Mais, si nous posons la dernière inléffrale devient
et l'égalité de Clausius nous donne
De celte relation et de celle que nous fournit le principe
de l'équivalence
Ar=Q,-Q„
nous déduisons
Cette expression du rendement thermique ne diffère donc de l'expression (i) déjà trouvée que j)ar la substitution de T'j à Ti. Elle donnera une valeur plus approchée de la valeur réelle si T'i est plus petit que T,; c'est ce qui a lieu.
En effet, pour T'j = Ti, le second membre de la relation qui définit T'j devient
Or nous avons pour le premier membre
T^ ' ï, - "" V il ) '^\
MAriiiNKs A VAPtru. -297
ou, en développant le logariihme en série,
La différence T, — ïj étant plus [iclitf que ïo, les lernies de cette série vont en décroissant, et l'on a
et, « fortiori.
los:— i > — ! -i
Le premier membre de la relation est donc plus irrand que le second pourT'jr^T,; par suite, il ne peut y avoir égalité que pour T, < Tj.
225. Expression du rendement maximum lorsque la vapeur est surchauffée. — Supposons maintenant la vapeur snrcliautfee, et soient T., la température du cmidenseur, T, celle de la chauilière, et To celle de la vapeur surchauffée.
Nous aurons, comme précédemment, en négligeant la chaleur perdue par rayonnement,
Pour avoir la chaleur absorbée par l'eau pour passer de la température T, à~la température Tq il nous suffit d'ajouter à l'expression trouvée pour Q,, au paragraphe -lii, la clialeur qu'il faut fournir à la vapeur pour l'amener de T, à Tq.
Si nous désignons par C la chaleur spécifique de la vapeur sous la pression qui règne dans la chaudière, et si nous supposons qu'elle demeure constanle, nous avons pour cette quantité de chaleur supplémentaire C(ïo— Ti). Il en résulte pour l'expression de la chaleur totale Qi ahsorhée par l'unité de masse d'eau
Q, = T,-T2+L-+-C(To-T,).
Le terme complémentaire à ajouter à l'expression trouvée V/0,
)Our / ^p-
est
CLoî
par conséquent.
Si donc nous posons
,,, r T, L , ^ To T,-T, + L + C(T,>-T.) (4) Log rp- + ^ + L Log ;j^ = Y' '
nous aurons encore pour l'expression du rendement Ar T: — T,
226. Effet de la surchauffe sur la valeur du rendement. — Il nous est alors facile dé nous rendre compte de l'avantage (|uc présente une machine lorsqu'on surchaull'e la vapeur.
Pour fixer les idées, admettons (|uc la lempéralurc de la
MACHINES A VAPEIH. 299
chaudière soit iSo^C, celle du coudenseur .'\o" et que la vapeur suicliaull'ée alleigne 25o-. Les valeurs de T,, Tj etTo sont, dans ces conditions,
Tj^: 40 -i- '-^73 = 3l3,
To = 25o 4- 273 z=i .■>23.
Si nous portons ces valeurs dans la relation (4), nous obtenons Tj = 41 1°,
Dans le cas où la même machine fonctionnerait sans surchauffe de la vapeur, la vapeur de T^ déterminée par la relation (2) serait 406".
L'emploi de la surchauffe augmente donc très peu la température Tj; par conséquent, les valeurs du rendement avec ou sans surchauffe doivent être i^eu différentes. On trouve en effet 0,288 dans le premier cas et 0,204 dans le second.
Cette faible augmentation du rendement s'explique parce fait que la plus grande partie de la chaleur Q, est fournie au moment de la vaporisation, c'est-à-dire à la température T] de la chaudière, qu'il y ait ou qu'il n'y ait pas surchauffe de la vapeur. La valeur de l'intégrale I -7p^ est donc,
dans les deux cas, fort peu différente de 7^ et, par suite, les valeurs de T\ sont toutes deux voisines de T,.
