CHAPITRE IL
28. Problème de Carnot. — 29. Indication de son mode de démonstralion. — 30. Raisons de ne pas croire, a priori y à ses assertions. — 31. Commentaire de Clapeyron. — 32. Clapeyron ne considère que des cycles inflniment petits. Double avantagé qui en résulte. — 33. Quantité de chaleur correspondant à un accroissement donné du volume, à température constante. — 34. Application à la chaleur d evaporation d'un liquide. — 35. Erreur commise par Clapeyron, résultant de l'hypothèse qu'il accepte. — 36. Exemple analogue dans le cas d'un problème de Mécanique. — 37. Distinction entre deux énoncés en apparence identiques. — 38 et 39. Expression de la fonction laissée inconnue par Carnot. — 40. Impossibilité de cette formule. — 41. Accord avec la formule aujourd'hui adoptée, dans le cas d'un cycle infiniment petit. — 42. Dernières idées de Carnot.
28. Le mouvement perpétuel est impossible. Il faut se tenir loin de ceux qui le trouvent. Telle était la seule conclusion du vieil axiome, lorsque Sadi Carnot en fit la base d'une théorie nouvelle.
A-vant l'immortel Opuscule publié en 1824, sous le titre de : Réflexions sur la puissance motrice du feu, on ne connaissait ni ne soupçonnait aucune relation entre le travail d'une machine à vapeur et la chaleur qu'elle met en œuvre. Sadi Carnot, en déclarant une telle loi nécessaire, en a assuré la découverte.
L'égalité du travail dépensé au travail produit doit rester, suivant beaucoup de mécaniciens, un axiome supérieur à toute démonstration. Le poids de l'eau dépensée et la hauteur de chute déterminent le travail qu'une machine hydraulique ne peut dépasser et qu'elle atteint, si elle est parfaite. Sadi Carnot, sur la foi de preuves d'un genre tout nouveau, a proposé pour les ma-
38 theumodynamique,
chines thermiques un principe analogue, en affirmant que le travail possible est déterminé par la quantité de chaleur mise en œuvre et par les températures de la vapeur à l'entrée dans la machine et à la sortie.
La quantité de chaleur était assimilée par Carnot au poids de Teau dépensée dans une machine hydraulique et la température à un niveau, qui s'abaisse depuis l'entrée de la vapeur, à la température de la chaudière, jusqu'à la sortie, à celle du condenseur.
Carnot associe cette loi nouvelle à l'idée, non moins nouvelle, de réversibilité, qui lui sert de preuve. Le travail d'une machine thermique exige le passage d'une certaine quantité de chaleur d'un corps chaud, la chaudière, sur un corps froid, le condenseur. c( On pourrait, dit Carnot, faire remonter du corps froid sur le corps chaud toute la chaleur mise en œuvre; il suffirait, pour lui faire traverser la machine en sens inverse, de renverser le mouvement, en dépensant pour le produire autant de travail précisément qu'on en faisait naître dans la marche directe. » Il ne faut pas croire, pour cela, que le possesseur d'une machine à vapeur puisse, s'il dispose d'une puissante turbine, au lieu de charbon, consommer de la force et faire bouillir sans feu l'eau de la chaudière. La traduction serait infidèle. Dans l'opération directe, on allume le foyer sous la chaudière; il faudrait, dans l'opération inverse, porter le feu sous le condenseur. La chaleur fournie à la chaudière produisait de la vapeur qui, refroidie par le travail, était recueillie par le condenseur à une température moindre; la même quantité de chaleur, dans l'opération inverse, servirait à évaporer l'eau du condenseur, sans l'échauffer; la vapeur produite, échaufl^ée par la compression, transporterait sur la chaudière, à une température plus élevée, toute la chaleur versée sur le condenseur.
Rien n'empêche d'admettre la réduction de l'eau en vapeur, sans échauffement, à une température inférieure à ioo°. La pression de la vapeur, au moment où elle disparaît dans le condenseur, est inférieure à celle de l'atmosphère; elle doit l'être aussi dans l'opération inverse.
CHAP, 11. LES IDÉES DE SÀDI CÀRNOT. Sq
La réversibilité des machines parfaites était pour Carnot une vérité évidente. Il a considéré spécialement le cas où le corps, dont les variations de température produisent le travail, décrit le cycle auquel on a donné son nom. Ce cycle, défini (24) et étudié pour le cas des gaz, est caractérisé par cette condition, que la chaleur est fournie au corps par une source de température déterminée, et abandonnée par lui aune autre source de température moindre, également déterminée. La chute de température devient ainsi nette et précise. Deux températures seulement sont mises en présence; la chute est leur différence. Le corps dont Sadi Carnot étudie le travail doit donc subir les transformations suivantes :
1® Le corps se dilate à la température T^. Une source indéfinie de chaleur empêche le refroidisseiuent qui, sans cela, résulterait de la dilatation.
