II. — Piles thehmo-électhiques
283. Circuits hétérogènes. — Considérons un circuit formé formé de plusieurs métaux, soudés bout à bout. Chacune des soudures étant le siège d'une force électromotrice, le circuit est en général parcouru par un courant; il n'y a d'exception que si tout le système est à la même température, ras dans lequel, d'après la loi de Volta, la somme des forces électromotrices de contact est nulle. Appelons i l'intensité de ce courant.
Prenons deux points A et Bsur ce circuit. Si nous désignons par R la résistance de celte portion de circuit et par SE la somme des forces électromotrices de contact comprises
entre A et B, la loi de Ohm donne pour l'excès V, — V0 du potentiel de A sur le potentiel de B,
V, — V0 = Ri — SE.
Si nous admettons que la loi de Joule s'applique à un pareil circuit, la quantité de chaleur dégagée dans la portion AB du circuit pendant un temps dt est
A (V, — V0) ill = SRPdt — AiVftSE.
Dans le cas où le circuit est homogène, SE est nul et la quantité de chaleur dégagée est kRPdt; le second terme
— AiVftSE se rapporte donc aux soudures; et, s'il n'y a qu'une soudure entre A et B, la chaleur qui s'y dégage est égale à
— MdtE.
284. Théorie élémentaire des piles thermo-électriques. — Prenons deux métaux A et B [fig. 38) dont les soudures M, et AI0 sont à des températures différentes et intercalons une machine d'induction C sur le circuit. Cette machine est mise en mouvement par le courant qui circule dans le circuit et produit du travail. Le système est donc tout à fait analogue à une machine thermique: on y trouve une source froide et une source chaude, puisque les soudures sont maintenues à des températures différentes, et on produit du travail. Il est donc naturel de lui appliquer les principes de la thermodynamique.
THEBMUDVNAMInUh). 23
Fig. 38.
35i THERMODYNAMIQUE
Admettons que l'intensité du courant reste constante et supposons qu'à chaque instant on enlève aux divers points du circuit et des soudures la chaleur qui s'y développe. Dans ces conditions le système reste constamment identique et, quel que soit l'intervalle de temps pendant lequel on le considère, le cycle est toujours fermé. Nous devons donc avoir
l'une des intégrations se rapportant au cycle décrit par un des éléments du système, l'autre devant être étendue à tous les éléments du système.
Mais, puisque le cycle est toujours fermé quel que soit l'intervalle de temps, nous pouvons supposer cet intervalle infiniment petit. Alors le cycle de chaque élément est luimême infiniment petit et l'on n'a plus à considérer qu'une seule intégrale. La condition est donc
ciQ
285. La quantité de chaleur qu'il faut enlever à un élément du conducteur, pendant l'intervalle de temps considéré rf/, pour qu'il ne s'échauffe pas est
kdRPdt.
Par conséquent la portion de l'intégrale précédente qui se rapporte au circuit entier est
A la soudure M, La quantité «le chaleur dégagée est, si L'on admet que la loi de Joule s'applique à un pareil circuit,
— \E{idt
E, étant la force électromotrice à cette soudure. À l'autre soudure la force électromotrice a une valeur différente E0 ; elle doit être prise avec un signe contraire à. celui de E, puisque les métaux A et B sont rencontrés dans un ordre inverse à la soudure M, et à la soudure M„ quand on parcourt le circuit entier dans le même sens. La chaleur dégagée à celte soudure est donc
-f- AE0Mft.
Si nous désignons par T, et T0 les températures des soudures M, et M0 les termes de I -7^- qui y correspondent sont
W.idt — XEJilt
! pf li »
1 1 lo
Par suite l'inégalité de Clausius devient
f ^+A«ft(!|-!j)
286. Celte inégalité doit être satisfaite quelle que soit l'intensité du courant, puisque nous n'avons rien supposé sur la valeur de la force électromotrice de la machine intercalée dans le circuit et que, par suite, nous sommes libres de faire varier l'intensité en faisant varier celte force électromotrice. Or le premier membre de L'inégalité est nul pour i = 0
c'est donc sa valeur maximum. Par conse'quent sa dérivée par rapport à i,
Ikidl
doit être nulle quand on y fait i = o. On doit donc avoir
Ei = Eû T, T,
et par suite
D'après cette formule la force électromotrice d'un couple thermo-électrique doit être proportionnelle à la différence de température des soudures. Celte conclusion est en contradiction avec les faits expérimentaux, puisque ceux-ci montrent que la force électromotrice change de signe pour une certaine valeur de la différence de température et qu'elle peut être représentée par la fonction
a (T, - T0) - ! (TJ - TJ).
