AU=/"(8)Q

Si nous faisons Q = 1, nous obtenons t = /"(8). Cette dérivée f (8) est donc la quantité de travail correspondant à un développement d'une quantité de chaleur de 1 calorie dans le système considéré ; on l'appelle Véjuiva/ent mécanique de la chaleur et on la désigne par E.

55. Faisons observer que la fonction /"(8) ne dépend nullement de la manière dont le système se transforme, ni de la nature de ses transformations puisqu'elles sont supposées quelconques. De plus, la quantité de chaleur Q qui entre dans l'égalité précédente aurait la même valeur si nous prenions pour corps calorimétrique un autre corps que l'eau, ou de l'eau à une température différente, puisque nous avons vu 181 que la mesure des quantités de chaleur ne dépend pas de la nature du corps calorimétrique ; par conséquent le

quotient f (8) = - ne peut dépendre de ce corps. En un mot,

f (8) ou E est une constante absolue.

Cette invariabilité de E constitue précisément le principe de l'équivalence; il est donc démontré, sous les mêmes conditions que le principe de la conservation de l'énergie d'où nous l'avons déduit. On conçoit qu'au milieu de ce siècle, où l'hypothèse des forces centrales était généralement admise,

plusieurs savants aient pu être simultanément conduits à admettre ce principe et à en chercher la vérification expérimentale.

56. Détermination expérimentale de l'équivalent mécanique de la chaleur. — Les expériences effectuées dans le but de déterminer la valeur de l'équivalent mécanique de la chaleur sont nombreuses et variées; nous rappellerons seulement le principe de quelques-unes d'entre elles(').

Expériences de Joule. — Les premières furent entreprises par Joule en 1843, à l'aide de plusieurs dispositifs.

Dans l'un d'eux l'élévation de température du calorimètre résulte du frottement de l'eau qu'il contient sur elle-même et sur des palettes de laiton portées par un axe vertical animé d'un mouvement de rotation. Ce mouvement est obtenu par la chute d'un poids. Considérons le système formé par le calorimètre et les palettes. Ce système reçoit de l'extérieur un travail t égal à celui de la pesanteur sur le poids qui tombe, diminué du travail employé à augmenter la force vive de ces poids et de celui qui est absorbé par le frottement des poulies de transmission et par le frotlement de l'axe portant les palettes sur le collier qui le maintient. L'évaluation du travail transformé en force vive s'effectue facilement en mesurant la vitesse de chute du poids, chute qui ne tarde pas à être uniforme; d'ailleurs ce travail n'est qu'une fraction très faible de celui qui est transformé en chaleur et l'incertitude qu'il peut y avoir dans son évaluation n'enlève aucune précision à la méthode. Le travail absorbé par les frottements des poulies

(') Pour la partie expérimentale consulter : Liitmann, Cour.* de Thermodynamique professé à la Surbonne, et les Traités classiques.

est beaucoup plus important et en même temps son évaluation beaucoup plus délicate; aussi ne peut-on compter sur

une approximation plus grande que — dans la mesure du

travail t transformé en chaleur. Quant à la quantité Q de chaleur absorbée par le calorimètre, elle peut être évaluée à

77TT près environ. Le nombre trouvé par Joule dans ces con- 400 l

ditions est 424,9 kilogrammètres.

En remplaçant l'eau du calorimètre par du mercure, Joule a obtenu 423 kilogrammètres.

Dans d'autres expériences, faites à la même époque, le développement de chaleur résultait du frottement de deux pièces de fonte tronconiques l'une sur l'autre. Le travail correspondant élait évalué comme précédemment. Le nombre trouvé diffère peu de ceux que nous venons de citer.

57. Nouvelles expériences de Joule. — En 1878, Joule entreprit de nouvelles déterminations. Comme dans la première de celles que nous venons de rappeler, la chaleur résulte du frottement de l'eau sur elle-même et sur des palettes de laiton ; le mode de production et d'évaluation du travail transformé en chaleur sont différents.

