QUELQUES THÉORÈMES
93. Équations générales des lignes isothermes et des lignes adiabatiques. — 94. Équivalence des quadrilatères dans lesquels ces lignes peuvent partager le plan. — 95. Équation différentielle qui exprime cette propriété quand on suppose les quadrilatères infiniment petits. Cette équation exprime, sous une forme nouvelle, un théorème déjà connu. — 96. Démonstration directe de la constance des parallélogrammes. — 97, 98, 99. Transformation du théorème par les évaluations diverses du même parallélogramme. — 100. Définition et expression du coefficient de dilatation, du coefficient de compressibilité, de la chaleur de dilatation à pression constante et à volume constant. — 101. Relations entre ces divers coefficients ; les unes sont des identités, les autres des formes diverses du même théorème.
93. L'état thermique d'un corps peut être défini parle volume et la pression. Les autres éléments sont liés, par des équations nécessaires, à ces deux variables indépendantes, dont ils sont des fonctions déterminées. Nous avons jusqu'ici introduit dans nos formules trois inconnues seulement : la température et les deux caloriques spécifiques. On ne trouverait aucun avantage, au point de vue mathématique, à changer ces inconnues ou à en accroître le nombre. Les équations n'en deviendraient plus faciles ni à intégrer ni à résoudre. D'autres grandeurs, cependant, intéressent les physiciens et s'imposent à notre attention. L'application à leur étude des formules transformées par leur introduction est le but de ce Chapitre.
La courbé dont les points ont pour coordonnées les valeurs successives du volume et de la pression caractérise chaque transformation d'un corps.
l3o THERMODYNAMIQUE.
Les lignes isothermes et les lignes adiabatiques doivent être mentionnées particulièrement.
Les lignes isothermes correspondent aux. transformations accomplies à température constante. Hyperboles équilatères pour les gaz parfaits, droites parallèles à Taxe des volumes pour un liquide partiellement réduit en vapeur, les lignes isothermes, variables d'un corps à l'autre, restent le plus souvent inconnues.
Les lignes adiabatiques correspondent aux changements pendant lesquels le corps ne reçoit ni ne cède de chaleur : la compression réchauffe ou la dilatation le refroidit. La quantité de chaleur qu'il contient, aurait dit Carnot, ne change pas. Cet énoncé, pour les physiciens, n'aurait plus aujourd'hui de sens.
En adoptant nos notations habituelles, l'équation générale des
lignes isothermes est
T, dans cette équation, est la fonction de la pression et du volume qui représente la température, a est une constante, paramètre caractéristique de chaque ligne.
Les lignes adiabatiques ont pour équation
s désignant l'entropie exprimée en fonction de la pression et du volume; ^ est une constante, paramètre caractéristique de chaque ligne.
La fonction S, en effet (68), est définie par l'équation
dS = "Y i
rfQ étant la quantité de chaleur qu'il faut fournir au corps dans la transformation considérée ; rfQ = o est la condition caractéristique d'une transformation adiabalique; rfS, proportionnel à rfQ, est donc nul aussi, et S est constant. Il ne faudrait pas dire : rfQ étant nul, Q est constant : rfQ n'est la différentielle d'aucune fonction .
CHAP. VII. — QUELQUES THÉORÈMES. llil
94. Les lignes isothermes et les lignes adiabatiques varient d'un corps à l'autre. Tous les systèmes ont une propriété commune : ces lignes, quel que soit le corps étudié, peuvent partager le plan en quadrilatères juxtaposés, d'égale surface,
Considérons, en effet {fig. 17), la série des lignes isothermes, correspondant k des accroissements égaux Aa du paramètre a, et celle des lignes adiabatiques, correspondant à des accroissements égaux A^, du paramètre ^.
Le cycle de Carnot, compris entre les lignes définies par les valeurs a et a -j- Aoc, ^ et ^ + A^ des paramètres, a, d'après le théorème de Mayer, une surface équivalente à la quantité totale de chaleur qu'il faut fournir au corps pendant le parcours de ce cycle. L'équation
dQ = TrfS,
intégrée sur chaque côté, fera connaître cette quantité de chaleur. Sur deux des côtés du cycle, S est constant et c/Q égal à zéro ; sur les deux autres, T est constant, et la somme des valeurs de (iQ est le produit de T par l'accroissement A^ de S. La quantité totale de chaleur qu'il faut fournir au cycle est, par conséquent, (a-!-aa)ip — ai? = 4aip.
