CHAP. V. — ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

est la différentielle d'une fonction déterminée S, T désignant la température absolue.

C'est le théorème de Clausius.

rfQ, dans les deux expressions précédentes, est déterminé par le changement infiniment petit qui s'est accompli. Ce changement est défini par les accroissements de deux variables que l'on peut choisir arbitrairement. Adoptons le volume i^ et la pression/?, qui deviennent {> -h di^ et p -^ dp. On peut changer d'abord {^ en i^ -h rf(^, puis, par une seconde transformation, p en p -{- dp. Dans le premier changement, la pression est constante. Le calorique spécifique à pression constante étant désigné par k'^ il faut donner une quantité de chaleur k^dc, dt étant l'élévation de température

qui correspond à l'accroissement rfi^ du volume, c'est-à-dire

dt ,

-j-dv:

as?

est donc la quantité de chaleur qu'il faut fournir pour accroître le volume de d^? sans changer la pression. On verra de même qu'en négligeant un infiniment petit du second ordre, pour accroître la pression de dp, le volume restant constant et égal à p -h dç^ la quantité de chaleur à fournir est

k étant le calorique spécifique à volume constant. On a donc

dÇi^k^dp---k^dv, dp ^ dv ^

et les deux théorèmes peuvent s'énoncer en disant : Les expressions

k -^ dp -\- k' -z- dv — A/? dv, k dt . A' dt .

sont l'une et l'autre intégrables.

Io6 THERMODYNAMIQUE.

Les condilîons nécessaires et suffisantes sont, d'après une théorie bien connue,

É.( Il ^\ -.AOL ^\

di>\T dp) ~ dp\T dvj'

En eflectuant les différentiations indiquées et multipliant la seconde équation par T, ces équations deviennent

., . du dk dt dk dt

., , </*^ dk' dt^ __dk dt k' — k dt d£

(2) ^'^ ~ ^^ dfdv "^ "dp di "'dv dp " T dpdi'

Les premiers membres sont les mêmes ; on peut donc égaler les seconds membres et écrire l'équation plus simple

76. L'équation (3), dont l'importance est très grande, a été obtenue déjà sous une forme moins précise.

Clapeyron a démontré (33) que la quantité de chaleur rfQ, qu'il faut fournir lorsque, la température étant constante, le volume s'accroît de dv, a pour expression

^^^ ^ cp(^) dt

L'équation (3) traduit ce théorème et détermine la fonction inconnue ^{t).

On a, en effet, pour une transformation quelconque,

<f Q = k-j-dp -hk' -r dv.

Si l'on suppose la température constante , par conséquent

dt = o, on a

, dt , dt , dt~ -r^ dp-A — T dv = o.

dp '^ dv