Ce travail est fourni par l'opérateur, qui fait tourner les palettes en agissant sur une manivelle. Son évaluation s'obtient par le dispositif suivant : le calorimètre est supporté par un flotteur lui permettant de tourner autour de son axe ; il peut ainsi prendre un mouvement de rotation sous l'influence du mouvement de l'eau qu'il contient ; deux cordons tendus par des poids et s'enroulant en sens inverse

dans une gorge creusée à la partie supérieure du calorimètre s'opposent à cette rotation.

Considérons le système formé par le calorimètre, les cordons tendus qui le maintiennent, les palettes et la portion de Taxe qui plonge dans le calorimètre. Nous pouvons faire abstraction de l'appareil moteur et regarder le mouvement de l'axe comme résultant de l'action d'un couple. C'est le travail de ce couple qui représente le travail - fourni au système par les forces extérieures.

Supposons la vitesse de régime atteinte. Alors la dérivée par rapport au temps delà somme des moments des quantités de mouvements pris par rapporta l'axe de rotation est nulle. Par suite, la somme des moments des forces appliquées au système pris par rapport au même axe est nulle. Nous avons donc, en appelant a le couple qui fait tourner l'axe, P et P' les tensions des cordons qui maintiennent le calorimètre, et r le rayon de la gorge sur laquelle sont enroulés les cordons.

et par suite

2zna = ^nr (P -f P"

Or le premier membre de celte égalité représente le travail du couple de rotation, c'est-à-dire le travail t fourni au système. Son évaluation revient donc à la mesure du nombre de tours effectués par l'axe, nombre qui est donné par un compteur, à celle du rayon de la gorge et j, celle des poids qui tendent les cordons ; elle peut donc être faite avec une précision plus grande que dans les expériences antérieures. Joule a encoreobk-nu, comme moyenne de cinq séries d'expé-

riences. 425 kilogrammètres pour l'équivalent mécanique de la chaleur.

58. Expériences de M. Rowland. — Par suite de la faible quantité de travail fourni pendant l'unité de temps, il fallait, dans les expériences précédentes, un temps assez long pour obtenir uneélévationsensible de la température du calorimètre. C'est une mauvaise condition pour l'exactitude de la correction relative au refroidissement. D'autre part, celte élévation était mesurée par un thermomètre à mercure non comparé au thermomètre à air aujourd'hui choisi pour définir les températures. Enfin la disposition des ailettes ne permettait pas de laisser constamment le thermomètre dans le calorimètre et les lectures de température ne se faisaient qu'au commencement et à la fin de chaque expérience.

M. Rowland a montré que si on rapporte les indications du thermomètre de Joule à celles du thermomètre à air, le nombre trouvé par ce physicien pour l'équivalent mécanique de la chaleur doit être un peu augmenté.

En 1879, M. Rowland entreprit de nouvelles expériences dans le but de remédier aux autres défauts que nous venons de signaler dans le dispositif de Joule et obtenir ainsi une détermination plus exacte de E.

Le travail Iransformé en chaleur est fourni par un petit moteur à pétrole qui fail mouvoir l'axe portant les palettes. Cet axe pénètre dans le calorimètre par le fond, el sa partie supérieure, plongée dans ce calorimètre, s'évase en eone percé de trous.

Dans ce cône on place un thermomètre qui peut alors rester dans celte position pendant toute la durée d'une expérience.

Par une courbure convenable donnée aux ailettes, l'eau es' constamment ramenée dans ce cône, de sorte que le thermomètre indique bien la température moyenne du calorimètre. Comme dans les dernières expériences de Joule, le calorimètre peut prendre un mouvement autour de son axe par suite du mouvement de l'eau ; un frein de Prony s'oppose à cette rotation. L'évaluation du travail fourni au système formé par le calorimètre, le frein qui le maintient et la portion de l'axe qui plonge dans le calorimètre s'effectue donc exactement comme précédemment ; il est facile de voir qu'il est donné par le produit

n étant le nombre de tours elfeclués par l'axe pendant un temps déterminé, a la longueur du levier du frein à l'extrémité duquel est appliquée la force P.

