Posons

et

U est alors l'énergie totale du système.

En dérivant la première de ces égalités par rapport à pa, nous obtenons

d^ d^ dl^.

dpa ~ dp a. dp,, '

4'2-2 THERMODYNAMIQLK.

la dérivation par rapport à qa nous donne m __ dL

puisque O ne dépend pas des </. De ces égalités tirons les dérivées de L par rapport à pa et qa, puis portons les valeurs ti'ouvées dans l'équation ()); nous avons

Pa.

cm

dqa

dpa

Posons maintenant

dqa

dL dqa

Sa et les quantités 5^, . . ., détinies par des équations analogues, sont des fonctions des /j» et des </. Nous pouvons donc considérer U comme une fonction des p et des s, H restant toujours regardé comme une fonction des p et des q. Les égalités (3) et (4) nous donnent, |)our celte fonction U,

ou, d'après les relations (2) et (6),

L' = R-^-lqaSa.

De celte nouvelle égalité il résulte, en prenant la différentielle totale des deux membres,

V^ dU , x^ r/U ,

KKniCTION DKS PlUNCil'KS DK LA TlIKUMdDVN AM 101 K- 4'-^

Mais, d'après (6),

par conséquent, l'égalité précédente se rédnil à

Nous déduisons de là

et

313. L'expression du |)rincipe de la conservation de l'énergie se déduit immédiatement des relations (7) et (8). Ces relations nous donnent

d\} ___ dsg

dp g - dt *^'^'

d^ dpa

Par conséqneni,

ou

d{:=:-lP,dp,.

424 THEKMODVNAMIOrb:.

La variation tie l'énergie totale du système est donc égale au travail des forces extérieures au système : c'est bien l'énoncé du principe de la conservation de l'énergie.

314. Hypothèses sur la nature des paramètres. — Helmhoitz admet que les paramètres qui définissent la situation du système peuvent se diviser en deux classes suivant la manière dont ils varient avec le temps; ceux de l'une d'elles varient très lentement, ceux de l'autre varient au contraire très rapidement. Nous désignerons les premiers paramètres par/>a, les seconds par pi,.

Cette hypothèse semble assez naturelle. Ainsi les mouvements moléculaires dus à réchautïement d'un corps ont des vitesses incomparablement plus grandes que celles que nous pouvons communiquer à l'ensemble du corps. Les paramètres qui définissent les positions relatives des molécules varient donc rapidement; au contraire, ceux qui fixent la position du corps dans l'espace sont à variation lente.

315. Helmhoitz fait ensuite une autre hypothèse qui pourrait sembler plus difficile à accepter. Il admet que la fonction O ne dépend pas des ijaramètres pi, et que dans la fonction L ces paramètres n'entrent que par leurs dérivées qi,.

On peut donner certains exemples simples empruntés à la Mécanique élémentaire et où cette hy|)olhèse se trouve réalisée.

Ainsi considérons une poulie mobile autour de son axe. La position de la poulie peut être définie j)ar l'angle/?/, que fait un plan fixe dans res[)ace avec un plan passant par un point de la poulie et par l'axe de celle-ci ; pi, est donc un des paramètres du système. La demi-force vive de ce système

REDICTION DES l'IUNCIl'ES DE LA TIIEK.MODYNA.MIQI E. 4'i3

est égale ;iu [iroduit <\u niomeiii d'inerlie de la poulie par le carié de la vitesse angulaire; le inoiiienl d'inertie ne dé-

pend pasde/j/,; la vitesse angulaire est*//, := -^; par suite,

la demi-force vive ne dépend que de *//, et non du paramètre p/,. D'autre part, le centre de gravité de la poulie étant sur l'axe de rotation, l'énergie potentielle ne varie pas; elle est donc indépendante de p,,.

Prenons un autre exemple. Considérons un canal circulaire parcouru par un liquide et supposons le régime permanent établi. (Jn peut définir la position du système par l'angle p/, formé par un diamètre du canal, tixe dans l'espace, et un diamètre passant par une des molécules du licpiide. Mais ni l'énergie potentielle, ni l'énergie cinétique ne dépendent de ce |)aramètre, car ces quantités restent constantes. En effet, le régime permanent étant établi, une molécule est immédiatement remplacée par une autre dès que la première s'est déplacée; la force vive ne varie donc pas; en outre, le travail des forces intérieures est nul et par suite l'énergie potentielle conserve la même valeur.

Il résulte de ces exemples que l'hypothèse d'Helinholtz est exacte dans le cas de cor|»s tournant autour d'un axe; elle paraît donc applicable aux mouvements tourbillonnaires des molécules. Peut-elle encore s'appliquer au cas où les molécules des corps se déplacent reclilignemenl de part et d'autre d'un point fixe? C'est ce (|ue nous examinerons plus loin.

316. Admettons l'hypothèse d'Helmhollz et continuons l'exposé de la théorie de ce savant.