II
produit est t = / pde, l'intégrale étant prise le long de la
courbe représentative de la transformation ; ce travail est positif si le point représentatif se meut sur cette courbe dans le sens des aiguilles d'une montre; il est négatif lorsque la courbe est parcourue dans le sens rétrograde. D'après le principe de l'équivalence, ce travail est égal au produit de E par la quantité de chaleur fournie au corps. Si donc nous appelons Q, la quantité de chaleur fournie à C par la source chaude de la machine thermique, Q2 la quantilé que ce corps cède à la source froide, nous avons
Q, - Q, = At.
Lorsque le cycle de C est compris entre les isothermes correspondants aux températures T, et T2 des sources chaude et froide, la température de C est toujours inférieure à T, ; ce corps ne peut donc céder de la chaleur à la source chaude, il ne peut que lui en prendre ; par suite Q, est nécessairement ~^a positif quelque soit le sens dans lequel le cycle est décrit. Pour des raisons analogues Qa est positif. On ne peut donc dans ces conditions emprunter de la chaleur à la source froide pour la porter sur la source chaude, même lorsque, le cycle étant décrit dans le sens rétrograde, on fournit du travail au système..
Mais supposons la courbe représentative des transformations du corps C formée de deux adiabatiques AD et BG (fig. 13)
Fig. 13.
réunies par des arcs de courbe quelconques comprenant entre eux les isothermes T, et T2 correspondant aux sources chaude et froide. Quand le cycle est décrit dans le sens rétrograde la quantité de chaleur que le corps abandonne pendant la transformation BA peut être supposée cédée à la source chaude puisque celle-ci est à une température inférieure au corps ; par conséquent la quantité de chaleur Q, empruntée à la source chaude est alors négative. La quantité de chaleur absorbée par le corps pendant la transformation DC peut être supposée empruntée à la source froide dont la température T, est supérieure à celle du corps; par suite Q., est négatif. Dans ces conditions, de la chaleur est empruntée à la source froide et Iransporlée à la source chaude. D'ailleurs puisque x est négatif la relation (1) montre que Q, est plus grand, en valeur absolue, que Q2 ; la quantité de chaleur transportée à la source chaude est donc plus grande que celle qui est prise à la source froide.
101. Autre énoncé du second principe de la thermodynamique. — Un énonce quelquefois ce principe sous la forme suivante : Il est impossible de faire fonctionne)' une machine thermique avec une seule source de chaleur.
De cet énoncé et de la conclusion du § 93 il résulte que
le coefficient économique ^r, c''lln cycle de Carnot ne peut
Ui
être plus grand que le coefficient — d un cycle de même
genre fonctionnant entre les mêmes limites de température.
Le coefficient ^- du second cycle, qui est aussi un cycle de Carnot, ne peut pour les mêmes raisons être plus gran 1 que
— ;■ Ces deux coefficients sont donc égaux ; par suite le théo-
rème de Carnot esl une conséquence de cet énoncé. D'ailleurs il est évident que, réciproquement, si le théorème de Carnot est vrai, l'énoncé précédent l'est aussi, ces deux propositions sont donc équivalentes.
Mais le théorème de Carnot est aussi une conséquence de l'énoncé de Clausius et, réciproquement, le principe de Clausius se déduit du théorème de Carnot. Par conséquent, l'énoncé de Clausius doit être équivalent à l'énoncé précédent ; il est donc indifférent de prendre l'un ou l'autre de ces énoncés pour second principe de la Thermodynamique.
102. D'ailleurs on peut, d'une autre manière, montrer l'équivalence de ces deux énoncés.
Montrons d'abord que, si le principe de Clausius était faux, on pourrait faire fonctionner une machine avec une seule source.
Soient A et B les deux sources de la machine thermique, dont les températures sont T, et T2. Si nous faisons fonctionner cette machine dans le sens direct, nous obtiendrons un travail t en empruntant une quantité de chaleur Q, à la source chaude A et en cédant une quantité Q2 à la source froide B. Mais si le principe de Clausius ne s'appliquait pas aux corps A et B nous pourrions ensuite emprunter une quantité de chaleur IJ, à la source froide et la céder à la source chaude sans dépenser de travail. Par conséquent à la suite de ces deux opérations, la source chaude reprendrait son état initial et nous aurions obtenu un travail t en empruntant une quantité de chaleur Q, — Q2 à la source froide.
103. Réciproquement s'il était possible de produire du travail avec une seule source de chaleur, on pourrait transporter de la chaleur d'un corps froid sur un corps chaud sans dépense de travail.
En effet, le travail t produit en empruntant une quantité de chaleur Q à une source dont la température est T2 peut être transformé en force vive et celte force vive transformée en chaleur par frottement. Comme rien n'empêche de supposer la température T4 de* corps qui frottent plus grande que T2 nous aurions transport de chaleur d'un corps froid sur un corps chaud sans qu'il y ait dépense de travail.
