CHAP. V. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. IO
Mais, sans déterminer / a priori, la valeur (8) de rfQ peut être adoptée.
Pour exprimer le théorème de Mayer et de Clausius, nous avons à écrire que les expressions
<fQ — kp dv — k dt -{-l dv — A/> dv,
dO , dt ,dv
sont l'une et l'autre intégrables.
Les deux conditions sont
(lO)
dk
dv '
dl
dp dt'
dk dv
dl dt
La comparaison de ces deux, équations donne
/ = AT^; dt'
c'est précisément l'équation (9), qu'il était inutile, on le voit, de supposer connue à l'avance.
La substitution de la valeur de / dans l'équation (10) donne .
dk f^ryd^p
Adoptons maintenant pour variables p et t. Nous pourrions transformer l'expression de rfQ et y remplacer dv par sa valeur en fonction des différentielles adoptées dp el dt\ mais il est plus simple d'écrire immédiatement
<fQ = k' dt -t- g dp,
k' étant le calorique spécifique à pression constante, puisque, par définition, pour dp z=^Oj dQ doit se réduire à k'dt. Il serait aisé, mais inutile, de chercher immédiatement la valeur de g. Les théorèmes de Mayer et de Clausius la feront connaître.
Il faut exprimer, pour traduire ces théorèmes, que les exprès-
IIO THERMODYNAMIQUE.
sions
( |3 ) dCl — S.p dv = k' dt -^ g dp — \p dv,
/ / \ dQ j,dt dp
sont l'une et l'autre inlégrables.
Nous ne pouvons évidemment pas espérer obtenir, par celte troisième traduction des deux théorèmes, des relations réellement nouvelles : la forme seule sera différente.
La première des expressions précédentes n'est pas suffisamment préparée 5 elle contient encore la différentielle dv. On peut la faire disparaître en ajoutant à l'expression la somme
A/> dv -\- kv dp.
Cette somme étant la différentielle exacte du produit A/?i^, la condition d'intégrabilité que nous voulons exprimer restera la même et l'expression (i3) sera remplacée par
(i5) k dt -\- g dp -\- kv dp.
Les conditions d'intégrabilité des expressions (i5) et (i4) sont
^ ' dp dt dt
^^^ T dp T dt T«
La comparaison de ces équations donne
et, par la substitution de cette valeur de g dans (16), on a
78. L'introduction de la lettre l (IT) n'a pas eu pour but seulement de simplifier l'écriture : elle fait rentrer dans la démonstration un cas important qui, sans cela^ se trouverait exclu.