La théorie élémentaire que nous venons d'expo-er doit donc être rejetée.
287. Théorie de sir W. Thomson. — Sir W. Thomson admet qu'il existe une force électromotrice au contact de deux portions d'un même conducteur à des températures différentes; il assimile dune ces deux portions à deux conducteurs de nature différente, assimilation qui paraît très vraisemblable.
Par suite de celte hypothèse un circuit fermé homogène dont tous les points ne sont pas à la même température est parcouru par un courant, et chaque élément du circuit est le siège d'une force éleclromotrice. Cette force électromotrice dépend nécessairement de la température T de l'élément et de la différence c/T entre cette température et celle de l'élément voisin. Nous poserons donc
E = 5 (T) dT.
Des forces électromotrices de ce genre se produisent dans le circuit considéré précédemment, car, par suite de la conductibilité thermique, la température décroit uniformément dans les métaux A et B depuis la soudure chaude jusqu'à la soudure froide. En tenant compte de ces forces électromotrices, sir W. Thomson a établi une théorie des piles thermo-électriques dont les conclusions sont conformes à l'expérience.
Mais malgré cette concordance, la théorie de sir W. Thomson laisse encore à désirer. On lui a reproché notamment de ne pas tenir compte de la chaleur qui passe de la soudure chaude à la soudure froide par conductibilité thermique. Toutefois cette objection est sans importance, car nous allons voir qu'il est possible de présenter la théorie de sir W. Thomson sans donner prise à cette critique.
288. Reprenons le couple thermo-électrique dont les soudures M, et M0 sont aux températures T, et T 0 et dans le circuit duquel est intercalée une machine d'induction. Nous supposerons encore que l'intensité i du courant demeure constante et qu'on enlève la chaleur à mesure qu'elle se produit,
en chaque point du système. Nous admettrons aussi qu'on ne considère le système que pendant un intervalle de temps infiniment petit dt. Nous aurons, pendant cet intervalle,
Dans cette intégrale dQ peut indifféremment représenter La chaleur fournie à chaque élément du système soit par les corps extérieurs seuls, soit par les corps extérieurs et les autres éléments de système. Adoptons cette dernière interprétation et posons
dQ = dQ' + dQ",
dQ' se rapportant aux corps extérieurs; dQ", aux éléments du système.
La différence de potentiel entre les extrémités d'un élément du conducteur A est
idR — =. (T) dl
lorsqu'on lient compte de la force électromotrice due à la variation de température. Si nous admettons la loi de Joule, qui, comme nous le verrons plus loin, pourrait bien ne pas être applicable aux circuits hétérogènes, la chaleur dégagée dans cet élément par le courant pendant le temps dt est
kPdtd-R —kidt^ (J)dl.
En même temps l'élément reçoit par conductibilité des autres éléments du système une certaine quantité de chaleur; comme les échanges de chaleur entre éléments ne peuvent
se faire que par conductibilité, cette quantilé est dQ". La quantité de chaleur reçu ' par l'élément est donc
AFdldR — kidttf (T) d'ï + dQ",
et, puisque cette chaleur doit être enlevée, la chaleur fournie par les corps extérieurs au système à l'élément considéré est
dQ' = — M-didR + Mdt-f (T) dT — dQ".
Nous déduisons de celte égalité
dQ = dQ -f dQ" = — Ai2didR + Aitffcp (T) dT ;
l'expression de dQ ne change donc pas, que l'on tienne compte ou non de la conductibilité thermique.
Pour un élément du conducteur B nous avons une expression analogue; i! n'y a que li fonction qui donne la force électromotrice due à la variation de température qui se trouve changée. Si nous appdons >| (T) cette fonction nous avons
dQ — — Ai2dldR -f- kidl'l (Tj dT.
A la soudure M, nous aurons, comme dans la théorie précédente,
dQ = .\Elirft, et à la soudure M0,
dQ = — AE0 idt.
2S9. L'inégalité de Clausius devient donc
Af-di
L^id-Î+Aidt j '^T-tkidt (|i - |A< o.
Le maximum de son premier membre ayant lieu pour i = o, sa dérivée par rapporta i est nulle pour cette valeur de la variable, ce qui donne la relation
Mais si on se déplace sur le circuit dans le sens CBM0AM,C les limites de la première intégrale sont T0 et T(, celles de la seconde T, et T0; nous pouvons donc écrire la relation précédente
D'ailleurs, on peut poser
