Fondements de la théorie d'Helmholtz

Considérons un système de points matériels, libres ou soumis à des liaisons, dont la situation est définie par des paramètres S'il r/2i ?3>"-> 9V Désignons par q{, q.,,..., q'n les dérivées de ces paramétres par rapport au temps, et par T la demi-force vive du système. Enfin soit

Q, 5f/, -\- Q2oq2 -\~ -f- Qalq„

l'expression du travail des forces auxquelles le système est soumis dans un déplacement virtuel. Nous aurons à chaque instant, pour chacun des paramètres,

d dT dl .

dt dq \ dqi ' '

c'est l'équation de Lagrange relative au paramètre </,.

Dans son mémoire, Helmholtz change ces notations habituelles. La lettre T est conservée pour désigner la température absolue: la demi-force vive est alors représentée par L.

Les paramètres sont appelés pa, pb et leurs dérivées par

rapport ou temps sont représentées par qa, qb

Le travail virtuel des forces intérieures au système est distingué de celui des forces extérieures. Helmholtz suppose que les forces intérieures admettent une fonction des forces, ou énergie potentielle, <I> ; alors le travail de ces forces pour une variation lpa de l'un des paramètres est

Quant au travail des forces extérieures résultant de cette variation.il est désigné par

<>Pa

Avec ces nouvelles notations l'équation de Lagrange relative au paramètre pa est

,., d dL dL d'l>

dt dqa ~~ dpa ~ ~ dpZ ~ "

311. L'énergie potentielle 4> ne dépend que de la position des molécules du système ; c'est donc une fonction des paramètres p, mais non de leurs dérivées q.

Au contraire l'énergie cinétique L dépend à la fois des p et des q ; elle est homogène el du second degré par rapport à ces dernières quantités. En effet, L qui est égal à Ewu2 est du degré — 2 par rapport au temps ; si donc on double l'unité de temps, la valeur de L se trouve quadruplée. Or pa ne varie pas parce changement d'unité, tandis que qa devient double; il est donc, nécessaire que chaque terme de L contienne les q au second degré.

Par suite de cette propriété de la fonction L, nous avons

2L = ïqa ft

dqa