que 1 est nul

D'abord I ne peut être positif. En effet, s'il en était ainsi, la demi-force vive augmenterait de I lorsque le point matériel décrit la courbe C; en lui faisant parcourir n Ibis cette courbe l'augmentation serait n\. On pourrait donc faire croître indéfiniment la force vive et, si on l'employait à accomplir un travail, on obtiendrail le mouvement perpétuel, ce (pii est contraire au principe de (ialilée.

D'autre part, I ne peut être négatif. En effet, si nous assujettissons le point mobile à décrire la courbe C en sens inverse du précédent, les composantes X, Y, Z de la force reprennent en chaque ])oint les mêmes valeurs que dans le sens primitif, puiscpje par hypothèse X, Y, Z ne dépendent

LE PRINCIPK UE LA CONSKRVATION DK L ENERGIE.

que de la position de leur point d'application ; mais dj:, dy, dz changent de signe ; [)ar suite l'élément dillérentiel

\dx-h\dy-\-ldz

change également de signe. La variation de force vive lors(iue le point matériel revient à sa position initiale est donc alors — 1, c'est-à-dire positive. Or, d'après ce qui précède, cette variation positive entraînerait la possibilité du mouvement perfiétuel. Par conséquent — I ne peut être positif, c'est-à-dire que I ne peut être négatif.

Cette quantité ne pouvant être ni positive ni négative est donc nécessairement nulle.

12. Il résulte immédiatement de là (jue la variation de force vive, lorsque le point passe de la position Mo à la position M, est indépendante du chemin décrit pour passer de l'une à l'autre de ces positions.

Soient, en ellet, deux chemins quelconques MqPiM et

Fig. I.

M0P2M {Jig. i) pour lesquels les variations de force vive sont respectivement Ii et I2. Appelons F cette variation quand le point passe de M en Mo par le chemin MP'Mo-

l4 THERMODYNAMIQLE.

Nous aurons, d'après ce qui précède,

Ii+r=o et. l2-i-r=:o, d'où

Mais I, el Ij sont les valeurs de l'intégrale (xdôc-^Ydf + Zdz

prise suivant les courbes MoPiM et M0P2M. Puisqu'elles sont égales la valeur de l'intégrale ne dépend que de ses limites. Or, c'est une condition suffisante pour que la quantité placée sous le signe d'intégration soit une différentielle exacte. Il y a donc bien une fonction des forces et, par suite, conservation de l'énergie.

13. Considérons maintenant le cas où la force dépend non seulement de la fonction de son point d'a[)plication, mais aussi de la vitesse de ce point.

En répétant le raisonnement du paragraphe 11 on trouverait que I ne peut être positif. Mais on ne peut affirmer que cette quantité n'est pas négative, car la démonstration donnée précédemment ne s'applique plus. En elïet, quand on change le sens du mouvement du point matériel sur la courbe fermée, on change en même temps celui de la vitesse; comme X, Y, Z dépendent de cette vitesse on ne peut plus dire que ces composantes possèdent, au même point de la courbe, la même valeur quel que soit le sens du mouvement; par suite, la variation l de la force vive peut non seulement changer de signe, mais aussi de valeur

LE PRINCIPE DE LA CONSERVATION DE L ENERGIE. l5

absolue quand on inlerveilil Je sens du mouvement. La valeur de l'inlégrale du liavail peut donc dépendre du chemin décrit par le point d'application et il n'y a pas île fonction des forces. On ne peut alors aflirmer (|u'il y ait conservalion de l'énergie dans le système. Telles étaient les conséquences auxquelles l'étude des principes de la Dynamique avait conduit les savants à la fin du xviii'' siècle.