2** La dilatation continue, mais on cesse de réchauffer le corps, la communication avec la source de chaleur est interrompue. Le corps se refroidit, la température devient To.
3® Le corps est comprimé à la température To. Une source indéfinie de chaleur à cette même température le contraint à la conserver, malgré la compression qui tend à le réchauffer.
4° La compression continue, mais on cesse de refroidir le corps. Il se réchauffe, revient à la température T| et se retrouve dans son état initial, ayant repris, en même temps que la température, le volume et la pression primitifs. Le cycle est terminé.
On produit pendant la première et la deuxième période plus de travail que l'on n'en dépense pendant la troisième et la quatrième. La différence, qui est le travail de la machine, est due, suivant Carnot, au transport de la chaleur fournie, pendant la première période, par la source de température T\^ sur la source de température T2, qui la recueille pendant la troisième période. La chute est T< — T2. Le travail G, produit dans l'ensemble des quatre opérations, est proportionnel, suivant Carnot, à la quantité Q de chaleur mise en œuvre et à une certaine fonction des températures T| et T2, la même pour tous les corps.
L'expression vague chaleur mise en œuvre exprime une idée
4o theumodynamique.
fausse. La source chaude, nous le savons avec certitude, verse plus de chaleur que n'en recueille la source froide. Carnet Ta ignoré. Malgré cette erreur de principe, presque toutes ses conclusions sont exactes. Il est impossible, cependant, de le suivre pas à pas. Pourrait-on choisir pour guide, en exposant la théorie des volumes, un auteur qui, prenant pour exemple le tronc de pyramide, aurait exposé les idées les plus ingénieuses et les plus profondes, sans avoir remarqué que les deux bases sont inégales? Comment reproduire une démonstration dans laquelle, en les désignant par une même lettre, on les substituerait indifféremment Tune à l'autre?
Nous renverrons donc à un autre Chapitre la démonstration du théorèitie qui, très justement, conserve le nom de Carnot.
29. La confiance de Carnot est admirable. Il affirme l'équivalence de toutes les substances pour la production du travail. Si une machine thermique parfaite ^ dans sa marche directe, offrait plus d'avantages qu'une autre, également parfaite, c'est-à-dire si, pour une même quantité de chaleur dépensée et pour une même chute de température, elle produisait plus de travail, l'autre, dans la marche inverse, prendrait l'avantage et permettrait, avec moins de travail, de faire remonter du corps froid sur le corps chaud la chaleur transportée par la première. On pourrait ainsi, en associant les deux machines, l'une dans le sens direct, l'autre en sens inverse, créer, sans dépense de chaleur et sans chute de température, une quantité de travail égale à l'excès du travail produit par la première machine sur celui que dépense la seconde.
Créer du travail sans déplacer de chaleur, c'est, aux yeux de Carnot, une forme du mouvement perpétuel; il n'en discute pas la possibilité. Dans ce raisonnement rapidement analysé, la réversibilité est admise sans explications ; il est bien entendu qu'elle ne peut s'appliquer à toutes les machines : il en résulterait qu'elles sont toutes équivalentes et qu'on ne doit ni chercher à fdre mieux ni craindre de faire plus mal. Une telle pensée n'a ja-
mais été celle deCarnot, et ses conclusions se rapportent aux machines /?ar/aïV65 seulement.
Qu'est-ce qu'une machine parfaite? Il est difficile d'en donner une définition précise. Garnot regarde comme évident que dans une telle machine jamais deux organes en contact ne peuvent avoir de températures différentes : il y aurait là, en effet, une chute de chaleur improductive de travail. C'est pour cela que toutes les machines dont il parle sont réversibles; car si, dans Tune d'elles, la chaleur passait, d'elle-même, d'un corps chaud sur un corps froid, il serait impossible de lui faire suivre la route inverse et de renverser, avec le mouvement, l'ordre des phénomènes.
30. Les vues ingénieuses et profondes de Carnot sont dépourvues de rigueur. Quelle audace, cependant, et, a priori^ quel paradoxe! La nature du corps dont les dilatations et les contractions produisent le travail est indifférente ! Il ose l'affirmer lorsque le contraire semble évident.
Une machine à vapeur d'éther ne doit-elle pas, pour une même dépense de chaleur, produire plus de travail qu'une machine à vapeur d'eau? Tout devait le faire croire aux contemporains de Carnot.
