QUELQUES CONSÉQUENCES DU PRINCIPE DE CARNOT

les températures des deux sources chaude et froide, T, et ï'o celles des isothermes du premier cycle, T'î et T'2 celles des isothermes du second cycle ; on doit avoir

Appelons z le travail produit par le premier corps, Qj la quantité de chaleur qu'il emprunte à la source chaude, Q, celle qu'il cède à la source froide, et désignons par — t', — Qi> — Q'2 '^s valeurs des mêmes quantités qui correspondent au second cycle. Nous allons démontrer que l'on a

Prenons une machine AI fonctionnant dans le sens direct suivant le cycle K et associons-lui une machine M' fonctionnant dans le sens rétrograde, suivant le cycle K'. Si /n et m' sont les masses des corps C et C qui se transforment dans ces machines, nous aurons pour la chaleur empruntée à la source chaude par leur ensemble

fnQi — m' Q\.

Les quantités Q, et Q', étant positives (106), nous pouvons prendre pour m et m' des valeurs telles que cette quantité soit nulle. Mais alors le travail produit par les deux machines mz — m'r' ne peut être positif, car nous aurions production de travail avec une seule source de chaleur; il faut

donc

mz — m'z'1.0,

ou, en remplaçant m et m' par les quantités 77- et rp- qui

l4o THERMODYNAMIQUE.

leur sont proportionnelles par suite de l'hypothèse que nous avons faite,

Le coefficient d'un cycle décrit dans le sens direct est donc au plus égal à celui d'un cycle dans le sens rétrograde.

116. Considérons maintenant deux cycles de Carnot K et K' définis par les quantités T'i, T',, v\, v'^ pour le premier, T[, T'2, ç\, ('2 pour le second. Faisons décrire au corps C le premier cycle dans le sens direct et au corps C le cycle K' dans le sens rétrograde entre deux mêmes sources de chaleur dont les températures sont Ti et T,. Pour que cela soit possible nous devons avoir, comme nous l'avons déjà dit,

et si ces conditions sont réalisées nous aurons, d'après le paragraphe précédent,

Si nous supposons que les températures des isothermes et des sources satisfont aux inégalités

nous pouvons décrire le cycle K dans le sens rétrograde et le cycle K' dans le sens direct : par suite nous avons

La fonction/ étant continue, nous pouvons faire tendre Tj et T'i vers ïi et T'^ et T'.^ vers T2 sans (|ue les signes des

QLELQIES CONSÉQUENCES Dl PRINCIPE DE CARNOT. l4 I

inégalités (i) et ( 2) changent; nous aurons donc, ;i ht limite, /(T„ T„ r',, r;, C) </(T„ T„ v\, i-;, C),

inégalités qui ne peuvent être satisfaites simultanément que si l'on a

La valeur de la fonction /ne doit donc pas dépendre des valeurs de t-, et de r,, ni de la nature du corps C; en un mot, la fonction de Carnol ne dépend que des températures ï, et ï, des isothermes. Nous avons vu que Carnol était arrivé à cette conclusion bien qu'en s'appuyant sur des notions inexactes.

117. Le coefficient économique d'un cycle quelconque est au plus égal à celui d'un cycle de Carnet. — Soient K un cycle quelconque et K' un cycle de Carnot fonctionnant entre les mêmes sources. Nous pouvons décrire le cycle K' dans le sens rétrograde; il suffit pour cela que les températures Ti et T', des isothermes de ce cycle comprennent entre elles les températures T, et T, des sources. D'après

(115), le coefficient économique ~ du cycle K est au pins

égal au coefficient -^ du cycle K'. Ce dei'nier est égal à la

fonction de Carnot relative à ce cycle, fonction que nous pouvons écrire /(T,,!,) puisqu'elle ne dépend que de J[ et ï.i ; nous avons donc

Mais nous pouvons considérer les températures des isothermes comme infiniment peu différentes de celles des sources; la fonction / étant continue, nous aurons à la limite

Le coefficient économique d'un cycle quelconque est donc au plus égal à celui d'un cycle de Carnot dont les températures des isothermes sont celles des sources.

118. Expression de la fonction de Carnot. — Nous avons vu (43) que l'hypothèse de la conservation du calorique conduisait à considérer la fonction de Carnot comme la diffé-

Fig. i8.

rence/(T,) —/(Tj) de deux fonctions d'une seule variahle, et nous avons dit que cette conséquence était inexacte. Monlrons-le et cherchons la valeur de cette fonction.

Considérons trois isothermes AH, Cl), EF {fig. i8) correspondant aux températures T,, Tj, T3 et coupées par deux adiahatiques AE et BF. Soient

Q,= f dQ,

Qs-= àQ

QUELQUES CONSÉQUENCES DU PRINCIPE DE CARNOT. rjS

les quanlilés de chaleur qu'il faul fournir au corps qui se transforme quand son point figuratif décrit les arcs AB, Cl), EF de ces isothermes. Pour le cycle de Carnot ABCD, nous avons

et, d'après le principe de l'équivalence, Q,0,= Ar. .

De ces deux égalités nous tirons

Nous pouvons donc écrire

Pour les deux cycles CDFE et ABFE, nous aurons également

Ces trois dernières égalités nous donnent

,rp rp . 9(T,, T;j)

VI l2> I3)

OU, en regardant T3 comme une constante,

l44 THERMODYNAMIQUE.

Nous avons donc, d'après la valeur de cp,