227. Machines à vapeur à détente. — Les divers moyens proposés pour augmenter le rendement maximimi des machines thermiques présentant des inconvénients qui les
3oo
rendent à peu près iiKipi)licables, les constructeurs se sont efforcés de perfectionne!- le fonctionnement et les organes des machines à vapeur de manière à obtenir un rendement aussi rapproché que possible du maximum qu'il peut prendre pour des températures réalisables de la chaudière et du condenseur.
Le plus important de ces perfectionnements est l'emploi général de la délenie. Dans les machines à délente l'admission de la vapeur dans le cylindre n'a lieu que pendant une partie de la durée de la course du piston; la communication du cylindre avec la cliaiulière est supprimée pendant une autre partie de celle durée et la vapeur n'agit alors (|u'en vertu de son expansibilité : c'est la période de détente. II résulte de cette disposition une notable économie de vapeur, tout en |iroduisant une même (|uantilé de travail; le rendement thermique se trouve donc augmenté..
Mais pour que le piston, arri^é au l:)out de sa course, puisse revenii' sur lui-même sans rencontrer de résistance
Fig. 3o.
BD
notable, il faut cpie la pression sur la face AB {Jïg. 3o), qui précédemment subissait l'action de la vapeur, soit plus faillie que celle qui s'exerce sui' l'autre face CI). Vowv réaliser cette condition, on met l'espace AIJEF en comnuuiicatiou avec le condenseur avant (pie le piston soit arrivé au bout
.MAClllNKS V VAI'Kl U. îOI
de sa course: c'est ce qu'on ;i|)pelle Vcchdppcnicnl anticipe. Dans le même bul on lai( (■(nniniini(|(nM' l'espace CU(iII avec la chaudière wn peu avani la lin de la couise du piston : c'est Y ad m ission a ntici/'ce.
Celte admission anticipée de la vapeui' doit également se produire dans l'espace EFAI> (piand, le jjiston revenant sni' lui-nièine, il n'est |)lus qu'il une [)elile distance de EF. Si la pression de la va|)ein' clans cet espace esl |)eu diirérenle de celle de la chaudière au moment où s'ouvre la Imnière d'admission, la quantité de vapeur prise à la chaudière est faible. Or il esl facile de réaliser celte condition; il suflit de supprimer la communication, qui existe entre AHEFet le contlenseur depuis le commencemeni du mouvenujnl de retoiu", un temps suffisant avanI l'admission antici[)èe de lavaiteur. Pendant tout ce tcnips, la vapeur est comprimée entre le pislon et le fond EF du cvlindre : c'est la période de compression.
En résumé, la durée d'une double course du i)islon se décompose en six périotles qui se suivent dans l'ordre suivant si l'on considère ce cpii se passe à gauche du pislon et si l'on suppose que le mouvement de celui-ci s'elfectue d'abord de gauche à droite :
1° Admission \
2° Délente pendant l'aller;
3« Échappement anticipé /
4° Échappement i
5'^ Compression pendant le retour.
6° Admission anticipée
3o2 TIIERMODYXAMIOIE.
228. Distribution de la vapeur par tiroir et par soupapes. — Il esl évident que la durée de chacune de ces périodes influe sur la valeur du rendement de la machine. Ainsi l'échappement anticipé et l'admission anticipée ne doivent pas avoir une trop grande durée, car, si ces périodes sont favorables au bon fonctionnement de la machine dans une certaine mesure, elles offrent un inconvénient grave : le travail de la vapeur pendant ces périodes est résistant. Il en est de même de la période de compression pendant laquelle la vapeur exerce sur la face d'avant du piston une contrepression qui diminue le travail.
Mais, lors(iue la distribution de la vapeur s'opère au moyen d'un tiroir, ce qui a lieu le plus souvent, les durées de chacune de ces six périodes ne peuvent varier arbitrairement et, par suite, ne peuvent pas toujours avoir les valeurs exigées poui- atteindre le meilleur rendement.