L'éther bout à 35»; la tension de sa vapeur à 90® est plus grande que celle de l'eau à i5o". Il faut, pour produire i''^ de vapeur d'éther, cinq fois moins de chaleur que pour l'^s de vapeur d'eau.
L'éther, avec une moindre dépense de chaleur, met donc une plus grande force à la disposition du mécanicien.
Quelle compensation l'eau peut-elle offrir? Carnot ne s'en informe ni ne s'en soucie ; les détails l'éloigneraient de sa voie. Toute compensation imparfaite permettrait le mouvement perpétuel. Cet argument lui suffit.
Ajoutons, sans discuter la question, qu'il ne pose même pas, que notre comparaison des conditions de travail entre les deux vapeurs a été très incomplète. La tension de la vapeur d'éther, pour une même dépense de chaleur, est beaucoup plus grande
i'i theumodynamique.
que celle de la vapeur d'eau. Cela ne suffit pas pour qu'elle produise plus de travail. Pour produire du travail, en effet, la vapeur doit se dilater; en se dilatant, se refroidir; la loi de ces phénomènes est la base nécessaire du calcul de l'effet obtenu. Le résultat, après de minutieuses et longues études, après beaucoup d'erreurs commises et corrigées, a confirmé l'assertion de Carnot. L'étude de ces problèmes tiendra dans ce Livre une place importante.
L'égalité des travaux, acceptée comme nécessaire, doit évidemment fournir des relations, par là démontrées, entre les tensions de vapeur, les volumes, la chaleur de vaporisation et le refroidissement par le travail.
Ces relations, aujourd'hui connues, ont transformé la théorie de la chaleur.
Un lecteur perspicace de TOpuscule Sur la puissance motrice du feu aurait pu, dès l'année 1824, apercevoir un des plus beaux triomphes de la Philosophie naturelle dans les propositions, encore mal démontrées, qu'un critique judicieux conservait le droit de repousser.
3L Commentaire de Clapeyron. — Clapeyron a déduit des principes de Carnot des résultats comptés, aujourd'hui encore, parmi les plus admirables de la théorie nouvelle.
Carnot, dans l'énoncé de son théorème, laissait subsister une fonction inconnue. On la connaît aujourd'hui; elle est très différente, chose singulière, qui jusqu'ici, je crois, n'a pas été remarquée, de celle qu'aurait dû trouver Clapeyron et qu'il n'a pas cherchée. Ni Clapeyron, ni le maître dont il suit fidèlement la trace, n'en ont tenté la détermination, qui cependant résultait de leurs principes. Leurs formules, par cet heureux hasard, doivent être complétées, non rejetées.
Le théorème de Carnot, dont les progrès de la Science ne permettent pas d'accepter la forme primitive, peut s'énoncer de la manière suivante :
Si l'on nomme G le travail accompli sur un corps dans le par-
cours du cycle défini par Carnot, Q la quantité de chaleur mise en œuvre, T^ et T2 les températures des deux lignes isothermes qui forment deux côtés opposés du cycle, on a
F(Ti, T2) étant une fonction des températures T{ et To, la même pour tous les corps.
Rappelons la définition du cycle de Carnot :
En représentant l'état thermique d'un corps par un point dont les coordonnées sont la pression et le volume, lorsqu'un corps pesant i''8j après avoir changé de température, de pression et de volume, reprend son état primitif, le point indicateur a parcouru une courbe fermée que l'on nomme un cycle.
Le cycle de Carnot, que nous avons étudié (24) pour les gaz, mais dont tous les corps sont capables, est compris entre deux courbes isothermes et deux courbes nommées adiahatiques, qui sont celles que parcourt le point indicateur, lorsque le corps se comprime 'ou se dilate, sans recevoir de chaleur ni en communiquer au dehors.
Les lignes adiahatiques ne sont jamais isothermes; la compression, en efiet, échauffe le corps et la dilatation le refroidit, sans que la chaleur soit mise en œuvre.
32. Cycle infiniment petit» — Clapeyron, en appliquant le théorème de Carnot, a considéré exclusivement des cycles infiniment petits. Le choix présente deux avantages. Le premier, qui l'a déterminé sans doute, consiste en ce que, par l'emploi d'un cycle infiniment petit, la fonction de Carnot, tout en restant inconnue, est réduite à dépendre d'une seule variable. Soient, en effet, T< et T| + dt les températures désignées par Ti et T2 dans l'énoncé du théorème de Carnot. En nommant G le travail correspondant au parcours du cycle, on a
mais, dt étant infiniment petit. G, qui s'annule lorsque T< est égal
à T2, est, toutes choses égales d'ailleurs, nécessairement proportionnel à dt. On doit donc avoir
La fonction qui reste inconnue dépend de la seule variable T|.