Si G représente l'aire du cycle, mesure du travail accompli pendant le parcours, on a
(i) AG = Aai?;
Ax et A^ étant constants, tous les quadrilatères sont équivalents.
l32 THERMODYNAMIQUE.
95. Aa et A^ peuvent être tous deux infiniment petits. Le plan sera alors divisé par les lignes isothermes et les lignes adiabatiques en parallélogrammes infiniment petits d'égale surface.
Ce théorème, sans déterminer les deux systèmes de lignes, établit entre eux une dépendance. L'un d'eux étant supposé connu, l'autre est défini par une équation aux dérivées partielles du premier ordre. L'une des lignes du second système peut être choisie arbitrairement, les autres sont alors déterminées. Il ne semble pas utile d'insister sur cette proposition, rendue évidente par l'étude géométrique du problème.
Les lignes isothermes ayant pour équation
T = a, et les lignes adiabatiques étant représentées par
l'équivalence des quadrilatères ayant pour côtés les lignes qui correspondent à des accroissements égaux de a et de P est exprimée par l'équation
^ dp dv dv dp ''
G désignant une constante qui, d'après l'expression — ^> trouvée
pour la surface d'un quadrilatère, doit être égale au coefficient A.
La surface comprime entre les lignes dont les équations sont
T = a, T = a + Aa,
calculée par les méthodes du Calcul différentiel, sans qu'il y ait nullement à faire intervenir la signification et l'origine des fonctions S et T, est, en effet,
AaAp dv dp dp dv
GHÀP. VII. — QUELQUES THÉORÈMES. l33
La comparaison avec la formule (i) donne
dv dp dp dv *
L'équation (3), qui exprime l'équivalence des parallélogrammes, traduit, sous une forme nouvelle, un théorème déjà connu. On a, en effet, par la définition de la fonction S,
en remplaçant rfQ par sa valeur, cette équation devient
On en déduit
rfS=i(x:|rf^^-A-'|rf.>).
d^ k^ dt^ dp~ T dp'
d^ k dl dv" T dv'
Ces valeurs de ^ et de ^ font prendre à l'équation (3) la forme
équation bien connue (75).
96. L'identité des théorèmes connus avec l'énoncé obtenu (94), suffisamment démontré pour le cas où le parallélogramme est infiniment petit, peut être rendue évidente d'une manière plus directe.
Le parallélogramme infiniment petit A4A2 A3 A4 {fig* 18), compris entre les deux lignes isothermes AiA2, A3 A4 et deux lignes adiabatiques Ai A4 et A2A3, peut se mesurer en menant par les points Al et A2 deux parallèles K^M.^ et A2M2 à l'axe des pressions, et remplaçant la surface cherchée par le parallélogramme, de
même base et de même hauteur, A^ A2IVI1M2. Ce parallélogramme
a pour mesure
G = dv AiM|,
Fig. 18.
dv étant la différence entre les abscisses des points Aj et A2, et A|M, l'accroissement de pression qui, pour une même valeur du volume, correspond à un accroissement de température dct. On a évidemment
Al Ml = -—- dx,
^ * dt
On a d'ailleurs, en général.
dp
dQ = kdt-^kT -^dç;
dt
dans le cas considéré, rfQ est égal à T rf^ et rf/ à zéro; par conséquent
et
AT^ Af dt dt
G = A.M,rfP=^.
La surface G est donc constante lorsque doL et d^ le sont.
97. La surface infiniment petite Ai A2 A3 A^ peut être évaluée
de diverses manières. En égalant les expressions obtenues à
, did^
CHAP. \ll. QUELQUES THÉORÈMES.
nous obtiendrons plusieurs traductions différentes de la môme relation.
Si, par les extrémités de l'un des côtés d'un parallélogramme, on mène deux parallèles terminées au côté opposé, on forme, quelle que soit la direction de ces parallèles, un parallélogramme équivalent au premier.
