Nous admettrons, avec Glausius, le postulatum suivant

Quels que soient les opérations accomplies et les corps mis en présence, si aucun travail n'a été dépensé , il est impossible d'obtenir pour résultat final un transport de chaleur d'un corps sur un autre plus chaud que lui, les autres corps du système ayant repris chacun leur température, leur volume et leur pression. En d'autres termes, c'est l'énoncé même de Glausius, la chaleur ne peut pas passer, d^ elle-même, d'un corps plus froid sur un corps plus chaud. Pour que le corps froid cède de la chaleur au corps chaud, il faut dépenser du travail ou produire quelque modification que l'on ne définit pas. Pour se chauffer avec des boules de neige, il faut faire un travail ou adjoindre quelque autre chose.

64. La démonstration du théorème est la conséquence du postulatum.

Supposons que deux cycles de Carnot soient parcourus par deux corps difTérents, dont les lignes isothermes sont aux mêmes températures T< et T2, et qui tous deux soient capables du même travail G. Cette condition laisse G arbitraire; car, les lignes isothermes qui limitent les deux cycles étant données, on peut disposer des lignes adiabatiques de manière à diminuer ou à grandir autant qu'on le voudra la surface du quadrilatère proportionnelle (lo) au travail accompli.

Soient Qi la quantité de chaleur versée pendant le parcours du premier cycle par la source de température Ti et Q2 celle reçue par la source de température Ta, Q'^ et Q'^ les quantités analogues pour le second cycle.

Il faut prouver que l'on a

Le travail étant le même pour les deux cycles, on doit avoir, en effet, en vertu du principe de Mayer (51),

Si le théorème énoncé n'était pas exact, il faudrait que Qi et Q2 fussent tous deux plus petits ou tous deux plus grands que Q.\ 6^ Q2* '^ suffit évidemment de prouver qu'ils ne peuvent être tous deux plus grands.

S'il était possible que Q< et Q2 fussent respectivement plus grands que Q'^ et Qg, on pourrait produire, à l'aide du second cycle, une quantité de travail égale à celle que produit le premier, en empruntant à la source de température T| une moindre quantité de chaleur, pour en verser une quantité moindre sur la source de température T2.

Les deux cycles sont réversibles; associons-les en faisant parcourir le premier en sens inverse. Le second, étant parcouru d'abord dans le sens direct, produira une quantité de travail que nous avons nommée G. Ce travail, appliqué au premier cycle, suffira pour qu'il soit parcouru en sens inverse et que la quantité de chaleur Q2 soit empruntée à la source de température T2,

CHAP. IV. — THÉORÈME DE CARJVOT. 85

Qi étant versé sur la source plus chaude de température T|. Lorsque la double opération sera terminée, le résultat sera le suivant :

Le travail produit par l'un des cycles a été dépensé par l'autre;

La chaleur empruntée à la source de température T2 pendant le parcours inverse du premier cycle est plus grande que celle qui a été versée sur cette même source pendant le parcours direct du second ;

La chaleur versée sur la source de température T| pendant le parcours inverse du premier cycle est plus grande que celle qui a été empruntée à la même source pendant le parcours du second.

En résumé : une certaine quantité de chaleur a passé de la source froide à la source chaude, sans dépense de travail et sans aucune modification des corps mis en action.

Un tel résultat est contraire au postulatum (63).

Il n'est donc pas admissible que deux cycles qui produisent le même travail et sont compris entre les mêmes lignes isothermes puissent mettre en œuvre d'inégales quantités de chaleur.

65. Le postulatum admis dans la démonstration précédente n'est pas, il faut l'avouer, d'une entière évidence.

On peut aisément imaginer des expériences dans lesquelles la chaleur passe d'un corps froid sur un corps chaud sans dépense de travail, c'est-à-dire en remplissant la condition qui, à première vue, semble, surtout, dans l'énoncé, rendre le passage impossible. Mais d'autres modifications se produisent, et l'axiome n'est pas en défaut. La chaleur ne passe jamais d'elle-même, et une modification s'est produite qui quelquefois, il est vrai, ne semblerait pas, a priori^ de nature à favoriser le passage.

Considérons, par exemple, i''^ d'air à la température T2 ; laissons-le se dilater et empêchons le refroidissement par le contact avec une source indéfinie de chaleur à la température T2 à laquelle le gaz empruntera de la chaleur. Employons une partie du travail produit par la dilatation, et recueilli par les méthodes bien connues, pour comprimer le gaz dilaté : la compression réchauffera. Soit T| une température obtenue avant l'épuisement

du travail disponible. Continuons la compression en utilisant le travail non encore employé, en mettant, pendant cette seconde période, le gaz en contact avec une source de chaleur de température T< qui l'empêche de s'échauffer davantage.

Cette source recevra de la chaleur, et, quand nous aurons employé de cette manière la totalité du travail produit par la dilatation, le gaz, sans que l'opération dans son ensemble ait consommé de travail, aura fait passer la chaleur empruntée à la source de température T2 sur la source plus chaude de température T| .

Une telle conclusion n'infirme en rien l'axiome de Clausius. Le gaz, en effet, qui a servi d'instrument ne se retrouve, après l'opération terminée, ni à la même température ni à la même pression.

66. On pourrait, en se rapprochant des idées de Carnot, substituer au postulatum de Clausius un axiome un peu différent :

Pour que la chaleur produise du travail, il est nécessaire que le corps qu'elle quitte soit plus chaud que celui qui la reçoit.

Cet axiome étant accepté, considérons deux cycles de Carnol dont les lignes isothermes correspondent aux mêmes températures Ti et T2, et tels que, dans chacun d'eux, la même quantité de chaleur soit versée sur la source la plus froide de température Tj. On peut affirmer que, pour les deux cycles, les quantités de travail seront les mêmes.