L^autre avantage attaché à Temploi d'un cycle infiniment petit a été fortuit. Clapeyron ne Ta ni prévu ni connu, mais il en a profité. L'énoncé de Carnot contient une erreur; c'est pour cette raison que nous n'avons pas insisté sur la démonstration, qui sera reprise et corrigée.
La quantité de chaleur, désignée par Q, y représente indifféremment la quantité de chaleur versée pendant le parcours de Ton des côtés isothermes du cycle, ou abandonnée sur l'autre. Pour Clapeyron, comme pour Carnot, l'égalilé de ces quantités de chaleur est évidente. Cette erreur pouvait avoir de graves conséquences. La différence, regardée comme nulle, est, en vertu d'un théorème aujourd'hui démontré, proportionnelle à la surface du cycle. Elle est donc, pour un cycle infiniment petit, infiniment petite du second ordre, et, grâce à cette circonstance, les conséquences d'un principe que personne aujourd'hui ne voudrait accepter peuvent être, dans ce cas, suivies sans erreur.
33. Un cycle de Carnot, quand il est infiniment petit, peut être assimilé à un parallélogramme. Considérons le cycle A| A2A3A4, A| Ao et A3A4 étant des lignes isothermes qui correspondent aux
Fig. II.
températures T et T + rf^ {fig- * 0- ^^ P^^ ^^^ points h.^ et Aj, on mène des parallèles k^ Yi^ et A2H2 à l'axe des/?, on formera un parai-
lélogramme Ai A2 Hi H2, évidemment équivalent au cycle considéré, et dont la mesure est le produit de A| H| par la distance des deux parallèles A|H| et A2H2.
A|H| est Taccroissement de la pression p qui, pour une même valeur du volume, correspond à un accroissement dt de température ; on a donc
la distance des deux parallèles AiHj, A2H2 est l'accroissement dv du volume quand on passe de A| en A2, et l'aire du cycle est, par conséquent,
f- dt dv.
dt
Cette expression représente le travail désigné par G dans l'énoncé du théorème. On peut donc écrire
par conséquent
-J~dtdv^(l^{J)dt,
Telle est la quantité de chaleur qu'il faut fournir à un corps, lorsque, la température restant constante, le volume s'accroît de dv.
Cet énoncé peut paraître singulier. Si la température reste constante, pourquoi fournir de la chaleur?
Pourquoi le volume du corps augmente-t-il?
L'étude des gaz indique, par un exemple, la réponse à ces deux questions : quand un corps a été comprimé, qu'il ^oit solide, liquide ou gazeux, dès que la pression diminue, l'élasticité le dilate, la dilatation le refroidit, et, pour maintenir la température, il faut fournir de la chaleur. Lorsque la compression, au contraire, diminue le volume d'un corps, il faut, pour empêcher Taccroissementde température, enlever au corps de la chaleur.
34. Théorème de Clapeyron. — Clapeyron a appliqué les principes de Carnot à l'étude d'un liquide partiellement réduit en
vapeur. L'ensemble, gaz et liquide, est pour lui un seul et même corps, auquel 11 applique le théorème de Garnot.
Supposons i*'8 de liquide enfermé dans un vase clos. On réchauffe; le poids de la vapeur formée dépend de la température et de la capacité du vase. Clape^ron, par une heureuse hardiesse, applique à la vapeur et au liquide réunis l'équation
rfQ désigne la quantité de chaleur qu'il faut communiquer au corps lorsque le volume s'accroît de rfr, la température étant constante. Lorsque l'espace offert à un liquide partiellement réduit en vapeur s'accroît de di^y la température restant constante, la pression ne change pas, car la pression de la vapeur saturée dépend seulement de la température; pour que cette pression se conserve, le volume étant devenu plus grand, il faut que la quantité de vapeur augmente. Un nouveau poids dm du liquide sera donc évaporé. Si r désigne la chaleur d'évaporation , il faudra, pour produire cette évaporation, communiquer au liquide la quantité de chaleur rdm; c'est la seule qui sera dépensée, car il n'y a ailleurs, dans la masse, ni échauffement ni refroidissement. On a donc
d ) = /' dm = — - — f dv.
?0 ; dt
Mais l'accroissement de volume dv et le poids dm du liquide évaporé ont un rapport indépendant de dm. Chaque élément dm qui s'évapore produit un même accroissement de volume. Si donc on remplace ce poids rf/n par i''», l'accroissement de volume sera multiplié pai'le rapport de 1^'° à dm^ et si l'on nomme o- le volume de \^^ de vapeur et s celui du kilogramme d'eau qu'il remplace, on
aura
dv
dm et, par conséquent,
\ dp
La fonction ç(T) est restée inconnue à Clapej'ron.
