ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

75. On ne connaît qne deux théorèmes généraux et les problèmes présentent trois inconnues; formation de deux équations. — 76. Une équation différentielle déduite des deux autres s*accorde avec un théorème de Clapeyron. — 77. Équations équivalentes obtenues en prenant pour variables la température et le volume. Equations obtenues en prenant pour variables la température et la pression. — 78. Cas important dans lequel k' est infini; les équations précédentes y sont applicables. — 79. Démonstration de l'une des équations obtenues par un simple changement de variables. — 80. On retrouve un théorème de Clapeyron, en y déterminant la fonction inconnue. — 81. Seconde solution d'un problème déjà résolu. — 82. Seconde solution d'un autre problème. — 83. Accord des résultats.

75. Lorsqu'on a obtenu entre plusieurs variables deux équations distinctes, on peut, par des méthodes bien connues, en déduire un nombre illimité de relations nouvelles qui, souvent fort utiles, fort remarquables et très éloignées de l'évidence, ne diminuent en rien, cependant, l'excès du nombre des inconnues sur celui des équations.

Les grandeurs entre lesquelles la théorie de la chaleur établit une dépendance sont au nombre de cinq : le volume, la pression, la température et les deux caloriques spécifiques. Le théorème de Mayer et celui de Clausius se traduisent l'un et l'autre par une équation. Ces équations conviennent à tous les corps; mais l'état d'un corps est déterminé par deux variables : la température et la pression. Les problèmes à résoudre, quelles que soient les données, présentent trois inconnues. On ne connaît que deux équations applicables à tous les cas ; il a été jusqu'ici impossible d'en découvrir une troisième.

On ne doit pas s'en étonner. Le nombre des corps est illimilé-, solides, liquides ou gazeux, ils ont des caractères et des propriétés différents ; leur étude ne doit pas dépendre des mêmes formules.

Il serait téméraire, malgré cette remarque, d'affirmer l'impossibilité de découvrir une troisième relation générale.

L'intégration des équations aux dérivées partielles doit introduire des fonctions arbitraires dont la diversité peut plier une formule à des cas très divers.

Après avoir traduit par des équations les théorèmes généraux, nous déduirons, soit de ces théorèmes directement étudiés, solides équations combinées et intégrées, un grand nombre de conséc|uonces remarquables et utiles, mais qui n'ajouteront rien, au point de vue mathématique, à la traduction des deux théorèmes. Nous aurons toujours entre trois inconnues deux relations distinctes seulement. Il sera nécessaire, dans chaque étude particulière, d'adjoindre aux équations générales une propriété caractéristique du corps. C'est ainsi que la théorie des gaz repose sur los lois de Gav-Lussac et de Mariotte qui, traduites en formule, iHMulent le nombre des équations égal à celui des inconnues. Il existe, pour chaque corps, une relation analogue entre le volume, lu température et la pression; mais cette relation, si elle étail connue, serait sans doute très compliquée.

Lu traduction des principes en équations équivalentes résulte desi énoncés obtenus \^31) et (68^.

L'expiTSsJou

déiJuio y^l ^, doit éti^ela diflerentielle d'une fonction déterminée L ; *A^ désij;:ne lu quantité de chaleur qu'il faut fournir au corps pcudunt une truu:sformatiou iutioiment petite, et A/> rf*^ est Té- \|ui\ulcnt cuKuitUjue du travail extérieur accompli.

iVcst le th^vi\^iuc de Maver.

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