A des intervalles de temps rapprochés, on notait n et l'élévation de température ; on en déduisait le travail x fourni pendant cet intervalle et la quantité de chaleur correspondante absorbée par le calorimètre ; le rapport de ces deux quantités donnait E. On pouvait ainsi faire un grand nombre de déterminations successives sans arrêter l'appareil. La moyenne de ces déterminations est 428 kilogrammèlres.

59. Invariabilité de E. — Les expériences que nous venons d'indiquer sont celles qui donnent E avec la plus grande exactitude. Mais beaucoup d'autres déterminations de cette quantité, quoique moins exactes, ont une grande importance parce qu'elles montrent que la valeur de E ne

6i THERMODYNAMIQUE

dépend pas de la série des transformations par lesquelles passe le système. Citons-en quelques-unes.

Dans une de ses premières expériences, Joule prenait un corps de pompe plein d'eau fermé à sa partie supérieure par un piston, en matière poreuse, que l'on pouvait faire descendre en le chargeant de poids. L'eau en passant à travers les pores du piston s'échauffait. Le travail dépensé pour produire cet échauffement était donné par le travail de la pesanteur sur les poids. Joule trouva ainsi 424,6.

Hirn reprit cette méthode sous une forme un peu différente. L'eau passe sous pression d'un vase dans un second à travers un tube capillaire. Il obtint le nombre 433.

Les expériences dans lesquelles Hirn évaluait la quantité de chaleur résultant de la chute d'un poids par l'élévation de température éprouvée par une masse de plomb écrasée par ce poids lui fournirent le nombre 425, identique à celui obtenu par Joule dans ses meilleures expériences. Cependant dans ces expériences, outre le calorimètre, un des corps du système, le plomb, ne revient pas à son état primitif puisque ce métal est déformé. Les conditions admises dans la démonstration (54) de l'invariabilité de E ne sont donc pas réalisées dans le cas qui nous occupe. Aussi ces expériences de Hirn doiventelles être considérées, moins comme une vérification du principe de l'équivalence, que comme une preuve de la petitesse de la variation de l'énergie interne du plomb lorsque ce métal s'écrouit. Avec un autre métal le résultat eût certainement été très différent.

Enfin rappelons les expériences faites en 1870 par M. Violle. Un disque de cuivre tournant entre les pôles d'un puissant électro-aimant s'échauffe par suite des courants d'induction

dont il est le siège. La quantité de chaleur développée s'obtient au moyen d'un calorimètre dans lequel on plonge le disque; la quantité de travail fournie est évaluée par la chute d'un poids qui l'ait mouvoir le disque. M. Violle a ainsi obtenu 435. Les nombres 424,6, 433, 425, 435 fournis par ces diverses

expériences ne diffèrent entre eux que du— de leur valeur

environ. Comme cette fraction est certainement plus petite que l'approximation sur laquelle il est permis de compter, on peut considérer ces résultats comme une bonne vérilicalion de l'invariabilité du nombre E.

60. Le principe de l'équivalence considéré comme principe expérimental. — La marche que nous venons de suivre dans l'exposé du principe de l'équivalence est conforme au développement historique de la théorie thermodynamique; mais elle ne saurait nous satisfaire aujourd'hui, car elle offre le grave inconvénient de faire reposer la démonstration de ce principe sur l'hypothèse que les forces moléculaires sont centrales. Or rien ne nous prouve que cette hypothèse soit exacte, puisque nous ne pouvons en contrôler la justesse que par l'exactitude de conséquences éloignées qui, peut-être, pourraient tout aussi bien résulter d'une hypothèse toute différente sur la nature des forces moléculaires. Aussi est-il préférable d'abandonner la marche historique et de considérer les expériences précédentes, non comme une vérification d'un principe démontré, mais, au contraire, comme la démonstration expérimentale du principe de l'équivalence. Cette manière d'envisager ce principe, aujourd'hui généralement adoptée,, présente l'avantage de ne faire aucune hypothèse sur la constitution moléculaire des corps.