CHÀP. II. — LES IDÉES DE SADl CARNOT. 47
35. Le Mémoire souvent cité de Clapeyron conserve, dans quelques assertions inexactes, la trace de l'hypothèse, inacceptable aujourd'hui, de l'invariabilité de la quantité de chaleur.
L'un de ces résultats, qu'il importe de signaler, est l'expression de la quantité de chaleur contenue dans un poids donné de gaz, à une température et sous une pression données. La quantité de chaleur contenue dans un corps chaud n'a pas plus de sens, pour les physiciens, que la quantité de son contenue dans un instrument de musique. Les principes de Carnot, cependant, donnaient à Clapeyron le droit de chercher cette expression et le moyen de la trouver. Il considère la quantité Q de chaleur contenue dans un gaz comme une fonction déterminée de la pression et du volume. Il écrit, en conséquence,
dp ^ dv
Si la température T est constante, la relation /?p=RT (3)
donne
p dv '\- V dp =^o\
l'expression de rfQ devient
d(lJ-±—^d,,
En remplaçant rfQ par la valeur (33) déduite du théorème de
Carnot, on a
dq dQ
I dp ^ dv dp
<p(T) dt V
-^ est la dérivée de p par rapport à ^, lorsque ç est considéré
comme constant.
L'équation
pv = RT
donne
dp __^, di~ V'
par conséquent,
K r/Q dQ
o(T) du ' dp
L'intégration de cette équation peut faire connaître la fonction Q. Clapeyron n'a pas manqué de la chercher, mais elle ne peut être d'aucun usage. La quantité de chaleur désignée par Q et contenue dans \^^ de gaz n'a, en réalité, aucun sens.
36. En dirigeant les calculs d'une manière semblable dans l'étude d'un problème de Mécanique, on pourra obtenir un résultat analogue, en commettant une faute identique, mais plus aisée à apercevoir pour qui la Mécanique est plus familière que la Physique. L'accroissement de force vive d'un point matériel est égal, pendant un trajet infiniment petit, au travail des forces qui lui sont appliquées. En supposant que le mouvemeiit s'accomplisse dans un' plan et que v- soit le carré de la vitesse, on aura, en nommant X et Y les composantes des forces accélératrices,
(I) \dv^=\dx-^\dy.
Cette formule convient à tous les cas. La force vive \?^ n'est pas pour cela une fonction des coordonnées x eiy] le point peut revenir à la même position sans y retrouver la même vitesse. Si cependant, faute d'avoir fait cette remarque, on admettait a priori l'existence de la fonction s^-^ on commettrait, en Mécanique, une faute identique à celle de Clapeyron en Physique, et, cette faute une fois commise, on pourrait, par des raisonnements irréprochables, calculer la fonction «^^^ q^j cependant n'existe pas.
Supposons, pour obtenir une équation semblable à celle de Clapeyron ,
L'équation (i) devient
I dv^ = X dy —y dx.
On a le droit d'en conclure, si v^ est une fonction de x et de y,
et, par conséquent.
L'intégrale de cette équation est
elle ne répond à aucun problème.
37. Une méprise dont l'origine est la même sera l'occasion d'une remarque importante.
Carnot avait trouvé, comme conséquence de ses principes, que, lorsqu'un gaz change de volume, sans changer de température, les quantités de chaleur absorbées ou dégagées croissent en progression arithmétique lorsque le volume varie en progression géométrique.
Ce théorème s'accorde avec la théorie des gaz parfaits et peut aisément s'en déduire. Mais Carnot, d'après ses idées sur l'indestructibilité du calorique, aurait accepté sans doute comme équivalent l'énoncé, en réalité très différent, proposé par Clapeyron qui, après avoir reproduit la démonstration de Carnot, ajoute, sans croire introduire de condition nouvelle : a Comprimons un gaz occupant un volume r, sous la pression /?,. jusqu'à ce que le volume devienne (^', et laissons-le se refroidir jusqu'à ce que la température revienne au même point. »
Au lieu de maintenir la température constante, comme le suppose la démonstration de Carnot, Clapeyron laisse le gaz s'échauffer, puis ensuite se refroidir.
La différence est grande, cependant, et la quantité de chaleur dégagée dans les deux cas n'est pas la même.
Le point indicateur suivra, dans le premier cas, une ligne isotherme, comme le prescrit l'énoncé de Carnot, et se transportera
de Mj en M' (^fig* 12). II décrira, dans le second cas, d'abord une ligne adiabalique M1M2, puis, parvenu en M2, il suivra la ligne
Fig. 12.