Les deux cycles, en effet, étant associés comme dans la démonstration de Clausius, Pun marchant dans le sens direct, l'autre dans le sens rétrograde, si le travail produit par le premier était plus grand que le travail dépensé par l'autre, les deux opérations successives donneraient pour résultat final une certaine quantité de travail produit; la source de température Ta ayant reçu dans Tune des opérations précisément autant de chaleur qu'elle en rend dans l'autre, la source de température T^ aurait seule fourni la chaleur équivalente au travail accompli sans l'avoir versée sur une source plus froide qu'elle.

CHAP. IV. — THÉORÈME DE CARNOT. 87

On aurait produit du travail en consommant de la chaleur, sans la faire passer d'un corps froid sur un corps chaud.

67. Le théorème de Carnot modifié par Clausius peut s'énoncer, nous l'avons vu, en disant : Pour un cycle de Carnot, parcouru par un corps quelconque, l'intégrale

est égale à zéro, rfQ désignant la quantité de chaleur versée sur le corps pendant un changement infiniment petit, et T la température absolue à laquelle ce changement s'accomplit.

Ce théorème étant vrai pour un cycle de Carnot est vrai, par cela même, pour un cycle quelconque.

Un cycle, en effet, quel qu'il soit, après avoir été représenté par une courbe fermée, lieu des points qui ont pour coordonnées les valeurs successives du volume et de la pression, peut être partagé en d'autres cycles, obtenus en traçant dans son intérieur des lignes arbitraires qui leur servent de contour.

Si, par exemple, le cycle Mi Ma MgM^, MsMeMjMg {^fig. i5)est coupé par les lignes Mi Me, MgMg, MgMg, M4M7, il pourra être remplacé par les neuf cycles représentés par les cinq quadrilatères et les quatre triangles qui, sur la figure, partagent le contour total. Je veux dire que le travail produit, aussi bien que la chaleur dépensée, resteront les mêmes quand les neuf cycles seront substitués au cycle primitif. Il est clair, en effet, qu'en les supposant tous parcourus dans le même sens, chacun des côtés introduits

sera parcouru deux fois dans l'ensemble des opérations, et dans des sens différents. Il n'exercera donc d'influence ni sur le travail ni sur la chaleur versée sur le corps.

Il résulte que si Tintégrale / -—^ est nulle pour les cycles partiels, elle le sera pour le cycle total. Les éléments de cette intégrale, relatifs aux côtés qui n'appartiennent pas au contour primitif, se détruisent deux à deux.

D'après cette remarque, on peut remplacer le contour primitif, quel qu'il soit, par un nombre infini de cycles de Carnot infiniment petits, obtenus en considérant une série de lignes isothermes el de lignes adiabaliques infiniment voisines les unes des autres, et l'intégrale relative au cycle total se réduira à la somme des intégrales relatives à ceux des éléments infiniment petits ainsi formés, qui empruntent au cycle primitif une portion de leur contour; les intégrales relatives aux autres sont rigoureusement nulles. Or, pour chacun des éléments qui restent, infiniment petits dans tous les sens, la température T peut être considérée comme constante. L'intégrale /t/Q est, en vertu du théorème de Mayer, proportionnelle à l'aire du cycle, et, par conséquent, infiniment

petite du second ordre; il en est donc de même de / -t^» La

somme de ces infiniment petits du second ordre est nulle à la limite, puisque la somme des arcs infiniment petits du premier ordre de la courbe primitive qui leur servent de côtés et dont le nombre est le même a une valeur finie.

68. L'intégrale 1 -^ est nulle (67) pour un cycle fermé quelconque, pourvu qu'il soit réversible. Il en résulte que, si l'on donne les valeurs extrêmes des variables qui définissent l'état thermique d'un corps, l'intégrale considérée, entre les limites ainsi définies, sera une fonction déterminée de ces valeurs extrêmes, indépendante des états intermédiaires du corps.

Supposons, par exemple, que, pour caractériser l'état du corps, on adopte le volume (^ et la pression /?, la température étant une fonction déterminée de p et de (^. Représentons chaque état, comme

CHAP. IV. — THÉORÈME DE CARNOT

il a été fait pour les gaz (7), par le point indicateur dont les coordonnées sont p et V,

Considérons deux points M et M', indicateurs de l'état initial et de l'état final {fig> 16).

Fig. 16.

Soit MHM' la route suivie dans la transformation, c'est-à-dire la courbe parcourue par le point indicateur quand il passe de M en M'. Soit MH|M' une autre route, unissant les mêmes points et représentant une autre série de transformations. Si l'on réunit par une courbe arbitraire MH,M' le point M' au point M, on aura représenté deux cycles fermés, différant seulement par ce que, dans l'un, la partie MHM' sera, dans l'autre, remplacée par MH| M'.

L'intégrale / -^ étant nulle pour les deux cycles, il est nécessaire

que, pour les portions par lesquelles ils diffèrent, elle ait dans les deux même valeur; l'intégrale est donc la même pour les deux courbes dont les extrémités sont les mêmes, et ne dépend, par conséquent, que des points extrêmes.

L'intégrale / -7p> prise à partir d'un point initial convenu, est

une fonction des coordonnées jo et (^ du point indicateur de l'état final. Elle le serait également de deux autres variables arbitrairement choisies et fonctions déterminées de/? et v. Nous poserons

'^ T on en conclura

L'expression différentielle -7^ est donc intégrable.

go THERMODYNAMIQUE.

La fonction S, à laquelle Clausius a donné le nom d^entropie, joue un rôle important clans les études thermiques.

Cherchons l'expression de l'entropie dans quelques cas simples.