CHAP. V. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. III

Si la pression est liée à la température par une équation indépendante du volume, le calorique spécifique à pression constante k^ est infini ou, pour mieux dire, il cesse d'exister.

Comment échaufier le corps à pression constante, si la température est liée à la pression par une équation nécessaire? L'introduction de la Jettre k' ayant été évitée, nos formules s'appliquent à ce cas comme aux autres.

Le cas dont nous parlons est de grande importance : c'est celui d'un liquide enfermé dans un vase clos qu'il ne remplit pas. Il se réduit partiellement en vapeur. L'ensemble de la vapeur et du liquide, étudié pour la première fois par Clapeyron (34) comme formant une substance déterminée, présente la singularité dont nous parlons. La vapeur étant nécessairement saturée, la pression dépend de la température et non du volume. Les équations (77) n'ont pas à être examinées de nouveau : elles conviennent à ce corps comme aux autres.

79. L'équivalence des équations obtenues quand on exprime les mêmes théorèmes, en adoptant des variables différentes, est évidente a priori. Il n'est pas sans intérêt, néanmoins, d'en donner une vérification et, pour cela, nous déduirons, par un simple changement de variables, l'équation (12)

dans laquelle s? el t sont les variables indépendantes, de la formule (3)

dans laquelle les variables sont p et v.

Différentions l'équation (3) par rapport à/?, nous obtiendrons

^ dp dv dp~^ dç dp^ \^P dpjdpdv dp

En remplaçant (/:' — k) , , par sa valeur déduite de l'équa-

lion (i ), on obtient

dp \ dp dv~^ dv dp) dv dp^ \ dp dp) dp dv ~ dp

ri t A T*

Remplaçant (A' — ^)^ P^^ sa valeur déduite de (3)-t-> celte

dp équation devient, après des réductions évidentes,

^ dt ^dk dt ^ d/>^

^'^^^ Tv d^^d]}'dv~^ { ^Y

\dp)

Pour substituer, dans celte équation, aux variables i^ et p les variables t et (^, il faut calculer les dérivées qui y figurent en adoptant les variables nouvelles.

Si nous désignons par (-t-) la dérivée de k par rapport à p, lorsque t est considéré comme constant, on aura, en continuant à désigner par j- et -j- les dérivées de k prises, et en adoptant/? eiv pour variables indépendantes,

dk , dk ,

(dk\ dp ^ dv di ^

di^ J dv

avec la condition dt = o, c'est-à-dire

dt . dt , o = -y- dp -\- -y dv, dp ^ dv

ce qui donne, pour f ^ j, l'expression

dk dt dk dt / dk\ di> dp dp dv \dv ) ^ ^^7

dp

Le premier membre de l'équation (20) peut donc être remplacé par

\dv)dp'

CHAP. V. ÉQUATIOKS DIFFÉRENTIELLES. Il3

on a d'ailleurs, en appliquant les règles du changement de la variable indépendante, quand on considère successivement/? comme fonction de ^ et ^ comme fonction de /?, i^ étant constant dans les deux cas,

<Pp dp'

dt^ f dt\

dp]

L'équation (20) devient donc