En eflel, dans le mouvement du tiroir, aller et retour, on trouve quatre périodes : admission de la vapeur, détente, échappement, compression. Les quatre intervalles de temps qui séparent les instants oii commencent ces périodes de celui où le piston se met en mouvement dépendent de trois quantités : l'angle de calage de la manivelle du tiroir, la grandeur du recouvrement extérieur et la grandeur du recouvrement intérieur. Il existe donc une relation entre ces quatre intervalles de temps et par conséquent entre les durées des six périodes de la course du piston qui dépendent nécessairement du mouvement du tiroir.
Si le mouvement de l'arbre de couche de la machine, sur lequel estcalée l'excentiique du tiroir, est mis en mouvement au moyen d'une manivelle et d'une bielle attachée à la tige
MACHINES A VAIT-IH. 3o'i
du piston, la relalioii (ini lie les quatre intervalles de temps dont il vient d'être question montre que la durée de la détente est égale à celle de la compression dans le cas limite on la bielle et l'excentrique sont supposées infinies. Comme il y a avantage à pousser la détente très loin et, au contraire, à n'avoir qu'une faible compression, la relation précédente semble de nature à empêcher l'obtention du meilleur rendement. Ceiiendant, la détente se produisant ww niument oij le piston est vers le milieu de sa coui'se tl'aller et la compression vers la fin de la course de retour, la vitesse du piston est plus grande pendant la détente que pendant la compression, et, par conséquent, quoique la durée de ces périodes soit la même, la détente est beaucoup plus sensible (|ue la compression. Néanmoins on est toujours obligé, pour ne pas avoir une compression trop considérable, de i»rendre pour durée commune de la com{)ression et de la détente une valeur plus petite que celle (|ui conviendrait à une bonne détente; il en résulte une durée trop longue à l'échappement anticipé.
La durée de l'admission anticipée est également i)Ius longue qu'il ne conviendrait. Cela tient à ce que les lumières d'admission de la vapeur ne se trouvent que peu à peu découvertes par le tiroir; la pression de la vapeur, obligée de traverser un orifice étroit {laminage à.Q. la vapeur), est alors plus faible dans le cylindre que dans la chaudière pendant les premiers instants de l'admission. Si donc on veut qu'au moment où le piston revient sur lui-même la pression soit peu différente de celle de la chaudière, il faut faire commencer l'admission un temps relativement long avant que le piston soit arrivé au bout de sa course. Il est nécessaire
3o4 THERMODYIVAMIQUE.
d'ailleurs que la lumière soit hugenient ouverte au moment où la vitesse du piston devient sensible : sans quoi les frottements seraient trop considérables.
229. Dans les machines Corliss l'admission et l'échappement se font au moyen de soupapes s'ouvrant brusquement à un instant variable à volonté; il est donc possible de pousser la détente aussi loin qu'on le veut, tout en réduisant la durée de la compression au strict nécessaire. En outre, il ne se produit pas de laminage de la vapeur au commencement de l'admission, et l'on peut alors ne donner qu'une très courte durée à l'admission anticipée. Ces considérations expliquent pourquoi les machines Corliss sont souvent préférées aux machines à tiroir. Elles présentent cependant un défaut, inhérent à leur supériorité : la complication des organes de distribution.
230. Diagramme et rendement d'une machine réversible à cylindre imperméable à la chaleur. — La théorie de la machine à vapeur nous fera voir à quel point les machines réelles s'écartent des machines théoriques; nous allons d'aborti exposer la théorie de Clausius, qui a été longtemps classique et qui serait exacte si les parois du cylindre n'étaient i)as susceptibles d'échanger de la chaleur avec la vai)eur; si, par conséquent, ces parois sont très peu conductrices, nous verrons ensuite combien les conséquences de cette théorie sont différentes de la réalité. Admettons (jue les transformations (luesubill'eau sont révei'sibles et, prenant comme coordonnées la pression de la vapeur et le volume qu'elle occupe dans le cylindre, construisons la courbe des
MACIIINKS A VAI'FAR.
transformations |)()ui" une machine à délenlc doiii le ( \ 1 indic est imperméable à la clialciir.