Nous prendrons successivement pour côté un côté isotherme A| A2 et un côtéadiabatique A| A4, en dirigeant les parallèles, soit dans la direction de l'axe des volumes, soit dans la direction de Taxe des pressions; nous obtiendrons quatre expressions différentes de la surface : l'une d'elles a déjà été obtenue (^fig- 18).
Par les extrémités Ai et A2 du côté isotherme Ai A,, menons (^fig* 19) les parallèles A|Hi, A2H2 à l'axe des volumes ter-
Fig. 19.
minés au côté A3 A4. Le parallélogramme A| A2H,H2, équivalent au premier, a pour expression
AiH,âf/?,
dp étant la diminution de pression qui, pour une température constante, correspond à un accroissement d^ de la fonction S, et AiH| l'accroissement de volume qui, pour une pression constante, correspond à un accroissement rfa de la température. On doit
avoir
d'xd^
ou
= AjUj dp
di ap'
A îf
^ S rapport de l'accroissement de volume à raccroissement de
température, la pression étant constante, représente la dérivée -t-;
-^ peut être remplacé par =,-^- •
L'équation (4) établit donc une relation entre les rapports -^
et -^ dont la signification physique est évidente : - * ^ > le rapport de l'accroissement de volume à l'accroissement de température, fait connaître le coefficient de dilatation; -^— est le rapport
de la quantité de chaleur fournie au corps à l'accroissement de pression, la température étant constante. Cette quantité de chaleur est la chaleur dégagée par la compression et qu!il faut enlever au corps, lorsque l'on diminue son volume par un accroissement de pression, pour que la température ne s'élève pas.
Le calcul direct de chacun des deux membres de l'équation (4) ne peut manquer d'en vérifier l'exactitude.
Le premier membre
. AtHt
représente
cioi
dq
-^ est le rapport de la quantité de chaleur versée sur le corps
quand le point indicateur passe de A| en A2, à la différence de pression dp entre les deux points.
On a, en général (77),
dq = Adt — AT^jdp;
dt étant nul dans le trajet isotherme A| Ao, on a
dq .r^dv
dp dt
Mais dp est une longueur qui doit être prise en valeur absolue, et
CHÀP. VII. — QUELQUES THÉORÈMES. l3y
les deux membres de Téquation (4) se réduisent l'un et l'autre
98. Par les extrémités Ai et A4 du côté adiabatique Ai A4, me-
Fig. 20.
.Viv 1 \
nons les parallèles A| G^ et A4 G4 à l'axe des pressions, jusqu'au côté opposé A2A3.
Le parallélogramme K^ K^P^z^k a pour mesure
dv étant la différence des volumes qui correspondent aux points Ai et A4, c'est-à-dire à deux points dont la température diffère de doL sur une même ligne adiabatique.
Ai Gi est la variation de pression, à volume constant, correspondant à une quantité de chaleur rfQ = T rf{3 fournie au corps.
L'équation
peut s'écrire
.di^__d^ dQ ^^ doL- A,Gi~ Tdp'
Les deux membres ont, cette fois encore, une interprétation physique :
-r > rapport de raccroissement de volume à l'accroissement de
température pour une même ligne adiabatique, est l'inverse du coefficient d'échauflement par compression ;
-^ est le rapport de la chaleur c/Q, versée sur le corps, à Tac-
croissement correspondant dp de la pression, le volume restant constant.
L'équation (5) établit une relation remarquable entre ces deux rapports qui semblent, à première vue, n'avoir rien de commun. On peut la vérifier par le calcul direct de ses deux membres.
Pour calculer -7- , considérons l'équation générale
d(:i = kdt-\-kT^dv\
cLt
rfQ est nul, dt est égal à rfa-, la valeur absolue de -j- est donc
dt
L'équation
donne, dv étant nul.
d(l^k^dp-\-k'^dv dp ^ ap
dp dp^
■j- étant l'inverse de -^, ces valeurs rendent l'équation (5) identique.
99. Par les extrémités du côté adiabatique Ai A4, menons enfin des parallèles AiHi et A4H4 {fig* 22) à Taxe des volumes, terminées au côté opposé A3 A4 du quadrilatère.
La surface du quadrilatère a pour expression
dp étant la difierence des pressions qui correspondent aux points Al et A4, c'est-à-dire à un accroissement rfa de température sur une même ligne adiabatique.