Nous regarderons donc comme démontrée par l'expérience la proposition suivante :

Si un système de corps après avoir décrit un cycle de transformations revient à son état initial, le travail fourni au système par les forces extérieures est égal au produit de la quantité de chaleur cédée par le système par un coefficient constant, E.

Si donc dx est le travail des forces extérieures pendant une transformation infiniment petite et si dQ est la quantité de chaleur absorbée par le système, l'intégrale

f(dx + EdQ) = o

quand le système décrit un cycle fermé. Donc

dx -f EdQ

est une différentielle exacte.

Si nous désignons par W la demi-force vive du système nous pourrons donc poser :

d\N -f- dV — dx -j- EdQ,

U étant une certaine fonction que nous appellerons énergie interne du système.

61. Remarque. — Si on suppose que les vitesses des corps reprennent leurs valeurs initiales à la fin de la transformation, ou si les vitesses sont négligeables, comme il arrivera le plus souvent, la relation précédente devient

dV — dx + EdQ.

Dans cette relation et dans tontes celles que nous avons écrites jusqu'ici, l'énergie interne est supposée exprimée au moyen de l'unité de travail, le kilogrammètre. Souvent, celle forme de l'énergie est exprimée en calories; dans ce cas sa valeur est égale au quotient de sa valeur en kilogrammètres par l'équivalent mécanique de la chaleur. Si nous désignons encore par U son expression en calories il faudra donc, dans les formules qui précèdent, remplacer U par EU ; nous avons alors pour la dernière de ces formules

E<r/U = ch + EdQ

ou, en désignant par A l'inverse de l'équivalent mécanique de la chaleur

d\] = dQ -f A(/t.

62. Nouvelles méthodes de vérification du principe de l'équivalence. — La considération d'un système non isolé au point de vue thermique nous fournit deux nouveaux modes de vérification du principe de l'équivalence.

Si nous supposons que tous les corps du système reviennent, à la fin de la transformation, dans leur état physique initial, d\] est nul, et la relation précédente devient

dQ -\- kd-z = o, et par suite

Ainsi l'équivalent mécanique de la chaleur est égal au quotient, changé de signe, du travail fourni au système par la' quantité de chaleur également fournie au système ; la mesure de ces deux quantités permettra donc de calculer E et, par

suile, de vérifier si le nombre ainsi trouvé concorde avec celui obtenu dans les expériences rappelées précédemment.

Un autre mode de vérification consiste à calculer E en exprimant que la quantité

dV = uQ -f \dz

est une différentielle exacte. Il faut encore évaluer la quantité de chaleur et la quantité de travail fournies au système pendant une transformation élémentaire, maisles corps du système ne sont [dus assujettis à reprendre leur état thermique initial. L'application de ce mode de vérification du principe de l'équivalence à un système m comprenant qu'un seul corps, un ga/., sera l'objet du chapitre suivant.

63. Expériences deHirn sur les machines à vapeur. — Parmi les expériences qui se rapportent au premier mode de vérification, rappelons les expériences de Hirn sur les machines à vapeur.

Soient Q la chaleur empruntée à la chaudière par l'eau qui se transforme ; t, le travail produit par cette eau en agissant sur le piston ; q, la chaleur cédée au condenseur, et R, celle qui est perdue par rayonnement.

