Deux adiabaliques ne peuvent se couper
Car si nous considérons le cycle formé par les deux adiabaliques AB et AC (fig. 16), qui se coupent au pointA et par l'isotherme BC, nous arriverions, en répétant le raisonnement du§ 107, à une conséquence en contradiction avec le principe de Clausius.
110. 4° Le long dune adiàbatique la température varie toujours dans'le même sens.
S'il en était autrement, en deux points de l'adiabatique, la température pourrait avoir la même valeur et, par suite, une même isotherme couperait l'adiabatique en deux points.
Fig. 16.
111. 5° Le long d'une isotherme la quantité de chaleur dQ fournie au corps et correspondant à un élément de cette ligne a toujours le même signe.
En effet, la quantité dQ ne peut changer de signe qu'en devenant nulle, au point correspondant à rfQ = o l'isotherme considérée serait tangente à une adiàbatique, ce qui ne peut avoir lieu.
112. Cycle de Carnot. — De ces propriétés, il résulte que si nous traçons deux isothermes et deux adiabatiques, nous ne pouvons avoir que quatre points de rencontre. Nous devons donc représenter un cycle de Carnot par un quadrilatère curviligne ABCD [fig. 17).
Cependant nous faisons encore une hypothèse : nous admettons implicitement que deux isothermes ne peuvent se couper. En général cette hypothèse est exacte ; mais pour certains corps qui, comme l'eau, présentent un maximum de densité à des valeurs déterminées de p et de v peuvent correspondre deux valeurs de la température ; les deux isothermes relatives à ces températures se coupent donc. .Mais ce cas est exceptionnel ; aussi le laisserons nous de côté. D'ailleurs il ne constitue pas une difficulté, car en prenant v et T comme variables indépendantes au lieu de p et v nous n'aurions que quatre points de rencontre.
113. Considérons un corps dont le point figuratif décrit un cycle de Carnot. Le long de l'isotherme AB, il emprunte une
quantité de chaleur Q, égale à la valeur de 1 intégrale / </0 ;
le long de l'isotherme DC, ce corps cède une quantité de cha-
i/n mi / </ij. l'élément dQ de d Je
ces intégrales étant
Fig. 17.
dQ
rdï dT .
G — dv 4-c —r- dp.
1 dp
dv
Montrons que Q, et Q2 sont positifs.
QUEIQUES CONSÉQUENCES DU PRINCIPE DE CAIINÛT 131
Le cycle étant décrit dans le sens direct le travail produit t est positif; puisque l'on a
At = 0, — Q2
la différence Q, — Q2 est positive et l'on ne peut avoir Qi < o et Q2 > o.
Il est également impossible que Q, et Q2 soient négatifs, c'est-à-dire que de la chaleur soit cédée par le corps le long de AB et empruntée le long de CD. En effet, la chaleur Q, cédée le long de AB pourrait être absorbée par une source dont la température T serait comprise entre T, et T2. Cette môme source pourrait fournir la quantité de chaleur Q., que le corps emprunte le long de CD. Nous aurions donc une machine thermique fonctionnant avec une seule source.
Il ne nous reste plus qu'à faire voir que l'on ne peut avoir Q, > o et Q2 < o. Dans ce cas le corps emprunterait des quantités de chaleur positives le long de AB et le long de CD. Ces quantités de chaleur pourraient être fournies par une source dont la.température T serait supérieure à T( ; nous aurons donc encore production de travail avec une seule source.
Ainsi, lorsque le cycle de Carnot est décrit dans le sens direct, t, Q, et Q2 sont des quantités positives. Si nous le décrivons dans le sens rétrograde, t sera négatif ; la quantité de chaleur Q, empruntée le long de BA. et la quantité Q2 cédée le long de DC seront également négatives. Nous avons d'ailleurs montré (§ 39) qu'il est possible de considérer la quantité Q, comme cédée à la source à température T, et la quantité Q2 comme empruntée à la source dont la température est T„.
114. Le coefficient économique d'un cycle de Carnot ne dépend que des températures des isothermes.
— Revenons sur la démonstration du théorème de Garrot, en cherchant à nous affranchir d'une objection plus spécieuse que réellement grave. Dans cette démonstration, on suppose que les températures T, et T2 des deux isothermes sont les mêmes que celles des deux sources; or l'échange de chaleur ne peut se faire qu'entre deux corps dont la température est différente.
Un cycle de Carnot est entièrement déterminé quand on connaît les adiabatiques et les isothermes qui le forment. Lorsque la relation fondamentale du corps qui se transforme est donnée, les isothermes sont déterminées pnr leurs températures T, et T2, les adiabatiques par les valeurs correspondantes d'une quelconque des variables indépendantes, les valeurs v, et v2 du volume spécifique par exemple. Le coefficient économique d'un cycle de Carnot est donc une fonction de ces quatre quantités T,, T2, »,, v2 et du corps G qui se transforme, puisque de la nature de ce corps dépend la forme de la relation fondamentale. Posons donc
jf =/-(T<)T2,«|(«2)C).
