Transformons cette nouvelle relation

En négligeant les déformations des angles et des faces du parallélipipède rectangle pendant le déplacement, la pression sur la face ABCD reste parallèle à l'axe des x et prend pour valeur

dy dz p -f- z .

La pression sur la face opposée est :

-dydz(p+« + %Ldxy

Les pressions sur les autres faces du parallélipipède étant normales à l'axe des x et l'action de la pesanteur étant négligée, la somme des projections sur l'axe des x des forces qui

agissent sur le parallélipipède se réduit à la somme algébrique des deux quantités précédentes.

— dx dy dz.

dx J

De la même manière, nous trouverions pour la somme des

projections de ces forces sur les axes des y et des z,

— dx dy dz, dx dy dz.

dy " ' dz *

Appliquons le principe de d'Alembert, c'est-à-dire écrivons que le parallélipipède est en équilibre sous l'action de la force d'inertie et des forces réelles qui le sollicitent ; nous obtiendrons les trois équations du mouvement dont la première est

dt2 ~~ doa

dm ~ = - — dxdydz

Par suite, en tenant compte de la relation (2), ces trois équations sont :

d-\ diz

dt2 ~ dx '"'

rf27] dit ~d2~-~d~y '"'

d2l du

W2 = -Tzv-

Nous en tirons, en dérivant la première par rapport à x, la seconde par rapport à y, la troisième par rapport à z, et additionnant,

§3 Iti + ^ + \-L) = - PAir.

Nous aurons donc, en remplaçant dans celte expression, la somme \'x -f- i\y -f- l'z par sa valeur tirée de la relation (3),

(4) — = - pvA*.

76. La variation de pression n est une l'onction des coordonnées x, y, z du point considéré et du temps l. Cherchons son expression quand la propagation de l'ébranlement se Fait par ondes sphériques. Alors tu ne dépend que de t et de la distance r du point considéré à l'origine de l'ébranlement. Posons

f désignant une fonction de r et de t.

La somme Atc des dérivées secondes sera une fonction

df cPf

linéaire de f, -{-: -r1,, qu'on pourrait obtenir directement mais dr dr1 n l

qu'il est plus facile de calculer par la méthode des coefficients indéterminés. A cet effet, posons :

(6) A. = A/ + Bf+Cg-

Si on suppose f = 1, on a

et d'autre part

Au moyen de cette expression de tt, calculons Att, en supposant que l'origine des coordonnées coïncide avec le centre

d'ébranlement, c'est-à-dire

nous avons

diz J f/r »

efce r2 dx r3

cfl - A| — A7t = 3 3(£i+ir+i!)=0.

On doit donc avoir

Supposons maintenant f= r ; nous avons, d'une part,

Att = B, d'autre part

t:= 1, Att = 0;

nous en concluons que B est nul.

Enfin admettons que l'on ait f = r2 ; il vient alors, en portant cette valeur dans l'expression (6),

Atc = 2C,

et en calculant les de'rive'es de « = r,

par conséquent

L'expression 6 de An se réduit donc à

77. Remplaçons dans larelat ion i ;A- par la valeur précédente

et ~nr par sa valeur déduite de o ; nous obtenons :

fit- '

^ = c pi 53'

en posant

dt* «V2'

Nous en déduisons pour la valeur de la fonction f, r = f[r - at) + /' [r -f ai .

et par suite

-f r-at\ -f J/- /•+ ai).

Les variations de pression se propagent donc suivant deux ondes, l'une centrifuge, avec une vitesse a, l'autre centripète, avec une vitesse — a. Cette dernière onde ne correspond à aucune réalité physique et il n'y a pas lieu de la considérer. Quant à l'onde centrifuge c'est précisément l'onde sonore ; par conséquent a représente la vitesse de la propagation du son et le rapport des chaleurs spécifiques est lié à cette vitesse par la formule

c pv

78. Appliquons cette formule à l'air en prenant le mètre, la seconde, le kilogramme pour imités de longueur, de temps et de masse. Nous avons, d'après les expériences de Regnault sur la vitesse du son,

à 0° et à la pression atmosphérique. Cette pression sur 1 mètre carré est

en prenant 9,81 pour l'accélération due à la pesanteur. La

masse du mètre cube est 1,293 et par conséquent le volume

ci tique est

En portant ces valeurs dans la formule (7), nous obtenons

C'est le nombre que nous avons adopté (65) dans le calcul de E ; il diffère peu du nombre trouvé par Rôntgen par la méthode de Clément et Desormes.