La quantité de chaleur fournie à l'eau pendant les transformations qu'elle accomplit est alors

le travail qui lui est fourni est — t. Si donc nous supposons que l'eau revient à son étal initial, nous devons avoir

La connaissance de quatre quantités est donc nécessaire pour le calcul de E. La valeur de t se déduit de la surface ABGDE \fig. 7) du diagramme d'un indicateur de Wall ((), et du nombre de coups de piston produits pendant la durée de l'expérience. La valeur de Q est calculée par la formule de Regnault

(') L'indicateur do Walt se compose d'un cylindre en communication avec le corps de pompe de la machine el dan? lequel se meut un pislon K pressé à sa partie supérieure par un ressort. La déformation de ce ressort étant proportionnelle à l'effort qui s'exerce sur lui, le déplacement du pistou K (fîg. 8) sera proportionnel à la pression de la vapeur dans le corps de pompe de la machine. Le mouvement du pislon est transmis par la bielle QS à un système formé par deux balanciers AB et CD mobiles autour des points A et C el liés par la bielle rigide BD. Le milieu de celle bielle, où l'on place un crayon, décrit une courbe a longue inllexion, sensiblement une droite verticale, et les déplacements de ce point sont proportionnels aux déplacements du pislon K. Le crayon inscrit sou mouvement vertical sur une feuille de papier enroulée sur un cylindre auquel, au moyen de poulies et de courroies, on communique un mouvemcntde rotation alternatif dont la vitesse angulaire esl proportionnelle à la vitesse linéaire du piston de la machina.

Eu déroulant la feuille de papier on obtienl un diagramme tel que

ABCD (fîg. 7) dont les ordonnées sont proportionnelles à la pression p de

a vapeur agissant sur le piston ol dont les abeisses sont proportionnelles au

déplacement de ce piston, c'est-à-dire au volunij v occupé par la vapeur.

Fis. 8.

pour la chaleur latente de vaporisation de l'eau

où p est le poids d'eau vaporisée pendant la durée de l'expérience; T, la température de la chaudière, et t, celle de l'eau d'alimentation. Le poids p est obtenu en mesurant le poids d'eau p fourni au condenseur et le poids qui en sort ; ce dernier étant p -f- p', la soustraction des deux mesures donne p.

La mesure des températures f et t" de l'eau fournie au condenseur et de l'eau qui en est rejetée permet de calculer q par la formule

qui exprime que la quantité de chaleur cédée q est employée à élever de l' à t" le poids d'eau introduit p'. Quant à R, comme on n'a aucun moyen d'en évaluer la valeur, on le néglige.

Par suite de cette approximation les nombres trouvés pour E sont nécessairement trop faibles. Dans deux séries d'expériences, Hirn a obtenu 413 et 420,4. La différence avec les résultats des meilleures déterminations est dans le sens prévu. La vérification est donc bonne.

Remarquons que les calculs précédents supposent que l'eau revient à son état initial à la fin de l'expérience ; il faudrait

L'aire ABCDE est donc proportionnelle à l'inlégrale I pdv, c'esl-à-dire au travail do la vapeur pendant un coup de piston. La connaissance du coefficient de proportionnalité, qui se déduit des dimensions des divers organes de transmission de mouvement de l'indicateur permet donc de calculer ce travail; c'est ce qu'on appelle le travail indique.

donc que la température fde l'eau sortant du condenseur soit égale à la température / de l'eau d'alimentation de la chaudière. Pratiquement il serait 1res difficile de maintenir à une température assignée d'avance l'eau évacuée du condenseur. Mais il n'est pas nécessaire de remplir cette condition ; il suffit de ne pas tenir compte dans Q de la chaleur empruntée ou cédée à la chaudière par l'eau d'alimentation pour faire passer sa température de t à t". C'est alors comme si on supposait l'eau d'alimentation prise au condenseur et le cycle décrit par cette eau est bien un cycle fermé. Il faudra donc dans la formule qui donne Q remplacer £par t". Hirnn'a peutêtre pas fait cette correclion ; d'ailleurs elle est sans importance sur le résultat des expériences, l'erreur provenant de ce qu'on néglige R étant beaucoup plus grande que celle qui résulterait de l'oubli de cette correction.