La formule

kv dp -4- k'p ds?

dq =

peut se transformer par l'introduction de l'accroissement de température dt. On a (3)

pv = RT;

on en déduit par la différentiation

En éliminant successivement dp et dv^ à l'aide de cette relation,

(6) d(l—,kdt-\ 5 — pdv,

(7) e/Q = k'dt -4- ^^^^ s> dp.

La formule (6) exprime un théorème important : le premier terme k dt est la quantité de chaleur nécessaire pour produire i'échauffement à volume constant; le second, — ^ — P d^ ^ positif ou négatif suivant que le volume augmente on diminue, est proportionnel au travail produit par la dilatation du gaz ou dépensé pour le comprimer.

15. L'interprétation du produit /? rfç^ doit être rendue plus évidente. Supposons le gaz renfermé dans un cylindre fermé par un piston mobile de surface S. La pression étant/?, le gaz exercera sur la surface S une force/? S. Le piston s'élevant d'une quantité dh^ le travail produit sera le produit de la force /?S par le chemin parcouru rfA, égal évidemment au produit de la pression/? par l'accroissement SrfA du volume.

Le théorème n'est pas borné au cas où le gaz enfermé dans un cylindre agit sur un piston mobile. Quelle que soit la forme du vase, si le volume change, la surface se déplace. Le travail exercé sur un élément div est le produit de la pression p dw exercée sur cet élément par le chemin e parcouru par lui dans le sens de la normale, qui est la direction de la pression; et l'intégrale fp dive, égale à pfe dw, représente le produit de la pression /? par la variation du volume. 11 est évident que si l'élément div se déplace en se dirigeant vers l'intérieur du volume, le travail tdiv est exercé sur le gaz au lieu de l'être par lui; e doit être considéré comme négatif et l'intégrale /e div est la diminution du volume.

16. Etude d^iin cycle fermé,, — Lorsqu'un gaz, après avoir changé de volume, de température et de pression, reprend son état initial, on dit qu'il a parcouru un cycle fermé.

l6 THERMODYKAMIQUE.

On a longtemps regardé comme évidemment nulle la somme des quantités de chaleur communiquées à un gaz pendant le parcours d'un cycle. Puisque le gaz, disait-on, reprend son état initial, il contient à la fin la même quantité de chaleur qu'au commencement, et toute celle qu'on lui a communiquée a dû nécessairement lui être enlevée ensuite. Aucun physicien aujourd'hui n'accepterait un tel raisonnement. Quand on refuse de considérer la chaleur comme une substance, l'argument n'a plus aucun sens.

La formule (6) obtenue (14)

dQ =kdt-\ — p dv

permet de calculer, en supposant k et k' constants, la quantité totale de chaleur qu'il faut fournir à i''8de gaz pendant le parcours d'un cycle fermé.

Cette quantité de chaleur est l'intégrale de la différentielle rfQ, prise pour tous les éléments du cycle. La relation qui \\e p kv et, par conséquent, à t, étant donnée, il n'y a pas lieu de se demander si l'expression est intégrable. Quand une seule variable est indépendante, l'intégration est toujours possible.

k étant supposé constant, l'intégrale du terme k dt est nulle,

puisque la valeur finale de t est égale à la valeur initiale. On a

donc

Q= -i^fpdv.

L'intégrale Jp dv peut recevoir deux interprétations remarquables :

Elle représente le travail total effectué par le gaz ;

Elle représente aussi l'aire de la courbe fermée parcourue par le point indicateur.

Nous avons vu (IS) que le travail correspondant à un changement infiniment petit du gaz est représenté par pdv. L'intégrale J/? rfp représente donc l'excès des travaux positifs, correspondant à l'augmentation du volume, sur les travaux négatifs qui ne peuvent manquer d'exister, puisque le volume final est égal au volume initial. Le travail positif est celui qu'accomplit le gaz

en se dilatant, et le travail négatif, celui que l'on accomplit en le comprimant. La somme peut être négative; dans ce cas, l'intégrale de rfQ est négative, il faut enlever de la chaleur pour revenir à l'état primitif.

Un même cycle peut être parcouru dans deux sens différents; la somme des valeurs de pdv, par conséquent la quantité totale de chaleur à fournir, prend, dans les deux cas, des valeurs égales et de signes contraires. Pour le cycle indiqué sur X^fig. 5,

Fig. 5.

par exemple, le parcours dans le sens indiqué par la flèche correspond à un travail positif, puisque, pour une même valeur de p, l'ordonnée du point M| , qui correspond à une valeur positive de dv^ est plus grande que celle de M2, qui correspond à une valeur négative.

p désignant l'ordonnée et ip l'abscisse d'un point du cycle, l'intégrale fp dv représente la surface de la courbe , prise positivement ou négativement, suivant le sens dans lequel elle est parcourue. Aucune explication n'est nécessaire sur ce point bien connu.

17. Energie totale d^iui gaz. — Cherchons la quantité de travail que peut accomplir un gaz qui se détend, sans qu'on lui communique ou lui enlève de chaleur. Si l'on n'ajoutait pas cette condition, ou quelque autre qui précisât le phénomène, le problème serait indéterminé. Si, par exemple, on maintient la température constante, le produit pv aura, d'après la loi de Mariotte, la valeur constante RT ; on aura

Jp dv = RTy ~ = RT[Z(pO- ^(^0)],

Vi étant le volume final qui peut grandir iadéfiniment. Le travail que peut produire la dilatation d'un gaz, si Ton empêche le refroidissement, est infini.

Si l'on ne fournit ni n'enlève de chaleur, la quantité désignée par rfQ (li) sera égale à zéro, et Ton aura

dQ = A cit H ^^^ p dv = o.

A(Ty— To)H ^^fpdv = o,

fp^^=-J^,(^o-Tf),

Le travail accompli //> rf(^ est proportionnel à rabaissement de température (To — Ty). La limite supérieure du travail possible, qui, évidemment, ne peut être atteinte, serait, en supposant les lois de Mariotte et de Gaj-Lussac, sur lesquelles la théorie est fondée, applicables jusqu'à la température Ty = o,