TllER.MOUVNA.Mlgl K

Puisque O el L sont supposés indépendants des paramètres pb, H n'en dépendra pas non plus. Nous aurons donc, d'après l'équation (5),

ou, d'après la définition des fonctions s.

Le travail extérieur correspondant au paramètre considéré est — P/, dph, [lour une variation dpt, de ce paramètre. Exprimée en fonclion de l'intervalle de temps dt, cette variation

est -^ dt ou qi.dt. Par conséquent, le travail extérieur peut

s'écrire — P/,qt,dt. Helmhollz pose

f/Qù^ — P/>qf,dt.

Si, dans cette égalité, nous remplaçons P^ par sa valeur tirée de l'équation précédente, il vient

ds (10) dQ/, = cji, -^ dt = cjt, ds,,.

Telle est l'équalion relative aux paramètres variant très rapidement.

Occupons-nous des paramètres qui varient lentement et

.,,... d dH montrons que pour ceux-ci la dérivée -j- —. — peut être ne-

dt dcj i,

gligée.

D'après les égalités (6), nous avons

dcja " dcja

REUICTION UES PRINCIPES DK LA TIIEHMOD^ N A.Migi E. ii~

Or. L est une foiiclioii liomogèiie el ilu second degré par ra|)i)<irt aux 7,, el f//,; —, — est donc lorniee de termes de la

forme AY^y^el \^<ja<ji,- l'ar suile, la dérivée de cette (|tian-

tite par rapport au temps — -j— ne contient que des termes

de la forme

^^"-TTT' ^'J"^' ^'^-'W

Mais, puisque les |)aramètres pa varient très lentement,

'lu et 7„. sont très petits et les dérivées de ces (piantités par

ra|)port à t sont également très petites; nous pouvons donc

négliger les termes des deux premières formes, puis(|u'ils

contiennent le produit de deux quantités très petites. Nous

|)ouvons également négliger les termes de la troisième

forme, mais à une condition : c'est que nous supposerons

dn ij très petite la dérivée -~- de la quantité linie qi,. (Ainsi, si,

pour fixer les idées, nous revenons à la poulie qui nous

servait tout à l'heure d'exemple, cela revient à sup[)oser

que la vitesse angulaire de celte poulie est très grande,

mais sensiblement constante.) Celte hypothèse étant admise,

tous les termes de -j- -, — seront négligeables. rit dq,i

Nous avons alors, pour l'équation relative aux paramètres Pa-,

dpa

obtenue en négligeant le premier terme de l'équation (5).

4i8 THERMODYxNAWIQlK-

317. Systèmes monocycliques. — Helmholtz donne le nom de systèmes nionocy cliques à ceux pour lesquels le nombre des paramètres à variation rapide indépendants se réduit à i ; dans le cas où le nombre de ces paramètres est plus grand que i, le système est polycyclique.

Dans tous les systèmes monocycliques, on a — = diiierentielle exacte.

Pour démontrer cette propriété, considérons d'abord un système monocycliqne dont la situation est définie par un seul paramètre à variation rapide que nous pouvons, sans ambiguïté, désigner par p.

Dans la relation (a),

r/L dq,}

2L = lqa

qa désigne la dérivée d'un paramètre quelconque, variant rapidement ou lentement. Mais, pour ces derniers, </« est très petit ei les termes qui leur correspondent peuvent être négligés; il ne reste donc dans le second membre que le terme corres|)ondant au paramètre p; par suite,

(rc) 2L = q-^ = qs.

D'après la relation (lo), on a pour dQ

dQ =: q ds.

Par conséquent,

/ 9^ dQ 2qds ,.

(i3) -^ = -^='idLo^s;

le quotient considéré est donc bien une dift'érentielle exacte.