Le raisonnement suivant conduit au même résultat: soit encore x le travail produit par une machine M en empruntant une quantité de chaleur Q à une source dont la température est T2. Associons à cette source une autre source à une température supérieure T< et faisons fonctionner, dans le sens rétrograde, une machine thermique M' entre ces deux sources; nous pourrions obtenir un travail — t en empruntant une quantité de chaleur — Q, à la source chaude et en cédant une quantité — Q2 à la source dont la température est T2. L'ensemble des deux machines M et M' produira un travail nul en empruntant une quantité de chaleur positive Q + Q2 à la source dont la température est T2 et en cédant une quantité positive Q, (qui doit être évidemment égale à Q -f- Qâ) à la source dont la température est T,. Nous aurons donc transport de chaleur de la source froide à la source chaude sans aucune dépense de travail.
Ainsi, l'un des énoncés des § 9a et 101 ne peut être en défaut sans que l'autre le soit aussi ; par conséquent ces deux énoncés sont bien équivalents.
LE PRINCIPE DK CARNOT-CLÀUSIUS 123
104. Dans l'énoncé du tj 101 il n'est pas fait mention de la température de la source qui fournit la chaleur; elle peut donc être supposée quelconque. Démontrons en effet que si cet énonce' est vrai lorsque la chaleur est empruntée à une source B dont la température est T.,, il l'est encore lorsque l'emprunt de chaleur est fait à une source A dont la température est T|.
La démonstration peut évidemment se ramener à faire voir que, s'il était possible de produire du travail avec la source A seule, il serait également possible d'en produire avec la source B. quelle que soit la température de cette sourie.
Supposons d'abord T2 > T, . Avec la source A nous pourrions, d'après notre hypothèse, produire un travail t en empruntant une quantité de chaleur Q, à cette source. Mais nous pouvons faire fonctionner une machine dans le sens direct entre les sources B et A de manière à produire un travail t' en empruntant une quantité de chaleur Q2 à la source chaude B et en cédant une quantité de chaleur Q, à la source froide A. L'ensemble de ces deux opérations donnerait un travail posisif x -f- t'; une quantité de chaleur Q2 serait empruntée à la source B ; quant à la source A elle reprendrait sont état primitif. Nous aurions donc produit du travail en empruntant de la chaleur uniquement à la source B.
Admettons maintenant qu'on ait T2 < T^. Dans une première opération nous pourrions encore produire un travail t en empruntant une quantité de chaleur Q, à la source A. Prenons cette source comme source chaude d'une machine thermique dont B serait la source froide. Si le cycle de cette machine est formé comme dans le dernier considéré au § 100, de deux adiabaliques réunies par des courbes quelconques
comprenant entre elles les isothermes T, et T2, il est possible, en fournissant un travail t' à cette machine, d'emprunter une quantité de chaleur Q2 à la source froide et d'en céder une quantité Q, à la source chaude. Par suite, à la fin de ces deux opérations cette source chaude A reviendrait à son état primitif, et un travail t — t' aurait été produit. Or ce travail est positif ; en effet, d'après le principe de l'équivalence
(J, = At. Q2 - Q, = - Ax' ;
par conséquent
Qa = A (t - t') ;
comme la chaleur Q2 fournie au corps qui se transforme est positive, le travail x — t' doit l'être aussi. Nous aurions donc encore production d'un travail positif en empruntant de la chaleur à la source B.
105. Nous pouvons également démontrer que si le principe de Clausius, énoncé sous la forme du § 99, est vrai lorsque les deux corps considérés A' et B' sont à des températures T' et Tô, il l'est encore pour deux autres corps A et B à des températures quelconques T, et T,.
D'après ce que nous avons dit au § 102, si le principe de Clausius ne s'appliquait pas au corps A et B, il serait possible de produire du travail en empruntant de la chaleur à un sruldeces corps. Mais, d'aprèsle paragraphe précédent, cette production de travail pourrait également se faire en empruntant de la chaleur à un lieu quelconque des corps A' et B', à B' par exemple, dont nous supposerons la température inférieure à celle A'. En transformant ce travail en chaleur par frottement, nous
LE PRINCIPE DE CARNOT CLAUSIUS l"25
pourrions échauffer le corps A' et nous aurions transport de chaleur d'un corps R' à un corps plus chaud A' sans dépense de travail. Par conséquent, si le principe deClausius est faux pour les corps A et B il l'est aussi pour les corps A' et B' dont les températures sont quelconques. 11 est donc démontré que si ce principe est vrai pour deux corps à des températures déterminées, il ne peut être en défaut pour des corps à toute autre température.
Une conséquence importante de cette démonstration est que le principe de Clausius ne pourrait être faux dans le cas des températures très élevées, que s'il l'était pour des températures ordinaires. Comme dans ce dernier cas ce principe n'a jamais été trouvé en défaut, nous pouvons sans crainte l'appliquer aux corps dont les températures sont très élevées (ou très basses).
Admettons donc le principe de Clausius et cherchons-en les conséquences les plus immédiates.