Cette fonction f est une fonction continue des quantités T,, T2, »,, v2, car si l'on fait varier ces quantités d'une manière continue, le cycle se déforme de la même manière et les valeurs de t et Q sont continues. Démontrons qu'elle ne dépend que des températures des isothermes.
115. Considérons deux corps C et C qui se transforment entre les mêmes sources de chaleur en décrivant des cycles K
et K', le premier dans le sens direct, le second dans le sens rétrograde. Pour que cela soit possible, il faut que les températures satisfassent à certaines inégalités; soit T, et T2 les températures des deux sources chaude et froide. T; et T.! celles des isothermes du premier cycle, T"{ et T, celles des isothermes du second cycle, en doit avoir:
t; >t, >t; > t.; >t2> tj
Appelons - le travail produit par le premier corps, Q, la quanlité de chaleur qu'il emprunte à la source chaude, Q2 celle qu'il cède à la source froide et désignons par — t', — Q,, — Q.l les valeurs des mêmes quantités qui correspondent au second cycle. Nous allons démontrer que l'on a
Prenons une machine il fonctionnant dans le sens direct suivant le cycle K et associons lui une machine M' fonctionnant dans le sens rétrograde, suivant le cycle K'. Si m et m' sont les masses des corps C et C qui se transforment dans ces machines nous aurons pour la chaleur empruntée à la source chaude par leur ensemble,
Les quantités Q, et Q{ étant positives § 106), nous pouvons prendre pour m et m' des valeurs telles que celte quantité soit nulle. Mais alors le travail produit par les deux machines mi — m'-z' ne peut être positif, car nous aurions production de travail avec une seule source de chaleur: il faut donc
m- — mx < o,
ou en remplaçant m et m' par les quantités j- et pry qui
Oi Ui
leurs sont proportionnelles par suite de l'hypothèse que nous avons faite,
Le coefficient d'un cycle décrit dans le sens direct est donc au plus égal à celui d'un cycle dans le sens rétrograde.
116. Considérons maintenant deux cycles de Carnot K et K' définis par les quantités T,', T^, l'I, »2 Pour Ie premier, TJ, TJ, v", v'ô pour le second. Faisons décrire au corps G le premier cycle dans le sens direct et au corps C le cycle K, clans le sens rétrograde entre deux mêmes sources de chaleur dont les températures sont T, et T2. Pour que cela soit possible nous devons avoir, comme nous l'avons déjà dit,
t; <t(, t^ >t2, t; > t,, tj < t2j
et si ces conditions sont réalisées nous aurons, d'après le paragraphe précédent,
(1) /"(T,', T!2, v{, vi, C) ^ f[l\, T'i, v'[, v\, C).
Si nous supposons que les températures des isothermes et des sources satisfont aux inégalités
nous pouvons décrire le cycle K dans le sens rétrograde et le cycle K' dans le sens direct: par suite nous avons
(2) f (T(, T.i, yj, B{, C) > f[T'i, T|, v'{, »;, C").
La fonction f étant continue nous pouvons faire tendre T,
et T,' vers T, el T2 et T2 vers ï2 sans que les signes des inégalités (1) et (2) changent ; nous aurons donc, à la limite,
/•(T„T,, »4',«J, C)<r(T4,T„»ïl«ï, G), /'(T,, T„ »,', v.[, C) > /-'T,, T2, 9\, v'L G),
inégalités qui ne peuvent être satisfaites simultanément que si l'on a
La valeur de la fonction /" ne doit donc pas dépendre des valeurs de v, et de r.,,nide la nature du corps C; en un mot, la fonction de Carnot ne dépend que des températures T, et T2 des isothermes. Nous avons vu que Carnot était arrivé à cette conclusion bien qu'en s'appuyant sur des notions inexactes.
117. Le coefficient économique d'un cycle quelconque est au plus égal à celui d'un cycle de Carnot. — Soient K. un cycle quelconque et K' un cycle de Carnot fonctionnant entre les mêmes sources. Nous pouvons décrire le cycle K' dans le sens rétrograde ; il suffit pour cela que les températures T( etT2 des isothermes de ce cycle comprennent entre elles les températures T, et T2 des sources. D'après le
§ 115, le coefficient économique y— du cycle K est au plus
égal au coefficient— du cycle K'. Ce dernier est égal à la
fonction de Carnot relative à ce cycle, fonction que nous pouvons écrire f{T[, T2) puisqu'elle ne dépend que de T{ et T2 ; nous avons donc
^/•(Tf.TJ).
Mais nous pouvons considérer les températures des isothermes comme infiniment peu différentes de celles des sources ; la fonction /"étant conlinue, nous aurons à la limite
q;<AT,,t3,
Le coefficient économique d'un cycle quelconque est donc au plus égal à celui d'un cycle de Carnot dont les températures des isothermes sont celles des sources.