Ma M' correspondant à un refroidissement à volume constant. La différence des quantités de chaleur qui correspondent aux parcours des deux routes est (16) proportionnelle à l'aire M1M2M'.
Donnons un exemple :
l'^s d'air occupe, sous la pression atmosphérique, un volume égal à 0,765, le mètre cube étant l'unité. On le réduit à un volume dix fois moindre en lui imposant, pendant la compression, une température constante de 20°. La quantité de chaleur qu'il faut lui enlever (24) pour empêcher réchauffement est
{k' — kyi l- — o,o65o X 293 X /.lo = 43,85.
Si, croyant ne rien changer au résultat, on comprime d'abord, sans empêcher réchauffement, la température absolue deviendra (19) 753. Dans cette première opération, le gaz s'est échauffé sans abandonner de chaleur aux corps environnants ; c'est pendant le refroidissement que la chaleur sera enlevée. Le volume étant constant, cette chaleur est le produit du calorique spécifique à volume constant, o, 1 685 par ^53 — 2g3 = 46o; il est donc 77,0 au lieu de 43,85.
Il faut rappeler cependant que, pour Clapeyron, comme pour Carnot, le calorique spécifique d'un gaz ne pouvait être con- . stant.
CHAP. II. — LES IDÉES DE SÀDI CÀRWOT. 5l
38. Conséquence des principes de Carnot, — Garnot a laissé inconnue la fonction qui longtemps a porté son nom. On s'est étonné qu'un raisonnement très simple ne l'ait pas révélée immédiatement. Cette fonction est la même pour tous les corps. L'étude toujours facile des gaz parfaits suffisait pour la faire connaître. Si (]arnot n'a pas suivi cette marche, si la fonction est restée inconnue à Clapeyron, c'est que, pour tous deux, la voie était moins simple qu'elle ne l'est aujourd'hui, après l'abandon de leurs principes.
L'égalité admise par eux entre la chaleur donnée et la chaleur restituée, dans le parcours d'un cycle, avait pour conséquence d'imposer à l'expression des caloriques spécifiques d'un gaz une forme nécessaire indiquée (12). Cette forme rend le calcul non pas difficile, mais moins immédiat que la valeur constante adoptée aujourd'hui.
On peut montrer tout d'abord que, dans l'hypothèse de l'indesiructibilité du calorique, la fonction F(T|, T2), qui figure dans l'énoncé du théorème de Carnot, doit se réduire à la différence de deux fonctions d'une seule variable chacune et être de la forme
F(Ti,T0 = cp(Ti)-?(T2).
Reprenons, pour le démontrer, l'énoncé du théorème: Si la suite des états du corps est représentée parle contour d'un cycle formé par deux lignes isothermes et par deux lignes adiabatiques, le travail accompli étant désigné par G, et Q désiguant la quantité de chaleur mise en œuvre, on a
Q désignant à la fois la quantité de chaleur versée par la source la plus chaude, dont la température est T|, et celle que reçoit la source la plus froide, de température T2. Pour Clapeyron, comme pour Carnot, ces deux quantités de chaleur, dont la différence joue aujourd'hui un rôle important dans nos théorèmes, ne pouvaient manquer d'être égales. Sans accepter l'hypothèse, il est intéressant d'en étudier les conséquences.
Associons deux cycles de Carnot, dont le second ait pour source chaude la source froide du premier, l'un de ces cycles versant la chaleur empruntée à la température T| sur une source de température T2, le second prenant cette chaleur à la source de température T2 pour la verser sur une source de température T3.
Les deux cycles parcourus dans le sens des flèches {^fig> i3) sont représentés par les quadrilatères M| Mj M3 M4 , M4 M3 M5 Me . M| M2, M3M4, MsMe sont des lignes isothermes de températures ï| , Tj, Ï3 ; M2M3, M| M4 des lignes adiabatiques dont MsMs, M4 Me sont les prolongements. Les deux cycles équivalent, par leur réunion, au cycle unique MiMjMsMe; car la suppression du côté M3M4, parcouru deux fois dans des sens différents, est sans influence sur le
travail aussi bien que sur la chaleur dépensée et reçue.
Le travail produit par le premier cycle est, d'après le théorème
de Carnot,
Gi=QiF(Ti, T2),
par le parcours du second, le travail produit est
G2 = QiF(Tî,T3).
Le facteur Qi reste le même, parce que, conformément aux idées de Carnot, les mêmes quantités de chaleur sont données et reçues dans le parcours des côtés isothermes d'un même cycle.
