La loi de Joule n'est qu'approchée. — Les lois

de Mariotle el de Gay-Lussac étant, d'après l'expérience, deux lois dont les gaz naturels s'approchent plus ou moins, il est à présumer que la loi de Joule n'est aussi qu'une loi approchée.

Les expériences de Regnault sur la compressibilité des gaz à diverses températures permettent de montrer que cette loi n'est pas applicable rigoureusement aux gaz naturels.

Si nous admettons laloi de Joule, nous devons avoir {§ 130, , en désignant par •h (v) une fonction du volume spécifique

pu (v) = T.

Par conséquent, la relation entre la pression et le volume spécifique d'un gaz est, lorsque la température reste constante,

pty (y) = const.

Or, d'après les expériences de Regnault, tous les gaz, sauf l'hydrogène, se compriment plus que ne l'indique la loi de Mariolte aux températures ordinaires et tendent vers celte loi quand la température augmente. Par conséquent, puisque la loi de Mariotte est exprimée par pv = const., ces expériences montrent que ty (y) varie avec la pression plus rapidement que y aux températures ordinaires el que ']< (y) est sensiblement proportionnel h y aux températures élevées. La fonction ip (y) dépend donc de la température, ce qui implique l'inexactitude de la loi de Joule.

D'ailleurs des expériences directes, entreprises par Joule et Sir W. Thomson, ont montré que les gaz réels ne suivent pas exactement cette loi. Avant de décrire ces expériences et d'en exposer les résultats, étudions l'écoulement des fluides gazeux ou liquides dans un canal.

Fig. 20.

132. Écoulement des fluides. — Considérons un fluide fn mouvement dans un canal et supposons le régime permanent établi, c'est-à-dire supposons que les variables qui définissent l'état du fluide ne dépendent pas du temps. Soit ABCD {fig. 20) la position à l'instant /d'une certaine masse

de fluide que nous supposerons égale à l'unité. Au bout d'un intervalle de temps infiniment petit dt, cette masse occupe le volume A'B'C'D'.

Puisque nous avons supposé le régime permanent établi, les masses comprises dans les volumes ABA'B', CDC'D' ont la même valeur dm. Si nous désignons par cp0la vitesse du fluide en AB et par ~iK sa valeur en CD, la distance des plans AB et A'B' est 'ji0d(, celle des plans CD et CD' est v{dt. En appelant to0 et co, les surfaces des sections AB et CD nous avons donc pour les volumes ABA'B', CDC'D',

'tO0I>o£^

et

iitù{dt.

Par conséquent si w0 et y, sont les valeurs du volume spécifique du fluide qui occupe chacun de ces volumes, nous avons pour les masses

(lui

et

dm

(0,9, dt >

et, puisque ces masses sont égales,

ou, en désignant par co, es, v la section du canal, la vitesse

du fluide et le volume spécifique en un point quelconque,

— *■ = const.

C'est l'équation de continuité.

133. Une seconde équation est donnée par le principe de la conservation de l'énergie. Les forces extérieures se réduisent aux pressions qui s'exercent sur les surfaces du fluide ABCD et à la pesanteur. J'appelle <:h le travail de ces pressions et — d\ celui de la pesanteur. Il est clair que d\ est une différentielle exacte. On a alors, en conservant aux lettres E, Q, U et VV la même signification que dans les chapitres précédents,

(1) Ef/Q -f ch = ErfU -f d\ -f d\\

Évaluons chacune des quantités qui entrent dans cette relation.

La différentielle d\ est donc égale à la variation de l'énergie potentielle due à la pesanteur, A l'instant t cette énergie est la somme de l'énergie du fluide occupant le volume ABA'B' et de celle du fluide occupant le volume A'B'CD ; à l'instant t -j- dl elle se compose de l'énergie du fluide occupant le volume A'B'CD et de celle du fluide occupant le volume CDC'D'. Si donc nous appelons ~0 la distance du centre de gravité de la masse ABA'B' au-dessus d'un plan horizontal pris pour plan des xy et par ~, la distance du centre de gravite du volume CDC'D' au-dessus de ce même plan, nous avons,

d\ = gdm [z{ — s0).

La variation <AY de la demi-foree vive est

dW = dm ^- — dm ^-.

ou

rfW = ^ (tf - ?t]

Quant à la variation de l'énergie interne elle a pour expression

dU = rfjw (U, — U0)

en appelant U0 l'énergie interne rapportée à l'unité' de masse du fluide occupant le volume ABA'B' et U, la valeur de la même quantité pour le fluide occupant le volume CDC'D'.

134. Evaluons le travail d- des pressions extérieures. Les seules pressions qui produisent du travail sont celles qui s'exercent sur AB et sur CD. Si p0 et p{ sont les valeurs respectives de ces pressions par unité de surface, le travail résultant du déplacement de AB est

■Powu?ûf/' = VW7'"et celui qui résulte du déplacement de CD,

— pt<ût<ftdt = — ptvtdm.

Nous avons donc

^T = {Povo — Ptvt) clm-

Dans celte évaluation le travail provenant du frottement du fluide contre les parois du canal n'entre pas. Cependant nous pouvons en tenir compte. Il suffit de considérer le système formé par le fluide et le canal dans lequel il se meut. Les frot-

tements sont alors intérieurs au système considéré et on ne doit pas en tenir compte dans l'expression du travail des forces extérieures. Mais alors dQ représente la quantité de chaleur cédée au système du fluide et du canal, et non celle qui est cédée au fluide seulement.

Si dans la relation (1) fournie par le principe de l'équivalence nous remplaçons dr, dU. dX et c/W, par les valeurs que nous venons de trouver, nous obtenons, en divisant par dm,

(-' Eg = ElU1-U0) + </(;,

il m

+ 2 ('■?' — fo) +• [Pi°\ — Povo)-

Il ne reste donc plus qu'à déterminer l'expression de -z — Cette différentielle peut s'écrire

dQ

dQ __ dt dm dm

~dl

v dQ • i- ui ■ -dQ ,

Par conséquent — — sera négligeable dans deux cas : si —j- est

très petit, c'est-à-dire si les parois du canal sont peu conduc-

. dm ~dl

trices de la chaleur; ou si — est très grand, c'est-à-dire si

l'écoulement du fluide est très rapide.