Pendant lf)ute la dméo de la période d'admissi(»n la pression de la vapeur dans le cylindre est égale à celh; de la chaudière, puisque, par suite de l'hypothèse de la réversibilité des transformations, nous négligeons les perles de charge résultant du IVotlement de la vaiieiir contre les parois des canaux (|ui l'amènent de la chaudière au cylindi'e.
Fig. 3i.
Cette première |)ériode est donc représentée par la drdile A]> {fig. 3i) parallèle à l'axe des \\
La détente (pii suit la |)ériode d'admission est nécessairement adiabatiqne, puisque le cylindre est sup[)osé imperméable à la chaleur, A la fin de cette détente la vapeur doit se trouver à la température du condenseur, à cause de l'hypothèse de la réversibilité. Sa pression est donc celle de la vapeur d'eau saturée à la température du condenseur et elle conserve la même valeur pendant toute la din^èe de l'échappement. Par conséquent, la période de détente et celle d'échappement anticipé sont respectivement représentées par la courbe BC et la droite CD.
Le piston revenant sur lui-même, le volume diminue et la période d'échappement est représentée par la droite DE.
3o6 THERMODYNAMIQUE.
La compression qui se produit ensuite est atliabalique et la pression de la vapeur à la fin de celte période est celle de la chaudière; elle est donc représentée par la courbe EF.
Enfin la portion de droite FA correspond à la sixième période, l'admission anticipée de la vapeur.
231. Remarquons que, les parois du cylindre étant supposées imperméables, toute la cbaleui' abandonnée par la vapeur est absorbée par le condenseur; en d'autres termes, il n'y a pas de perte de chaleur |)ar rayonnement. Si nous négligeons encore la faible quantité de chaleur qu'il faut fournir à l'eau d'alimentation de la chaudière pour élever sa température jusqu'à celle du condenseur, nous nous trouverons dans les conditions énoncées au paragraphe 222. D'autre part, le cycle décrit par la vapeur est réversible. Par conséquent, le rendement thermique de la machine a la valeur
X' — T', maximum ' ,- — -y T'j étant donné par la relation (2) du ^ 1
paragraphe 224.
L'existence d'un espace nuisible entre le fontl dii cylindre et le piston, ([uand celui-ci est au bout de sa course, n'inllue pas sur la valeur de ce rendement. En effet, le diagramme conserve exactement la même forme ; il n'y a que sa position par rapport à l'axe des pressions qui se trouve changée : le point A est sur cet axe quand il n'y a pas d'espace nuisible, le volume de la vapeur étant alors nul; il est à droite de cet axe quand il y a un espace nuisible. La forme du diagramme ne changeant pas, le travail de la machine par coup de piston demeure le même. D'un autre côté, la quantité de vapeur nécessaire à un coup de piston ne varie pas. \in cfl'et,
MACHINES A \AI'i:iR. 3o^
l'espace nuisible, s'il existe, est rempli de \apeur à la môme pression que la chaudière dès le commencement de l'admission; aucun empninl de vapeur n'est donc fait à la chaudière pour le remplir. La quanlilé de vapeur ne variant pas, il en est de même de la chaleur qu'il faut fournir pour la produire; par conséquent, le rendement de la machine reste le même, qu'il y ait ou non un espace nuisible.
232. La forme générale du diagramme n'est pas non plus changée si la vapeur, en pénétrant dans le cylindre, entraîne avec elle des gouttelettes liquides. Cependant la valeur du rendement est un peu diminuée. En ellet, la quantité de vapeur employée par coup de piston ne varie pas et la chaleur nécessaire pour la produire reste la même. Mais l'eau entraînée a absorbé de la chaleur pour passer de la température T, à la température T, à laquelle elle se trouve quand elle pénètre dans le cylindre. La quantité de chaleur correspondant à un coup de piston est donc plus grande que lorsque la vapeur est sèche; par conséquent, le rendement de la machine est moindre que dans ce dernier cas, bien que la courbe de détente soit un peu relevée.
On peut le montrer autrement. Si m est la masse de la vapeur dans l'unité de masse du mélange de vapeur et de gouttelettes, la quantité de chaleur qu'il faut fournir pour amener dans ce dernier état l'unité de masse d'eau prise à T. est
Qi— T,— Tj+Lm.