L'application du même théorème au cycle total M4M2M5M6
donnera
G3=QiF(Ti,T3),
G3 étant le travail, évidemment égal à G| h- G2, qui correspond au
cycle total. Qi conserve toujours la même valeur. On doit donc
avoir
F(Ti, T3) = F(Ti, TO + F(T2, T3);
T|,T2,T3 sont trois températures choisies arbitrairement. Le second membre de l'équation, considéré comme une fonction des variables Ti et T3, est de la forme
y(TO-4-'KT3).
11 doit donc en être de même du premier, et la fonction F est la somme de deux fonctions d'une seule variable. En introduisant ce résultat dans les divers termes de l'équation, elle devient
T2, ne figurant pas dans le premier membre, doit disparaître du second, et l'on doit avoir
t};(T2)H-«p(T2) = const.
Les deux fonctions (f et ^ sont donc égales et de signes contraires, à une constante près. G devant évidemment s'annuler lorsque T< est égal à T2, la constante est nulle, et le théorème de Carnot doit être exprimé, d'après les principes de son inventeur, par une équation de la forme
G=Q[?(Ti)-cp(T2)].
39. Pour chercher la forme de la fonction <p, il suffit de faire pour un corps, quel qu'il soit, l'étude du cycle. La fonction est la même pour tous les corps : c'est cette généralité qui fait l'importance du théorème.
L'étude des gaz, déjà complète au temps de Carnot, et les résultats mêmes obtenus par lui comme déduction de ses principes lui permettaient de faire, s'il en avait eu la pensée, le calcul de la chaleur dépensée et celui du travail produit quand le cycle est parcouru par un gaz vérifiant en toute rigueur les lois de Gay-Lussac et de Mariotle. Carnot ne pouvait pas y associer l'hypothèse d'un calorique spécifique constant*. Il avait démontré, par des
considérations équivalentes à celles qui ont été exposées (12), que le calorique spécifique à volume constant k doit avoir pour expression
(a) A=AT) + C/r,
la constante G étant la différence Id — k des caloriques spécifiques.
Fig. 14.
Soit k^k^^'i^s le cycle de Carnot parcouru par le gaz {fig- 14); la chaleur dépensée pour un changement infiniment petit a pour expression (14)
rfQ z= kdt-\ jT — p dç.
Pour le côté A|'A2, on a rf^ = o ; k' — k étant égal à G, on peut écrire
dQ. = -^p dv
et, à cause de Téquatîon pv = RT,
rfQ=GT^.
T étant constant et égal à T^, si Ton nomme v^ et V2 les volumes qui correspondent aux extrémités A| et A2 du côté considéré, on aura
G Qi est le dénominateur de la fraction pr-> égale à la fonction iû-
connue F(T<, To).
Le numérateur G, travail produit dans le parcours du cycle, est représenté par Tintégrale fpdvt prise sur le contour entier. Pour
calculer celte intégrale, considérons l'équation
Qpdv
d<i = kdt
équivalente à l'équation (6) (14), puisque k' — k = C.
Intégrons les deux membres sur le contour entier du cycle : on aura, diaprés les principes acceptés par Carnot,
fdq = o.
Nous pouvons donc écrire, pour le contour entier,
^fpdi^= ^fk dt
et, en remplaçant k par sa valeur.
Quelle que soit la fonction /(T), l'intégrale ff(T)dl est nulle, puisque, le cycle étant fermé, la valeur initiale de la température est égale à la valeur finale. L'équation se réduit à
r^fpdv =—fdtlv.
Il suffit donc, pour connaître fpdv^ de calculer l'intégrale fdtW^ successivement sur les quatre côtés du quadrilatère.
Sur les côtés isothermes, elle est nulle, puisque l'on a dt = o; il suffit de faire le calcul pour les lignes adiabatiques A2A.3 et
Pour chacune de ces lignes, on a, par définition,
par conséquent,
k dt -h :^p dv — o.
RT
En remplaçant k par sa valeur (2) et /? par — , cette équation devient
/(T)e/^-*-G/pe/^ + GT^ =0;
on peut lui donner la forme
/(T) + C/p-hGT^^=o; elle a pour intégrale, en y considérant Iv comme inconnue,
C| désignant une constante et F(T) une fonction liée à /"(T) par l'équation
/(T)-^GF(T)+GTF'(T)=o.
On a
fh dt=:CtlT-^f F(T) dt.
Soit F|(T) l'intégrale indéfinie de F(T), les valeurs extrêmes de T dans le parcours de l'une des lignes adiabatiques étant T^ et T2 ; on aura, pour la première de ces lignes A2 A3,
fdth = Cl/ J + Fi(Tj)- Ft(TO,
Al
et, pour la seconde A4A1, la constante Ci changeant de valeur et devenant G^,
fdth = g;/ Ji + Fi(Ti) - Fi(T,).
