H'=:FL

Prenons maintenant les dérivées de ces fonctions par rapport à Pa', nous avons

d^dn y dW dp,

<^Pa ~ <^Pa ^ dp,, dp,,

Or, d'après la relation (r^), d]\

par conséquent,

dpc

dW d{\

dp,, ~ dp^

Les équations de Lagrange relatives aux paramètres à variation lente conservent donc la même forme : la forme (i r). Prenons la dérivée par rapport à r//,; nous avons

^H' ^H '^ du dp,

an an ^ (in ap,.

dpi, ~ dqi, ^ dpc dqi,

et, par suite, pour la même raison que précédemment,

dW ^H

dq,, ~ dq,,

De cette égalité et des égalités (6) il résulte immédiatement (|ue la fonction si, reste la même, soit que les paramètres Pc entrent explicitement dans le nombre de ceux qui définissent la situation du système, soit qu'ils n'en fassent pas partie. Par conséquent, dans un cas comme dans l'autre, les équations de Lagrange relatives aux paramètres à va-

RÉDUCTION l)i;S l'KINCII'KS DE LA Tlli:UM()I>\ N V.MlyUK. Vil

rialion rapide sont do la foi'ine (lo) :

La forme des équations restant la même, il est évident

que dans le cas d'un système monoc.vclique le facteur -j-sera un facteur intéiïrant de ^Q.

319. Les systèmes incomplets ne ditfèrefit donc (jue peu des systèmes complets. Toutefois il est une propriété importante qui les tlislingue.

L'énergie cinétique L est en général une fonction homogène du second degré des ç/, etdes^<i; elle dépend en outre des paramètres à variation lente. Or nous venons de voir que dans les systèmes incomplets une partie de ces paramètres, les paramètres pc, sont des fonctions des (jfi, et des pa- Par conséquent, si nous remplaçons dans L les, pc par leurs expressions en fonctions des q/„ L cessera d'être du second degré par rapport aux q/,; elle pourra donc être d'un degré impair par rapport à ces dérivées et, par suite, d'un degré impair par rapport au temps. Nous verrons bientôt l'importance de cette remarque.

L'exemple le plus simple que l'on puisse citer est celui d'une poulie sur l'axe de laquelle est monté un régulateur à force centrifuge. Quand la vitesse de la poulie augmente, les boules du régulateur s'écartent et le moment d'inertie du système augmente.

La force vive n'est donc pas proportionnelle au carré de la vitesse angulaire, puisqu'elle est égale au produit de ce carré par le moment d'inertie variable avec cette vitesse.

432 THERMODYNAMIQIE.

320. Application aux phénomènes calorifiques. — Admettons avec Helmholtz que les paramètres pi, se rapportent aux mouvements moléculaires dus à la chaleur et les paramètres pa aux mouvements visibles du système.

Par suite de cette distinction entre ces divers paramètres,

l'équation

d[] =i—lpadp ,

du paragraphe 313 devient

rfU — — Ip^dpa— 1pi,dpt, ou

dli^—lpadpa+'^di:),,.

Ainsi, d'après cette relation, la variation de l'énergie interne est égale à la somme chargée de signe des travaux extérieurs Ipadpa des mouvements visibles et des travaux extérieurs — IdQh des forces moléculaires. Comparons cette expression de d[] à celle qui nous est fournie par le principe de l'équivalence : la variation de l'énergie interne, exprimée en unités mécaniques, est la somme du travail et de la chaleur dQ, exprimée avec les mêmes unités, qui sont fournis au système. On voit que les deux énoncés deviennent identiques si l'on admet que

dQ=^ldQ„

c'est-à-dire si l'on admet que le travail extérieur des forces moléculaires changé de signe est équivalent à la chaleur fournie au corps pendant la transformation. Le principe de l'équivalence se ramène donc aux principes généraux de la Mécanique, si l'on considère les corps formés de molécules agissant l'une sur l'autre. Nous le savions déjà.

321. Considérons maintenant un système monocyclique. Nous savons que dans ce cas

(i5) —y^ =zditïéreiilielle exacte.

Mais di},, n'est autre que la ciialeur exprimée en unités mécaniques fournie au système, puisque pour un système monocyclique ^d(^,, se réduit à dQ,,. Il suffit donc, pour se rendre compte du principe de Carnot, de supposer que la température du système est proportionnelle à l'énergie cinétique L. Comme d'ailleurs les termes de cette énergie qui contiennent (ja sont négligeables, celte énergie peut se confondre avec l'énergie cinétique moléculaire.

Est-il possible d'admettre que la température absolue d'un système est proportionnelle à l'énergie cinétique moléculaire? La tbéorie cinétique des gaz montre qu'il en est ainsi pour ces corps. La théorie dHelmholtz, comme on va le voir, nous obligerait à admettre qu'il en est encore de même pour tous les autres corps.

Posons, d'après le principe de Carnot considéré comme démontré expérimentalement,

S étant ici le produitde l'entropie par l'équivalent mécanique de la chaleur. Puisque ^0 = c/Q/„ ^S et la différentielle (i5) s'annulent en même temps. Cette dernière est donc une fonction de S; posons

Nous en tirons .

9'(S)flfS — 9'(S)

et, par suite,