Pour cette transformation, l'intégrale f^ a pour valeur
•3o8 • THERMODYNAMIQUE.
Par conséquent, la valeur de ï'i qu'il faut prendre dans l'expression du rendement est donnée par la relation
, Ti Lm T, — T,+ L/«
Logqv- + ^i^ = f 7
12 Al il
Or il est facile de voir que la valeur de Tj est plus grande pour m=zi, c'est-à-dire quand la vapeur est sèche, que pour /?i<i, c'est-à-dire quand la vapeur est mélangée d'eau liquide. Toutefois, /n étant toujours voisin de l'unité, la différence entre ces valeurs de T^ est faible et le rendement est i)eu diminué.
233. Effet de la condensation de la vapeur d'eau pendant la détente. — Nous avons vu que, si la température de la chaudière est i5o° C. et celle du condenseur ^0°, on
a T', = 4o6° et — ^-7p7 — ^=0,204. Ce dernier nombre est 1 1
donc la valeur du rendement d'une machine réversible à vapeur sèche.
Mais les températures T, et T\ satisfont aux relations
Q, fclQ. Q, rdQ,
et, comme on a
il en résulte
et par suite
tt-t;'
HACIIIMCS A VAPEUR. SoQ
La valeur du lendemenl peut donc être calculée quand on connailla quantité de chaleur empruntée Q, et la quantité cédée Q.,.
Regnault a fait ce calcul en se seivant des nombres qu'il avait obtenus dans ses expériences sur les chaleurs latentes de vaporisation. La chaleur latente de vaporisation de l'eau étant ooo pour la température de i5o° et 56o pour celle de 40**, on a
0 , =r : .5o — 4 0 -1- .5oo := 6 1 0,
Q,= 56o; il en résulte
Qi 610
Cette valeur du rendement est beaucoup plus faible que
celle déduite du rai)porl —^ — '-; elle est même beaucoup
plus faible que celle du rendement réel des machines, la quelle, d'après Hirn, est environ o, 12.
234. L'explication de cette différence est facile. Nous savons, ce qu'ignorait Regnault, que la vapeur d'eau se condense en se détendant. Par conséquent, au moment où le condenseur est mis en communication avec le cylindre, celui-ci contient un mélange de vapeur et d'eau liquide, à la même température que le condenseur lorscjue la machine est réversible. Si donc jc est la masse de l'eau liquide et i — a: celle de la vapeur pour masse totale égale à l'unité, la quantité de chaleur cédée au condenseur n'est que .56o(i — .v) par unité de niasse. La quantité Q2 se trouvant ainsi dimi-
nuee, le rendement ■ — -- — - est aui^mente et, pour une
machine réversible, il reprend, comme cela doit être, la
valeur donnée par le rapport ' — ^•
De cette explication il résulte que la condensation delà vapeur pendant la détente exerce un effet utile sur la valeur du rendement. On a voulu en conclure, à tort comme nous le verrons plus loin, que la chemise de vapeur, employée pour protéger le cylindre contre le rayonnement extérieur et empêcher la condensation de la vapeur, était inutile et même nuisible.
235. Influence de la durée de la détente et de celle de la compression sur la valeur du rendement. — Lorsque la durée de la détente et celle de la compression ne sont pas rigoureusement égales à celles qui correspondent au diagramme représenté par la figure 3i, le rendement de la machine est diminué. Cela résulte immédiatement de ce que, les transformations cessant d'être réversibles, le maximum du rendement ne peut être atteint.
Maisia considération du diagramme de la machine permet d'arriver à la même conclusion.
Si la durée de la détente est trop courte, le diagramme de la machine est AB bcDTLFk {/ig. 32). L'aire de ce diagramme est plus petite que celle du diagramm.o d'une machine réversible de la surface du triangle f>c C. Le travail |)r()duit par coup de. piston est donc diminué sans que la quantité de va[ieur ait varié; il y a, par suite, diminution du rendement.
MACHINES A VAPKIR.