En ajoutant ces deux équations, on obtient la valeur de -^fpdv étendue au contour entier, égale et de signe contraire à la somme des valeurs de fdtlv^
Les lignes adiabatiques passant, la première par le point Aj, la seconde par le point A|, on a
par conséquent,
/ç.i = ~i+F(Ti);
On a donc
fpdv est le travail désigné par G; en le divisant par Q<, calculé d'abord, on a
^ = F(Ti,Tî) = ~(^Ti-/TO.
Cette forme de la fonction, rigoureusement déduite des principes de Carnot, est très différente de celle que les progrès de la Science ont fait accepter.
40. Le raisonnement seul permettrait de condamner la forme de la fonction déduite des principes de Carnot. Une remarque aujourd'hui décisive aurait été, sans doute, il y a un demi-siècle, jugée sans importance.
La fonction /Tj — /T2, égale au logarithme du rapport 7=rS peut
grandir sans limite si la température T2 de la source froide est
suffisamment rapprochée du zéro absolu. Si la formule est acceptée, le rapport de la quantité de travail produit à la chaleur mise en œuvre, n'aurait pas de limite supérieure; la puissance de travail d'un corps chaud serait infinie.
41. La fonction /T^ — /T2 est très différente de celle qu'il faut accepter aujourd'hui et qui, nous le démontrerons, a pourexpres-
sion — ^; — -• Ces deux formules s'accordent, comme cela doit
Al
être (32), dans le cas d'un cycle infiniment petit. Si l'on suppose^ en effet, T| = Tj-f- dt^ on a
Al
et le rapport ^ du travail produit à la chaleur dépensée par la source chaude est proportionnel à
dt Ti — T2
c'est la formule démontrée aujourd'hui dans tous les cas.
L'explication a été donnée, à Poccasion du commentaire deClapejTon, dans lequel, précisément, les cycles étudiés sont infiniment petits. Dans Tune des théories, la quantité de chaleur dépensée dans le parcours d'un cycle est regardée comme nulle; elle est, dans l'autre, proportionnelle à la surface du cycle. Lorsque le cycle est infiniment petit, la surface est infiniment petite du second ordre et les deux théories sont d'accord.
42. Dernières idées de Carnot, — Carnot, trop rapidement enlevé à la Science, n'a pas eu le loisir de suivre la voie qu'il avait ouverte. Quelques notes rapides, ignorées pendant un demi-siècle et publiées par son frère en 1871, nous montrent que, sur les points essentiels, sa pensée avait devancé celle de Mayer.
Citons quelques-unes de ces notes. Doutes ou projets, elles montrent quel retard sa mort prématurée a apporté aux progrès de la Science :
« Est-il bien certain que la vapeur d'eau, après avoir agi dans une machine et y avoir produit de la puissance motrice, soit capable d'élever la température de l'eau du condensateur, comme si elle y avait été conduite immédiatement? »
L'éclaircissement de ce doute, sur lequel l'expérience pouvait prononcer, aurait rectifié toutes les parties aujourd'hui condamnées des réflexions sur la puissance motrice du feu.
<( La chaleur n'est autre chose que la puissance motrice, ou plutôt que le mouvement qui a changé de forme. C'est un mouvement dans les particules du corps. Partout où iLy a destruction de puissance motrice, il y a en même temps production de chaleur en quantité précisément proportionnelle à la quantité de puissance motrice détruite. Réciproquement: partout où il y a destruction de chaleur, il y a production de puissance motrice. »
Ces lignes contiennent l'énoncé exact des principes de Mayer.
« On peut poser, en thèse générale, que la puissance motrice est en quantité invariable dans la nature; qu'elle n'est jamais,
CHAP. II. — LES IDÉES DE SÀDI CARNOT. 5g
à proprement parler, produite ou détruite. A la vérité, elle change de forme, c'est-à-dire qu'elle produit tantôt un genre de mouvement, tantôt un autre, mais elle n'est jamais anéantie. »
Carnot ajoutait :
« D'après quelques idées que je me suis formées sur la théorie de la chaleur, la production de i unité de puissance motrice (looo^'s élevés à I™) nécessite la destruction de 2,70 unités de chaleur. »
L'équivalence de la chaleur au travail, dont l'étude fait l'objet du Chapitre suivant, avait donc été nettement aperçue par Carnot, et la mesure qu'il en donne est précisément celle que Mayer a obtenue quinze ans après lui.
6o. THERMODYNAMIQUE.
